Test GR

---

1111111111111111111111111111111111111111111

1111111111111111111111111111111111111111111

22222222222222222222222222222222222222222

Ciągi w przestrzeniach metrycznych. Test

3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333

Norma. Iloczyn skalarny. Test

444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444

Ciągi i szeregi funkcyjne. Szereg Taylora. Test

Dany jest ciąg funkcyjny $\{f_n\},$ gdzie $f_n(x)=\{\begin{array}{lll}1& \text{dla}& x\in [n,n+1]\\ 0& \text{dla}& x\in \mathbb{ℝ}\setminus [n,n+1]\end{array}$ dla $n\in \mathbb{\mathbb{N}}.$ Ciąg ten jest

zbieżny punktowo do $f(x)\equiv 0$ Dobrze

zbieżny jednostajnie do $f(x)\equiv 0$ Źle

zbieżny punktowo do funkcji $f(x)=\{\begin{array}{lll}1& \text{dla}& x\ge 1\\ 0& \text{dla}& x<0\end{array}$ Źle

 tak, nie, nie

Dany jest ciąg funkcyjny $\{f_n\},$ gdzie

$f_n(x)=\{\begin{array}{lll}\frac{1-n^{-x}}{1+n^{-x}}& \text{dla}& x>0\\ \\ \frac{2-n^x}{2+n^x}& \text{dla}& x<0\\ \\ 0& \text{dla}& x=0\\ \end{array}$ dla $n=1,2,\dots$

Ten ciąg funkcyjny jest

zbieżny jednostajnie Źle

zbieżny punktowo ale nie jednostajnie Dobrze

rozbieżny Źle

 nie, tak, nie

Dany jest ciąg funkcyjny $f_n(x)=\sqrt[n]{x}$ dla $x\ge 0.$ Ten ciąg

jest zbieżny punktowo i jego granica jest ciągła Źle

jest zbieżny jednostajnie i jego granica jest ciągła Źle

jest zbieżny punktowo i jego granica nie jest ciągła Dobrze

 nie, nie, tak

Dany jest szereg $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin nx}{2^n(x^2+1)},x\in \mathbb{ℝ}.$ Ten szereg jest

zbieżny jednostajnie do funkcji $f(x)\equiv 0.$ Źle

zbieżny jednostajnie do funkcji $f$ takiej, że $0<f(x)<3$ Dobrze

zbieżny jednostajnie do funkcji $f(x)=\frac{1}{2(x^2+1)}$ Źle

 nie, tak, nie

Funkcja $f(x):=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sqrt[n]{x}}{n(n+1)(x^2+1)}.$ Granica $\underset{x\to 3}{\lim }f(x)$ wynosi

$\frac{1}{10}$ Dobrze

$\sqrt{3}$ Źle

$0$ Źle

 tak, nie, nie

Szereg $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n(x^4+4)}$ jest

zbieżny punktowo Źle

zbieżny jednostajnie Źle

rozbieżny Dobrze

 nie, nie, tak

Czwarty z kolei wyraz rozwinięcia w szereg Maclaurina funkcji $f(x)=\cos 2x$ to

$-\frac{2^6}{6!}$ Źle

$\frac{2^6}{6!}{x}^6$ Źle

$\frac{-4}{45}{x}^6$ Dobrze

 nie, nie, tak

Szósty z kolei wyraz rozwinięcia w szereg Taylora funkcji $f(x)=\frac{1}{2+x}$ o środku w $x_0=0$ wynosi

$\frac{-1}{64}{x}^6$ Źle

$\frac{-1}{64}{x}^5$ Dobrze

$\frac{1}{2}{x}^6$ Źle

 nie, tak, nie

Sumujemy cztery kolejne wyrazy rozwinięcia w szereg Taylora funkcji $\sqrt{x}$ ośrodku w $x_0=1.$ Współczynnik przy $x$ wynosi

$\frac{15}{16}$ Dobrze

$\frac{5}{16}$ Źle

$\frac{1}{16}$ Źle

 tak, nie, nie

5555555555555555555555555555555555555555555555555555

Szereg potęgowy. Trygonometryczny szereg Fouriera. Test

101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010

Wielowymiarowa całka Riemanna. Test

1111111111111111111111111111111111111111111111111111

Twierdzenie Fubiniego. Twierdzenie o zmianie zmiennych. Test

1212121212121212121212121212121212121212121212121212121212

Całki krzywoliniowe. Twierdzenie Greena. Test

1414141414141414141414141414141414141414141414141414