Matematyka dyskretna 1/Test 3: Zliczanie zbiorów i funkcji

Niech $X$ będzie dowolnym zbiorem skończonym. Wtedy:

liczba injekcji, liczba surjekcji i liczba bijekcji z $X$ w $X$ jest taka sama Dobrze

injekcji i bijekcji z $X$ w $X$ jest tyle samo, natomiast surjekcji może być mniej Źle

injekcji i surjekcji z $X$ w $X$ jest tyle samo, natomiast bijekcji może być mniej Źle

liczba injekcji jest niewiększa od liczby surjekcji, która jest niewiększa od liczby bijekcji (wszystkie funkcje z $X$ w $X$) Dobrze

Niech $A$ będzie zbiorem dodatnich liczb nieparzystych. Wtedy:

$A$ jest przeliczalny Dobrze

istnieje injekcja z $A$ w $\mathbb{\mathbb{N}}$ Dobrze

istnieje surjekcja z $A$ w $\mathbb{\mathbb{N}}$ Dobrze

istnieje bijekcja z $A$ w pewien właściwy podzbiór $A$ Dobrze

Maksymalna liczba punktów które można wybrać w trójkącie równobocznym o boku $1$ (wraz z obrzeżami) tak, by dowolne dwa były odległe o co najmniej $\frac{1}{2}$ to:

$3$ Źle

$4$ Źle

$5$ Źle

$6$ Dobrze

Dla skończonych zbiorów $A,B,C,D$ takich, że $A\cap B=\mathrm{\varnothing }$ i $C\cap D=\mathrm{\varnothing }$, moc zbioru $A\cup B\cup C\cup D$ wynosi:

$\left|A\right|+\left|B\right|+\left|C\right|+\left|D\right|-|A\cap C|-|A\cap D|-|B\cap C|-|B\cap D|$ Dobrze

$\left|A\right|+\left|B\right|+\left|C\right|+\left|D\right|-\sum _{I,J\in \{A,B,C,D\},I\ne J}|I\cap J|+\sum _{I,J,K\in \{A,B,C,D\},I\ne J\ne K\ne I}|I\cap J\cap K|$ Dobrze

$|A\cup B|+|C\cup D|$ Źle

$|A\cup C|+|B\cup D|$ Źle

Gdy $X$ jest zbiorem skończonym, to par $(A,B)$ takich, że $A\subseteq B\subseteq X$ jest:

$2^{\left|X\right|}+2^{\left|X\right|}$ Źle

$2^{\left|X\right|}\cdot 2^{\left|X\right|}$ Źle

$2^{{\left|X\right|}^2}$ Źle

$3^{\left|X\right|}$ Dobrze

Bartek, Paweł i Piotrek wybrali się na wesele znajomych. W pewnym momencie na parkiecie tańczyło $7$ samotnych dziewcząt. Cała trójka postanowiła spróbować szczęścia. Najpierw jednak ustalili, że każdy poprosi do tańca inną panią. Na ile sposobów mogli oni dokonać wyboru?

$7^3$ Źle

$3^7$ Źle

$7!\cdot 3!$ Źle

$\frac{7!}{4!}$ Dobrze

Dowolna permutacja zbioru skończonego:

jest odwracalna Dobrze

jest rozkładalna na cykle Dobrze

jest rozkładalna na rozłączne cykle Dobrze

jest jednoznacznie rozkładalna (z dokładnością do porządku cykli) na rozłączne cykle Dobrze

W dowolnym dwu-kolorowaniu (białym i czarnym kolorem) punktów płaszczyzny ${\mathbb{ℝ}}^2$:

dla nieskończenie wielu $r>0$ istnieją dwa czarne punkty oddalone o $r$ Źle

dla dowolnego $r>0$ istnieją dwa czarne punkty oddalone o $r$ Źle

dla nieskończenie wielu $r>0$ istnieją dwa jednobarwne punkty oddalone o $r$ Dobrze

dla dowolnego $r>0$ istnieją dwa jednobarwne punkty oddalone o $r$ Dobrze

Masz zestaw składający się z trzech typów klocków: $6$ dużych, $7$ średnich i $3$ małych. Piramidę złożoną z $3$ klocków (na dole największy, później średni i na górze mały) można zbudować na:

$6\cdot 7\cdot 3$ sposobów Dobrze

$\frac{6\cdot 7\cdot 3}{2}$ sposobów Źle

$\frac{6\cdot 7\cdot 3}{3!}$ sposobów Źle

$6!7!3!$ sposobów Źle

Ile liczb rzeczywistych wystarcza by mieć pewność, że wśród nich co najmniej dwie mają rozwinięcia dziesiętne pokrywające się w nieskończonej liczbie miejsc po przecinku (jeśli liczba ma skończone rozwinięcie, to uzupełniamy je zerami).

$2$ Źle

$10$ Źle

$11$ Dobrze

nieskończenie wiele Dobrze