Algebra liniowa z geometrią analityczną/Wykład 7: Wyznacznik

Odwzorowania wieloliniowe

Niech $V$ będzie $n$-wymiarową przestrzenią wektorową nad ciałem $\mathbb{𝕂}$ o charakterystyce różnej od 2. Niech dane będzie odwzorowanie $\varphi :V^k⟶\mathbb{𝕂}$. Mówimy, że odwzorowanie $\varphi$ jest k-liniowe, jeśli dla każdego $i=1,...,k$ oraz dla dowolnie ustalonych wektorów $v_1,...,v_{i-1},v_{i+1},...,v_k$ odwzorowanie

$V\ni v⟶\varphi (v_1,...,v_{i-1},v,v_{i+1},...,v_k)\in \mathbb{𝕂}$

jest liniowe. Na przykład, odwzorowanie ${\mathbb{ℝ}}^k\ni (a_1,...,a_k)⟶a_1...a_k\in \mathbb{ℝ}$ jest $k$-liniowe. Zbiór wszystkich odwzorowań $k$-liniowych $\varphi :V^k⟶\mathbb{𝕂}$ oznaczmy przez ${{ℒ}}^k(V)$. W naturalny sposób (tak jak w Przykładzie 7. Wykładu I) zbiór ten jest wyposażony w strukturę przestrzeni wektorowej.

Mówimy, że odwzorowanie $\varphi$ jest antysymetryczne, jeśli dla każdej permutacji $\rho$ ciągu $1,...,k$ zachodzi wzór

$\varphi (v_{\rho (1)},...,v_{\rho (k)})=\mathrm{sgn}\rho \varphi (v_1,...,v_k),$

gdzie $\mathrm{sgn}\rho$ oznacza znak permutacji $\rho$. Podobnie definiuje się odwzorowanie symetryczne. Mianowicie, $\varphi$ jest symetryczne, jeśli dla każdej permutacji $\rho$ zachodzi równość.

$\varphi (v_{\rho (1)},...,v_{\rho (k)})=\varphi (v_1,...,v_k).$

Wyżej wspomniane mnożenie liczb rzeczywistych jest k-liniowe symetryczne.

W niniejszym wykładzie odwzorowania antysymetryczne będą odgrywać główną rolę. Zacznijmy od następującego lematu.

Lemat 1.1

Dla odwzorowania $k$-liniowego $\varphi$ następujace warunki są równoważne.

1. $\varphi$ jest antysymetryczne,
2. $\varphi (v_1,...,v_k)=0$ dla dowolnych wektorów $v_1,...,v_k\in V$ takich, że dwa spośród $v_1,...,v_k$ są jednakowe.
3. Jeśli $v_1,...,v_k$ są liniowo zależne, to $\varphi (v_1,...,v_k)=0$.

Dowód

Załóżmy 1. Niech wektory $v_i{v}_j$ będą jednakowe w ciągu wektorów $v_1,...,v_k$. Niech $\rho$ oznacza permutację, która zamienia $i$ na $j$. Znak tej permutacji jest równy $-1$. Po zastosowaniu tej permutacji ciąg wektorów $v_1,...,v_k$ nie ulega zmianie. Wobec tego $\varphi (v_{\rho (1)},...,v_{\rho (k)})=\varphi (v_1,...,v_k)$. Z drugiej strony

$\varphi (v_{\rho (1)},...,v_{\rho (k)})=-\varphi (v_1,...,v_k).$

Dodajmy do obu stron tej równości $\varphi (v_{\rho (1)},...,v_{\rho (k)})=\varphi (v_1,...,v_k)$. Dostajemy równość

$(1+1)\varphi (v_1,...,v_k)=0.$

Wynika stąd, że $\varphi (v_1,...,v_k)=0$, bo ciało $\mathbb{𝕂}$ ma charakterystykę różną od 2.

Odwrotnie, jeśli $\varphi$ spełnia warunek 2), to dla każdych wektorów $v_1,...,v_k$ i dla każdych $i<j$, $i,j=1,...,k$ mamy

$0=\varphi (v_1,...,v_{i-1},v_i+v_j,v_{i+1},...,v_{j-1},v_i+v_j,v_{j+1},...,v_k).$

Stąd, że $\varphi$ spełnia warunek 2. oraz z $k$-liniowości odwzorowania $\varphi$ dostajemy

$\varphi (v_1,...,v_{i-1},v_j,v_{i+1},...,v_{j-1},v_i,v_{j+1},...,v_k)=-\varphi (v_1,...,v_k).$

Ponieważ każda permutacja jest złóżeniem pewnej liczby $s$ transpozycji i znak permutacji jest równy $(-1{)}^s$, więc $\varphi$ jest antysymetryczne.

Załóżmy, że spełniony jest warunek 2. Jeśli ciąg $v_1,...,v_k$ jest liniowo zależny, to pewien wektor z tego ciągu jest kombinacją liniową pozostałych wektorów. Korzystając z $k$-liniowości $\varphi$ i z warunku 2. dostajemy natychmiast, że $\varphi (v_1,...,v_n)=0$. Na koniec, załóżmy 3). Jeśli, któreś wektory w ciągu $v_1,...,v_n$ są równe, to ciąg $v_1,...,v_n$ jest liniowo zależny , a zatem $\varphi (v_1,...,v_n)=0$. Dowód lematu jest zakończony.

Jest oczywiste, że suma odwzorowań $k$-liniowych antysymetrycznych jest odwzorowaniem $k$-liniowym antysymetrycznym i odwzorowanie $k$-liniowe antysymetryczne pomnożone przez skalar jest też antysymetryczne. A zatem ogół odwzorowań antysymetrycznych stanowi podprzestrzeń przestrzeni ${{ℒ}}^k(V)$. Oznaczmy tę podprzestrzeń przez ${{ℒ}}_a^k(V)$. Elementy przestrzeni ${{ℒ}}_a^k(V)$ nazywamy też $k$-formami na przestrzeni $V$. Choć teoria $k$-form jest ważna i interesująca, na potrzeby naszego wykładu zajmiemy się tylko szczególnymi przypadkami, tzn. szczególnymi przypadkami $k$. Po pierwsze, znamy już przestrzeń 1-form. Przestrzenią tą jest przestrzeń dualna $V^{*}$, 1-formami odwzorowania liniowe określone na $V$ i o wartościach w ciele $\mathbb{𝕂}$.

Zajmiemy się teraz $n$-formami, gdzie $n=\dim V$.

Niech $e_1,...,e_n$ będzie bazą przestrzeni wektorowej $V$ i Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\La”): {\displaystyle \omega \in \La} . Niech $v_1,...,v_n\in V$. Każdy z tych wektorów przedstawimy jako kombinację liniową wektorów bazy. A zatem $v_j=\sum _{i=1}^n{a}_{ij}{e}_i$ dla każdego $j=1,...,n$. Korzystając z Lematu 1.1 otrzymujemy następujące równości

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \aligned\omega (v_1,...,v_n)&=&\omega (\sum _{{i_1}=1}^n{a_{i_11}} {e_{i_1}},...,\sum _{{i_n}=1}^n{a_{i_nn}}e_{i_n}) \\ &=& \sum _{{i_1},...,{i_n}=1}^n {a_{{i_11}}}\cdot\cdot\cdot {a_{{i_nn}}}\omega ({e_{i_1}},...,{e_{i_n}})\\ &=& \sum _{\small{\begin{array} {l} \ \ \ \ {i_1},...,{i_n}\\ \ { i_a}\ne {i_b} \ {\rm dla}\ a\ne b \end{array} }} {a_{i_1 1}}\cdot\cdot\cdot{a_{i_n n}}\omega ({e_{i_1}},...,{e_{i_n}}) \endaligned}

Ponieważ ciąg różnowartościowy $i_1,...,i_n$ jest permutacją ciągu $1,...,n$, więc dostajemy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \aligned\omega (v_1,...,v_n)&=&\sum _{\rho\in{\cal S}_n} {a_{\rho (1)1}}\cdot\cdot\cdot{a_{\rho (n)n}} \omega (e_{\rho (1)},..., e_{\rho (n)})\\ &=&\sum _{\rho\in{\cal S}_n} \sgn\, \rho \,{a_{\rho (1)1}}\cdot\cdot\cdot{a_{\rho (n)n}} \omega (e_1,..., e_n)\\ &=& \omega (e_1,...,e_n) \left (\sum _{\rho\in{\cal S}_n} \sgn\, \rho \, {a_{\rho (1)1}}\cdot\cdot\cdot{a_{\rho (n)n}}\right ), \endaligned}

gdzie ${{𝒮}}_n$ oznacza zbiór wszystkich permutacji ciągu $1,...,n$. Ostatecznie, dla każdego Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\La”): {\displaystyle \omega \in\La } , zachodzi wzór

$\omega (v_1,...,v_n)=\omega (e_1,...,e_n)(\sum _{\rho \in {{𝒮}}_n}\mathrm{sgn}\rho a_{\rho (1)1}\cdot \cdot \cdot a_{\rho (n)n})$      (1.1)

Skalar

$\sum _{\rho \in {{𝒮}}_n}\mathrm{sgn}\rho a_{\rho (1)1}\cdot \cdot \cdot a_{\rho (n)n}$

nie zależy od $\omega$. A zatem przestrzeń Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\La”): {\displaystyle \La } jest 1-wymiarowa i każda $n$-forma jest wyznaczona jednoznacznie przez zdefiniowanie $\omega (e_1,...,e_n)$ dla dowolnie wybranej bazy $e_1,...,e_n$.

W przypadku, gdy $V={\mathbb{𝕂}}^n$ mamy bazę kanoniczną $e_1,...,e_n$ tej przestrzeni. Każda $n$-forma na ${\mathbb{𝕂}}^n$ może być zadana na bazie kanonicznej.

Rozważmy teraz przestrzeń $M(n,n;\mathbb{𝕂})$. Przypomnijmy, że jest to przestrzeń wszystkich macierzy kwadratowych o wymiarach $n$ na $n$ i o wyrazach w ciele $\mathbb{𝕂}$. Niech $A\in M(n,n;\mathbb{𝕂})$. Niech $A_1,...,A_n$ oznaczają kolumny macierzy. Kolumny są wektorami przestrzeni ${\mathbb{𝕂}}^n$. Macierz możemy traktować jako ciąg kolumn $A_1,...,A_n$. Na podstawie wyżej przeprowadzonych rozważań, możemy stwierdzić prawdziwość następującego twierdzenia

Twierdzenie 1.2

Istnieje dokładnie jedno odwzorowanie $n$-liniowe antysymetryczne

${\omega }_o:M(n,n;\mathbb{𝕂})\ni A⟶{\omega }_o(A_1,...,A_n)\in \mathbb{𝕂}$

takie, że ${\omega }_o(e_1,...,e_n)=1$, gdzie $e_1,...,e_n$ jest bazą kanoniczną przestrzeni ${\mathbb{𝕂}}^n$.

Odwzorowanie ${\omega }_o$ nazywa się wyznacznikiem i oznacza symbolem $\det$.

Symbol $\det A$ oznacza wartość odwzorowania $\det$ na ciągu kolumn $A_1,...,A_n$ macierzy $A$.

Podkreślamy, że wyznacznik macierzy definiuje się tylko dla macierzy kwadratowych. Na podstawie formuły (1.1) otrzymujemy natychmiast następujący wzór na wyznacznik macierzy $A=[a_{ij}]\in M(n,n;\mathbb{𝕂})$

$\det A=\sum _{\rho \in {{𝒮}}_n}\mathrm{sgn}\rho a_{\rho (1)1}...a_{\rho (n)n}$      (1.2)