CWGI Ćwiczenie 1

Ćwiczenia 1. Bryły i przekroje w rzucie aksonometrycznym Zadanie1.1. Narysować rurę stożkową o danych wymiarach w układzie dimetrii kawalerskiej Układ dimetrii kawalerskiej pozwala przedstawiać elementy płaskie, bez zniekształceń, znajdujące się w płaszczyźnie Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 0yz\} ,. Przekrojem poprzecznym rury będą okręgi. Należy, zatem przyjąć takie usytuowanie rury w układzie dimetrii kawalerskiej, aby oś rury pokrywała się z kierunkiem osi x (przekrój poprzeczny rury będzie wówczas znajdował się na rzucie Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 0yz\} ,. Rozpoczynając rysowanie dokonujemy analizy skrótów aksonometrycznych w poszczególnych osiach. W kierunku osi Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x\} , skrót aksonometryczny wynosi 1:2, a więc wymiary rury w tym kierunku będą zmniejszone o połowę. Mając takie informacje można rozpocząć konstruowanie rury. Dla pokazania przelotowości rury i jej wnętrza wyznaczamy widok z wycięta ćwiartka na całej długości (rys.C1.1).

---

Zadanie1.2. Narysować czworościan foremny o danym boku a, w układzie dimetrii kawalerskiej Czworościan foremny jest bryłą, której wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi (przyjmujemy wielkość boku a = 50 mm). Na rysunku C1.2. przedstawiono, po prawej stronie, trójkąt ABC, który jest podstawą tego czworościanu. Wyznaczając wysokości trójkąta, można wyznaczyć spodek wysokości czworościanu, a następnie budując trójkąt prostokątny w oparciu o znaną przyprostokątną (2/3 wysokości trójkąta - Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle AS\} ,) oraz przeciwprostokątną Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle AW\} , - krawędź Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle a\} , czworościanu) otrzymamy wszystkie jego wielkości geometryczne, niezbędne do budowy bryły w układzie aksonometrycznym, a w szczególności wysokość Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle h\} , czworościanu będącą rzeczywista wielkością odcinka Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle SW\} ,. Rozwiązanie zadania rozpoczynamy od wykreślenia układu aksonometrycznego - perspektywy kawalerskiej. Przypominając, w osiach Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle y\} , i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle z\} ,, skrót aksonometryczny wynosi 1:1, natomiast w osi Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x\} , wynosi 1:2. Podstawę czworościanu wykreślimy przyjmując w niezmienionej wielkości wysokość Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle AD\} , podstawy i umieszczając ją równolegle do osi Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle y\} ,, przyjmując w pierwszej kolejności spodek wysokości Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle S\} , w dowolnym punkcie na osi Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle y\} ,. Bok Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle BC\} ,, prostopadły do wysokości Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle AD\} ,, przyjmie kierunek osi Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x\} ,. Wielkość boku Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle BC\} , będzie oczywiście o połowę mniejsza od rzeczywistej, ponieważ skrót aksonometryczny w kierunku tej osi wynosi 1:2. Ze spodka wysokości w niezmienionej wielkości wykreślamy wysokość czworościanu, wyznaczając wierzchołek Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle W\} , czworościanu. Łącząc wierzchołek Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle W\} , czworościanu z wierzchołkami Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle A, B, C\} , wyznaczymy zarys bryły. Na zakończenie należy uwzględnić widoczność krawędzi obserwując bryłę z kierunku prostopadłego do płaszczyzny określonej osiami Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle y, z\} ,. Krawędzie widoczne rysuje się linią grubą ciągłą, krawędzie niewidoczne linią

---

Zadanie1.3. Narysować sześcian o danym boku w dowolnym rzucie aksonometrycznym. Wyznaczyć przekrój sześcianu płaszczyzna określona przez trzy punkty Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle (P,Q,R)\} ,, leżące na ścianach bocznych sześcianu Korzystając z niezmienników rzutowania równoległego i twierdzenia o punkcie wspólnym trójki płaszczyzn, rysujemy rzut sześcianu o boku $a=30mm$ w układzie perspektywy kawalerskiej. Obieramy dowolną trójkę punktów Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle P, Q, R,\} , leżących na jego ścianach bocznych (rys.C1.3a). Zadanie rozwiążemy wykorzystując twierdzenie "o punkcie wspólnym trójki płaszczyzn". W tym celu przyjmijmy symboliczny opis trzech wybranych płaszczyzn, z których jedna jest płaszczyzną Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \alpha (PQR)\} ,, krojącą poszczególne ściany sześcianu. Dla ściślejszego zdefiniowania poszczególnych punktów Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle PQR\} ,, w założeniach podano rzuty prostopadłe tych punktów na płaszczyznę podstawy Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle ABCD\} ,, którą opiszemy symbolicznie literą Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \beta\} ,. Jako trzecią z płaszczyzn, biorących udział w konstrukcji przyjmijmy ścianę Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle BCFG\} , jako Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \gamma\} ,. Zadaniem naszym jest wyznaczenie krawędzi przecięcia się płaszczyzny Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \alpha (PQR)\} , ze ścianami sześcianu.

---

Krawędzie poszczególnych par płaszczyzn oznaczymy kolejno: $k_1=\alpha \cap \beta$, $k_2=\beta \cap \gamma$, $k_3=\alpha \cap \gamma$ Wyznaczając konstrukcyjnie krawędzie $k_1$ i $k_2$, możemy następnie, korzystając z twierdzenia o punkcie wspólnym trójki płaszczyzn, wyznaczyć poszukiwaną w zadaniu krawędź $k_3$. Wyznaczanie krawędzi $k_1$ Poprowadźmy dwie proste należące do płaszczyzny $\alpha (PQR)$: prostą Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle a\} , przechodzącą przez punkty Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle Q\} ,, Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle R\} , oraz prostą b przechodzącą przez punkty Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle Q\} ,, Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle P\} ,. Proste te przecinają się w punkcie Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle Q\} ,. Rzuty $a_{xy}$ i $b_{xy}$ tych prostych na płaszczyznę podstawy $\beta (ABCD)$, będą przecinały się w punkcie $Q_{xy}$. Proste $a$ i $a_{xy}$ przecinają się w punkcie oznaczonym cyfrą Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle I\} ,. Punkt Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle I\} , jest, zatem wspólnym dla płaszczyzn $\alpha$ i $\beta$, ponieważ należy do prostych $a$ i $a_{xy}$, a te z kolei należą odpowiednio do płaszczyzn $\alpha$ i $\beta$. Drugi punkt Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle II\} , wspólny płaszczyzn $\alpha$ i $\beta$ wyznaczymy prowadząc dwie, należące odpowiednio do płaszczyzn $\alpha \cap \beta$, kolejne proste $b$ i $b_{xy}$ które przetną się właśnie w tym punkcie. Łącząc punkty Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle I\} , i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle II\} , wyznaczymy pierwsza z poszukiwanych krawędzi $k_1=\alpha \cap \beta$. Jak widać na rysunku C1.3b krawędź $k_1$ leży na płaszczyźnie Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \beta (ABCD)\} ,, lecz nie przecina ściany Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle ABCD\} , sześcianu.

---

Wyznaczanie kolejnych krawędzi przedstawiono na rysunku C1.3c. Wyznaczanie krawędzi $k_2$ Krawędź $k_2$ wyznaczymy w sposób natychmiastowy, albowiem stanowi ona wspólną krawędź ścian Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle ABCD\} , oraz Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle BCFG\} , sześcianu. Wyznaczanie krawędzi $k_3$ Krawędź $k_2$ przecina krawędź $k_1$ w punkcie oznaczonym cyfrą Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle III\} ,. Punkt Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle III\} , jest, zatem punktem wspólnym trójki płaszczyzn Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \alpha\} ,, Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \beta\} , i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \gamma\} ,. Przez ten punkt, zgodnie z cytowanym wcześniej twierdzeniem, będzie przechodziła trzecia krawędź $k_3=\alpha \cap \gamma$. Drugi punkt wspólny tych płaszczyzn jest punktem Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle R\} , (z założenia punkt należący do płaszczyzny Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \alpha\} , i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \beta\} ,). Punkty Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle III\} , i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle R\} , wyznaczą nam poszukiwaną krawędź Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle k_3\} ,, która jest krawędzią przekroju płaszczyzny Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \alpha\} , z jedną ze ścian sześcianu. Krawędź Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle k_3\} , przecina krawędzie sześcianu: Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle BF\} , w punkcie Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 1\} , oraz Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle CG\} , w punkcie Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 2\} ,. Punkty te wyznaczają odcinek będący krawędzią przekroju ściany Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle BCGF\} , sześcianu płaszczyzną Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \alpha\} ,.

---

Kolejne krawędzie przekroju sześcianu płaszczyzną Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \alpha\} , można wyznaczyć powtarzając nasze rozumowanie, przy założeniu, że w miejsce jednej z płaszczyzn, np. Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \gamma\} , wprowadzimy kolejną płaszczyznę przechodzącą przez inną ścianę sześcianu. Możemy jednak wyznaczyć następne boki przekroju korzystając z niezmienników rzutowania równoległego (rys.c1.3d). Wyznaczony wcześniej punkt Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 2\} , należy do krawędzi Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle k_3\} ,, a wiec należy do płaszczyzny Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \alpha\} ,Punkt ten należy również do ściany Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle EFGH\} , sześcianu. Drugim punktem wspólnym płaszczyzny Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \alpha\} , i górnej podstawy Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle EFGH\} , jest punkt Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle Q\} , z założenia należący do tych płaszczyzn. Zatem Kolejna krawędź Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle k_4\} , będzie przechodziła przez punkty Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle Q\} , i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 2\} ,. Krawędź Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle k_4\} ,, jak wynika z niezmienników rzutowania równoległego (płaszczyzna kroi dwie równoległe do siebie płaszczyzny wzdłuż dwóch prostych równoległych) będzie równoległa do krawędzi Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle k_1\} ,. Kolejna krawędź Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle k_5\} ,, należąca do przekroju, będzie przechodziła przez punkt Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 3\} , znajdujący się na krawędzi Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle k_4\} , oraz boku Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle EH\} , sześcianu. Krawędź ta będzie również równoległa do krawędzi Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle k_3\} ,. Zamykająca przekrój krawędź Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle k_6\} , będzie przechodziła przez punkty Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 4\} ,, Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle P\} ,, i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 1\} ,.

---

Kończąc zadanie: usuwamy części krawędzi sześcianu, które zostały odcięte płaszczyzną Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \alpha\} , oraz kreskujemy figurę w płaszczyźnie przekroju, zgodnie z zasadami zapisu konstrukcji.

---