Analiza matematyczna 2/Test 2: Ciągi w przestrzeniach metrycznych

Ciąg w przestrzeni metrycznej dyskretnej jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy

jest stały Źle

jest od pewnego miejsca stały Źle

zawsze Dobrze

Ciąg $\{\frac{1}{n}{\}}_{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}$ w przestrzeni metrycznej $(\mathbb{ℝ}\setminus \{0\},d_2)$ jest ciągiem

zbieżnym w tej przestrzeni Źle

spełniającym warunek Cauchy'ego w tej przestrzeni Dobrze

ograniczonym w tej przestrzeni Dobrze

W ${\mathbb{ℝ}}^2$ z metryką kolejową o węźle $O=(0,0)$ dany jest ciąg $x_n=(-\frac{1}{n},-1)$ dla $n\in \mathbb{\mathbb{N}}.$ Odległość między kolejnymi wyrazami tego ciągu $d(x_n,x_{n+1})$

maleje do zera, gdy $n\to +\mathrm{\infty }$ Źle

jest zawsze w przedziale $[1,2]$ Źle

jest zawsze w przedziale $[2,4]$ Dobrze

Punktami stałymi odwzorowania $f:\mathbb{ℝ}⟶\mathbb{ℝ},f(x)=x^2+x-1$ są

$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ i $\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ Źle

$-1$ i $1$ Dobrze

odwzorowanie nie ma punktów stałych Źle

Obrazem odcinka $[0,1]$ przez funkcję $\frac{1}{x-2}$ jest

$[\frac{1}{2},1]$ Źle

$[-1,-\frac{1}{2}]$ Dobrze

$(-\mathrm{\infty },-\frac{1}{2}]$ Źle

W $\mathbb{ℝ}$ z metryką dyskretną rozważamy zbiór $A=\{5,25\}.$ Zbiór $A$

jest spójny Źle

jest zwarty Dobrze

zawiera się w pewnej kuli o promieniu $2$ Dobrze

Niech $A$ będzie kulą w ${\mathbb{ℝ}}^2$ z metryką $d_1$ o środku $(0,0)$ i promieniu $1.$ Promień największej kuli w ${\mathbb{ℝ}}^2$ z metryką $d_2$ o środku $(0,0)$ zawartej w kuli $A$ wynosi

$1$ Źle

$\sqrt{2}$ Źle

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ Dobrze

W przestrzeni metrycznej dyskretnej dany jest zbiór ciągowo zwarty $A.$ Wówczas zbiór $A$ jest

zwarty Dobrze

skończony Dobrze

ograniczony Dobrze

W przestrzeni metrycznej $(\mathbb{ℝ},d_2)$ dany jest zbiór $A=\{-1\}\cup [2,3].$ Wówczas

$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}A=(2,3)$ Dobrze

$\partial A=\{2,3\}$ Źle

$\partial (\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}A)=\{2,3\}$ Dobrze