Analiza matematyczna 1/Wykład 4: Ciągi liczbowe

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

4. Ciągi liczbowe

W tym wykładzie zajmujemy się ciągami w zbiorze liczb rzeczywistych. Definiujemy ciąg monotoniczny, ciąg ograniczony, granice niewłaściwe. Poznajemy twierdzenia o granicach ciągów, twierdzenie o związkach granicy z działaniami i porządkiem w , twierdzenie o trzech ciągach, twierdzenie o ciągu monotonicznym i ograniczonym, twierdzenie Bolzano-Weierstrassa.

Definicja [Uzupelnij]

Przez ciągi liczbowe będziemy rozumieli ciągi o wartościach w (to znaczy w zbiorze liczbowym traktowanym jako przestrzeń metryczna z metryką euklidesową). Piszemy krótko {xn}.

{{red}Rysunek AM1.M04.W.R01 (stary numer AM1.4.9)}

Ponieważ w zbiorze liczbowym mamy liniowy porządek, więc można porównywać ze sobą elementy ciągu. Pozwala to na wprowadzenie pojęcia monotoniczności ciągu.

{{definicja|[Uzupelnij]||

Mówimy, że ciąg {an} jest malejący, jeśli n: anan+1.
{{red}Rysunek AM1.M04.W.R02 (stary numer AM1.4.10)}
Mówimy, że ciąg {an} jest silnie malejący, jeśli n: an>an+1.
{{red}Rysunek AM1.M04.W.R03 (stary numer AM1.4.11)}
Mówimy, że ciąg {an} jest rosnący, jeśli n: anan+1.
{{red}Rysunek AM1.M04.W.R04 (stary numer AM1.4.12)}
Mówimy, że ciąg {an} jest silnie rosnący, jeśli n: an<an+1.
{{red}Rysunek AM1.M04.W.R05 (stary numer AM1.4.13)}
Mówimy, że ciąg {an} jest monotoniczny, jeśli jest on malejący lub rosnący.
Mówimy, że ciąg {an} jest silnie monotoniczny, jeśli jest on silnie malejący lub silnie rosnący. }}

W przypadku ciągów liczbowych można mówić nie tylko o ograniczoności ciągu (jak to ma miejsce w dowolnej przestrzeni metrycznej), ale także o ograniczeniu ciągu od dołu i od góry (ponownie jest to konsekwencja faktu, że zbiór liczbowy jest liniowo uporządkowany). Mamy zatem następujące definicje.

Definicja [Uzupelnij]

Mówimy, że ciąg {an} jest ograniczony, jeśli M n: |an|M.
Mówimy, że ciąg {an} jest ograniczony z dołu, jeśli M n: anM.
Mówimy, że ciąg {an} jest ograniczony z góry, jeśli M n: anM.

Natychmiastową konsekwencją powyższych definicji jest następujący związek między ograniczonością a ograniczonością z góry i z dołu.

Stwierdzenie [Uzupelnij]

(O ciągu ograniczonym w )
Jeśli {an} jest ciągiem to {an} jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy {an} jest ograniczony z dołu i z góry.

Pojęcie granicy ciągu pozostaje takie samo jak dla ciągów w dowolnych przestrzeniach metrycznych. Powtórzmy je tutaj dla wygody, przyjmując, że w mamy metrykę euklidesową.

Definicja [Uzupelnij]

Mówimy, że liczba g jest granicą ciągu {xn}, jeśli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ |x_n-g|<\varepsilon }

i piszemy

limn+xn=glubxnglubxnn+glubxng.

Mówimy, że ciąg {xn} jest zbieżny, jeśli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \exists g\in \mathbb{R}:\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n=g. }

{{red}Rysunek AM1.M04.W.R06 (stary numer AM1.4.14)}

W przypadku ciągów liczbowych wprowadza się także pojęcie granicy niewłaściwej (o której nie ma sensu mówić w dowolnej przestrzeni metrycznej).

{{definicja|[Uzupelnij]||

Mówimy, że ciąg liczbowy {an} ma granicę niewłaściwą +, jeśli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \forall M\in\mathbb{R}\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ \ a_n\ge M. }

{{red}Rysunek AM1.M04.W.R07 (stary numer AM1.4.15)}
Mówimy wówczas, że ciąg {an} jest rozbieżny do + i piszemy limn+an=+.
Mówimy, że ciąg liczbowy {an} ma granicę niewłaściwą , jeśli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \forall M\in\mathbb{R}\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ \ a_n\le M. }

Mówimy wówczas, że ciąg {an} jest rozbieżny do i piszemy limn+an=. }}

{{red}Rysunek AM1.M04.W.R08 (stary numer AM1.4.16)}

Zwróćmy uwagę na to, że granica niewłaściwa nie jest granicą (w sensie Definicji Uzupelnic d.new.am1.w.04.050|), gdyż nie jest to element (nie jest to liczba rzeczywista). Należy tu również zwrócić uwagę na pewną niekonsekwencję w terminologii.

Mówiąc o granicy, czasem będziemy dodawać "granica właściwa" lub "granica skończona", aby wyraźnie zaznaczyć, że nie mówimy o granicy niewłaściwej. O ciągu, który ma granicę (właściwą) mówimy, że jest zbieżny. O ciągu, który ma granicę niewłaściwą mówimy, że jest rozbieżny do + lub . O ciągu który nie ma granicy właściwej mówimy, że jest rozbieżny.

Twierdzenie [Uzupelnij]

(O granicy iloczynu ciągów ograniczonego i zbieżnego do zera)
Jeśli {an},{bn} są ciągami takimi, że limn+an=0 oraz {bn} jest ograniczony, to limn+anbn=0.

Dowód [Uzupelnij]

Niech M>0 będzie stałą ograniczającą ciąg {bn} (która istnieje z założenia), to znaczy

n: |bn|M.

Ustalmy ε>0. Ponieważ limn+an=0, więc

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ |a_n|\le\frac{\varepsilon}{M}. }

Zatem dla nN mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle |a_nb_n| \ \le\ \frac{\varepsilon}{M}\cdot M \ =\ \varepsilon. }

Ponieważ ε>0 było dowolne, więc pokazaliśmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}:\ |a_nb_n|\le\varepsilon, }

czyli udowodniliśmy, że limn+anbn=0.

{black}

Przykład [Uzupelnij]

Obliczyć granicę limn+sinnn.

Rozwiązanie

Dla ciągów liczbowych możliwe jest wykonywanie działań na elementach tych ciągów oraz na ich granicach. Poniższe twierdzenie podaje związki jakie zachodzą między tymi działaniami.

Twierdzenie [Uzupelnij]

(O "arytmetyce" granic ciągów)
Jeśli {an},{bn} są ciągami liczbowymi zbieżnymi oraz c, to
(1) limn+(an±bn)=limn+an±limn+bn;
(2) limn+(can)=climn+an;
(3) limn+(anbn)=(limn+an)(limn+bn);
(4) limn+anbn=limn+anlimn+bn (o ile bn0 dla n oraz limn+bn0);
(5) limn+anbn=(limn+an)limn+bn (o ile działania po obu stronach są wykonalne);
(6) limn+an=alimn+|an|=|a|;
(7) limn+an=0limn+|an|=0.

Dowód [Uzupelnij]

(Ad 1) Niech limn+an=a oraz limn+bn=b. Pokażemy, że limn+(an+bn)=a+b.
W tym celu ustalmy ε>0. Z definicji granicy ciągu zastosowanej do ciągów {an} i {bn} wiemy, że

N1 nN1: |ana|<ε2

oraz

N2 nN2: |bnb|<ε2.

Niech N=max{N1,N2}. Wówczas dla dowolnego nN, mamy:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \big|(a_n+b_n)-(a+b)\big| \ \le\ |a_n-a|+|b_n-b| \ <\ \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} \ =\ \varepsilon. }

Ponieważ ε>0 było dowolnie wybrane, więc pokazaliśmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \forall \varepsilon>0\ \exists N\in \mathbb{N}:\ \big|(a_n+b_n)-(a+b)\big| \ <\ \varepsilon, }

czyli limn+(an+bn)=a+b.
Analogicznie pokazuje się, że limn+(anbn)=ab.
(Ad (3)--(4), (6)--(7)) Dowody tych części są pozostawione na ćwiczenia (patrz Zadania Uzupelnic z.new.am1.c.04.0050| i Uzupelnic z.new.am1.c.04.0060|).
(Ad (2)) Wynika to od razu z punktu (3) (dlaczego?).
(Ad (5)) Pozostawiamy to bez dowodu.

{black}

Przykład [Uzupelnij]

Obliczyć granice ciągów:
(1) limn+(1)n2n+13n2;
(2) limn+(2+1n)12n

Rozwiązanie

Poniższe twierdzenie mówi, że jeśli wyrazy pewnego ciągu {bn} leżą pomiędzy wyrazami dwóch innych ciągów {an} i {bn} (przynajmniej od pewnego miejsca) mających tę samą granicę g (właściwą lub niewłaściwą), to ciąg {bn} ma tę samą granicę g.
{{red}Rysunek AM1.M04.W.R09 (stary numer AM1.4.17)}

Twierdzenie [Uzupelnij]

(O trzech ciągach)
Jeśli {an},{bn},{cn} są ciągami takimi, że

limn+an=limn+cn=gorazN nN: anbncn,

to limn+bn=g.

Dowód [Uzupelnij]

Dowód podamy jedynie w przypadku, gdy g. Załóżmy, że limn+an=limn+cn=g oraz NN nN: anbncn. Należy pokazać, że limn+bn=g. W tym celu ustalmy dowolne ε>0. Z definicji granicy ciągu, mamy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \aligned && \exists N_1\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ |a_n-g|<\varepsilon,\\ && \exists N_2\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ |c_n-g|<\varepsilon. \endaligned}

Niech N3=max{N,N1,N2}. Z powyższych nierówności wynika w szczególności, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \forall n\ge N_3:\ g-\varepsilon\ <\ a_n \ \le\ b_n\ \le\ c_n\ <\ g+\varepsilon, }

zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \forall n\ge N_3:\ |b_n-g|<\varepsilon, }

co dowodzi, że limn+bn=g.

{black}

Przykład [Uzupelnij]

Obliczyć granicę ciągu limn+[2+(1)n]3n2+2n4n4+3n+1.

Rozwiązanie

Kolejne twierdzenie mówi w jaki sposób nierówności między wyrazami dwóch ciągów przenoszą się na nierówności między granicami tych ciągów i na odwrót. Mianowicie, jeśli {an} i {bn} są dwoma ciągami mającymi granice (właściwe lub niewłaściwe) oraz wyrazy ciągu {bn} są większe lub równe od wyrazów ciągu {an} to nierówność ta zachowuje się w granicy. Na odwrót, jeśli granica ciągu {bn} jest silnie większa od granicy ciągu {an}, to nierówność ta zachodzi także dla wyrazów ciągów {an} i {bn}, przynajmniej od pewnego miejsca.

Twierdzenie [Uzupelnij]

(O dwóch ciągach)
Jeśli {an},{bn} są ciągami takimi, że limn+an=a oraz limn+bn=b, to prawdziwe są implikacje:
(1) Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle\bigg[a=+\infty\ \wedge\ \forall n\in\mathbb{N}:\ a_n\le b_n\bigg]\ \Longrightarrow\ \bigg[b=+\infty\bigg]} ;
(2) Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle\bigg[b=-\infty\ \wedge\ \forall n\in\mathbb{N}:\ a_n\le b_n\bigg]\ \Longrightarrow\ \bigg[a=-\infty\bigg]} ;
(3) [n: anbn]  [ab];
(4) Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle\bigg[a<b\bigg]\ \Longrightarrow\ \bigg[\exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ a_n< b_n\bigg].}

{blue}

Dowód [Uzupelnij]

{blue}(Dowód nadobowiązkowy.)
(Ad (1)) Zakładamy, że limn+an=+ oraz n: anbn.
Ustalmy dowolne M>0. Ponieważ limn+an=+, więc

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ a_n\ge M. }

Zatem dla dowolnego nN mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle b_n \ \ge\ a_n \ \ge\ M. }

Ponieważ M>0 było dowolne, więc pokazaliśmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \forall M>0\ \exists N\in N\ \forall n\ge N:\ b_n\ge M, }

a to oznacza, że limn+bn=+.
(Ad (2)) Dowód analogiczny do dowodu (1).
(Ad (3) Niech limn+an=a,limn+bn=b oraz n: anbn.
"Przypadek 1o." Niech a,b.

Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że a>b. Ustalmy ε=ab2>0. Z definicji granicy ciągu mamy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \aligned && \displaystyle \exists N_1>0\ \forall n\ge N_1:\ |a_n-a|<\frac{a-b}{2},\\ && \displaystyle \exists N_2>0\ \forall n\ge N_2:\ |b_n-b|<\frac{a-b}{2}, \endaligned}

i w szczególności

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \aligned && \displaystyle \exists N_1\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N_1:\ a_n>\frac{a+b}{2},\\ && \displaystyle \exists N_2\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N_2:\ b_n<\frac{a+b}{2}, \endaligned}

Niech k=max{N1,N2}. Wówczas dla wyrazów ak i bk mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle a_k \ >\ \frac{a+b}{2} \ >\ b_k, }

co jest sprzeczne z założeniem. Zatem pokazaliśmy, że ab.

"Przypadek 2o." a=+ lub b=. Wówczas teza wynika z (1) lub (2).

"Przypadek 3o." a= lub b=+. Wówczas zawsze zachodzi nierówność ab.

(Ad (4)) "Przypadek 1o." Niech a,b. Ustalmy ε=ba2. Ponieważ b>a, więc ε>0. Z definicji granicy ciągu i granicy niewłaściwej, mamy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \aligned && \displaystyle \exists N_1\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N_1:\ |a_n-a|<\frac{b-a}{2},\\ && \displaystyle \exists N_2\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N_2:\ |b_n-b|<\frac{b-a}{2}. \endaligned}

Niech N=max{N1,N2}. W szczególności mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \forall n\ge N:\ a_n \ <\ \frac{a+b}{2} \ <\ b_n, }

co należało pokazać.

"Przypadek 2o." a=. Niech ε=1 i M=b1. Z definicji granicy ciągu mamy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \aligned && \displaystyle \exists N_1\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N_1: a_n<b-1,\\ && \displaystyle \exists N_2\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N_2: |b_n-b|<1. \endaligned}

Niech N=max{N1,N2}. W szczególności mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \forall n\ge N:\ a_n \ <\ b-1 \ <\ b_n, }

co należało pokazać.

"Przypadek 3o." b=+. Dowód jest analogiczny jak w przypadku 2o.

{black}

Kolejne twierdzenie mówi, iż dla ciągów monotonicznych pojęcie granicy pokrywa się z pojęciem kresu górnego (ewentualnie kresu dolnego) zbioru wartości ciągu.

Twierdzenie [Uzupelnij]

Jeśli {an} jest ciągiem, to
(1) jeśli {an} jest rosnący to {an} ma granicę (właściwą lub niewłaściwą) oraz

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n \ =\ \sup\big\{a_n:\ n\in\mathbb{N}\big\}; }

(2) jeśli {an} jest malejący to {an} ma granicę (właściwą lub niewłaściwą) oraz

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n \ =\ \inf\big\{a_n:\ n\in\mathbb{N}\big\}. }

{blue}

Dowód [Uzupelnij]

{blue}(Dowód nadobowiązkowy.)
(Ad (1)) Załóżmy, że {an} jest ciągiem rosnącym oraz niech

g =df sup{an: n}

(supremum zbioru liczbowego zawsze istnieje i jest elementem lub wynosi +, gdyż zbiór jest niepusty). Pokażemy, że g jest granicą ciągu {an}.
Rozważmy dwa przypadki:
Przypadek 1o. Niech g. Ustalmy dowolne ε>0. Z własności supremum mamy, że

N: gε<aN

("de facto" z własności supremum wynika, że takich indeksów N istnieje nieskończenie wiele, ale nam wystarczy wybór jednego z nich). Ponieważ ciąg {an} jest rosnący oraz nN: ang (z definicji supremum), więc

nN: gε<aNang.

Ponieważ ε>0 był dowolnie wybrany, więc pokazaliśmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ |a_n-g|\ <\ \varepsilon. }

zatem pokazaliśmy, że limn+an=g.
Przypadek 2o. Niech g=+. Ustalmy M. Z definicji supremum mamy, że

N:M<aN.

Ponieważ ciąg {an} jest rosnący, więc

nN: M<aNan.

Ponieważ M był dowolnie wybrane, więc pokazaliśmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \forall M\in\mathbb{R}\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ M\ <\ a_n. }

Zatem w obu przypadkach pokazaliśmy, że limn+an=g.
(Ad (2)) Dowód jest analogiczny jak dla (1).

{black}

{{twierdzenie|[Uzupelnij]|| (O ciągu monotonicznym i ograniczonym)
(1) Jeśli {an} jest ciągiem rosnącym i ograniczonym z góry, to jest on zbieżny.
{{red}Rysunek AM1.M04.W.R10 (stary numer AM1.4.18)} (2) Jeśli {an} jest ciągiem malejącym i ograniczonym z dołu, to jest on zbieżny.
(3) Ciąg monotoniczny jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony. }}

Dowód [Uzupelnij]

(Ad (1)) Jeśli ciąg {an} jest rosnący, to z Twierdzenia Uzupelnic t.new.am1.w.04.130|(1) wynika, że ma granicę (właściwą lub niewłaściwą) oraz

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n \ =\ \sup\big\{a_n:\ n\in\mathbb{N}\big\}. }

Ponieważ jest on dodatkowo ograniczony, więc

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \sup\big\{a_n:\ n\in\mathbb{N}\big\} \ <\ +\infty, }

zatem granica jest właściwa, czyli ciąg jest zbieżny.
(Ad (2)) Dowód analogiczny jak w (1).
(Ad (3)) Jeśli ciąg jest monotoniczny i ograniczony, to zachodzi założenie jednego z punktów (1) lub (2) (to znaczy jest on malejący i ograniczony lub rosnący i ograniczony). W obu przypadkach wiemy, że ciąg jest zbieżny.
Implikacja w drugą stronę jest zawsze prawdziwa (to znaczy ciąg zbieżny jest ograniczony, nawet bez założenia monotoniczności). Wynika to z Twierdzenia Uzupelnic t.new.am1.w.03.250|.

{black}

Twierdzenie [Uzupelnij]

(Bolzano-Weierstrassa)
Każdy ciąg ograniczony {an} zawiera podciąg zbieżny.

W dowodzie powyższego twierdzenia wykorzystamy następujący lemat:

{{lemat|[Uzupelnij]||

Każdy ciąg liczbowy {an} zawiera podciąg monotoniczny.
{{red}Rysunek AM1.M04.W.R11 (stary numer AM1.4.19)} }}

Dowód [Uzupelnij]

(Szkic) Dla ciągu {an} zdefiniujmy następujący zbiór:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle Z \ \stackrel{df}{=}\ \bigg\{ n\in\mathbb{N}:\ \forall m\in\mathbb{N} \ \big[m>n\Longrightarrow a_m>a_n\big] \bigg\}. }

Możliwe są dwa przypadki.
Jeśli #Z= (to znaczy zbiór Z jest nieskończony), to możemy z ciągu {an} wybrać podciąg rosnący (wystarczy, aby podciąg zawierał tylko te elementy ciągu {an}, których indeksy należą do zbioru Z).
Jeśli #Z< (to znaczy zbiór Z jest skończony), to możemy skonstruować podciąg malejący w następujący sposób. Niech n1 będzie liczbą większą od wszystkich liczb ze zbioru Z. Ponieważ n1∉Z, więc

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \exists n_2>n_1:\ a_{n_2}\le a_{n_1}. }

Dalej konstrukcja ciągu indeksów przebiega indukcyjnie w ten sam sposób. Jeśli wybraliśmy już indeksy n1<<nk, to z definicji zbioru Z i faktu, że nk∉Z wynika, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \exists n_{k+1}>n_k:\ a_{n_{k+1}}\le a_{n_k}. }

Skonstruowany w ten sposób podciąg {ank}k jest malejący.

{black}

Możemy teraz powrócić do dowodu Twierdzenia Bolzano-Weierstrassa:

Dowód [Uzupelnij]

Twierdzenia Uzupelnic t.new.am1.w.04.150|
Niech {an} będzie ciągiem ograniczonym. Z Lematu Uzupelnic l.new.am1.w.04.160| wynika, że możemy z niego wybrać podciąg monotoniczny {ank}k. Oczywiście podciąg {ank}k jest także ograniczony, zatem z Twierdzenia Uzupelnic t.new.am1.w.04.140|(3) wynika, że podciąg {ank}k jest zbieżny.

{black}

Wniosek [Uzupelnij]

Z każdego ciągu liczbowego {an} można wybrać podciąg posiadający granicę (właściwą lub niewłaściwą).

Dowód [Uzupelnij]

Z Lematu Uzupelnic l.new.am1.w.04.160| wiemy, że z ciągu {an} można wybrać podciąg monotoniczny. Jeśli jest on ograniczony, to z Twierdzenia Uzupelnic t.new.am1.w.04.140| wynika, że jest on zbieżny (ma granicę właściwą). Jeśli zaś jest nieograniczony, to skoro jest monotoniczny, to granicą jest + lub .

{black}