Zadanie 5.1
Niech
Wyznaczyć .
Wskazówka
Z definicji rzędu macierzy wynika, że musimy znaleźć maksymalną
liczbę liniowo niezależnych kolumn (lub wierszy) naszej macierzy.
Rozwiązanie Będziemy się starali wyznaczyć maksymalną liczbę liniowo niezależnych kolumn naszej macierzy. Zauważmy, że kolumna trzecia jest równa kolumnie pierwszej przemnożonej przez
, co oznacza, że rząd macierzy
nie może być równy
, ponieważ jej kolumny nie są liniowo niezależne. Łatwo widać, że jedynymi skalarami takimi, że
są , czyli pierwsza i druga kolumna naszej macierzy są liniowo niezależne. Znaleźliśmy więc dwie liniowo niezależne kolumny macierzy i wiemy, że nie uda się znaleźć trzech liniowo
niezależnych kolumn tej macierzy. Oznacza to, że rząd naszej macierzy jest równy .
Zadanie 5.2
Dane są macierze
Obliczyć oraz .
Wskazówka Wystarczy wykonać odpowiednie rachunki korzystając z określenia mnożenia macierzy i z definicji macierzy transponowanej.
Rozwiązanie Mamy:
Oczywiście
Rachując bezpośrednio lub korzystając ze wzoru otrzymujemy:
Zadanie 5.3
Niech
gdzie oraz . Wykazać, że macierz
jest odwrotna do .
Wskazówka Wystarczy udowodnić, że .
Rozwiązanie Zauważmy, że dzięki założeniu, że
macierz
jest dobrze określona. Korzystając z własności mnożenia macierzy przez skalar oraz wykonując odpowiedni rachunki widzimy także, że
i analogicznie
Wykazaliśmy zatem, że , co oznacza, że macierz jest macierzą odwrotną do macierzy .
Zadanie 5.4
Dane są macierze
Wyznaczyć , , oraz . Zbadać, czy .
Wskazówka Wystarczy wykonać odpowiednie rachunki. W celu wyznaczenia macierzy
,
oraz
możemy skorzystać ze wzoru podanego w zadaniu
5.3. Pamiętajmy, że mnożenie macierzy kwadratowych nie jest przemienne.
Rozwiązanie Elementarny rachunki pokazują, że
Korzystając ze wzoru podanego w zadaniu 5.3 stwierdzamy,
że macierze oraz są odwracalne oraz
Na koniec zauważmy jeszcze, że , bo
Zadanie 5.5
Niech
Wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy .
Wskazówka Wystarczy rozwiązać trzy następujące układy równań:
Rozwiązanie Zauważmy, że jeżeli macierz
jest macierzą odwrotną do macierzy
, to
-ta kolumna macierzy
spełnia układ równań
, gdzie
oznacza
-ty wektor bazy kanonicznej przestrzeni
, co możemy zapisać w następujący sposób:
Oznacza to, że obliczenie macierzy odwrotnej do można sprowadzić
do rozwiązania układów równań liniowych o identycznych lewych
stronach i zmieniających się prawych stronach. Układe te to
Rozwiązując te układy otrzymujemy kolejne kolumny macierzy , i tak rozwiązaniami kolejnych układów są:
Otrzymujemy stąd, że
Zadanie 5.6
Niech będą macierzami postaci
Wyznaczyć i dla .
Wskazówka Policzmy , potem . Spróbujmy odgadnąć jak będzie wyglądała macierz dla dowolnego . Jak już zgadniemy jak wygląda , to możemy przeprowadzić dowód przy pomocy indukcji matematycznej. Dla macierzy postępujemy analogicznie.
Rozwiązanie Zauważmy, że
Korzystając z podstawowych własności mnożenia macierzy przez skalar
otrzymujemy stąd, że
oraz
Zauważmy, że
Udowodnimy, że
Pierwszy krok dowodu indukcyjnego już zrobiliśmy. Załóżmy zatem, że
nasz wzór jest prawdziwy dla pewnego . Wówczas
co było do okazania.
Zadanie 5.7
Niech będzie zbiorem tych wszystkich
macierzy kwadratowych , które komutują z macierzą
, gdzie
Innymi słowy
- i) Sprawdzić, że jest podprzestrzenią przestrzeni .
- ii) Wyznaczyć bazę podprzestrzeni oraz podać jej wymiar.
Wskazówka Dowód, że
jest podprzestrzenią przestrzeni
można przeprowadzić w oparciu o podstawowe własności mnożenia macierzy. Przy poszukiwaniu bazy dla
można, korzystając
z definicji mnożenia macierzy, ułożyć układ równań jakie muszą spełniać wyrazy macierzy komutujących z , a następnie wyznaczyć ogólną postać takiej macierzy. Posługując się postacią ogólną można wyznaczyć zbiór wektorów generujących przestrzeń , a potem wyznaczyć maksymalny liniowo niezależny podzbiór tego zbioru, aby otrzymać bazę.
Rozwiązanie
- i) Udowodnimy, że jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni .
Zauważmy, że jest zbiorem niepustym, bo macierz jednostkowa
należy do . Weżmy dowolne macierze oraz dowolne
skalary . Aby wykazać, że macierz należy do zbioru musimy wykazać, że
Korzystając z elementarnych praw działań na macierzach widzimy, że
Powyższa równość oznacza, że macierz należy do zbioru i jest podprzestrzenią wektorową.
- ii) Załóżmy, że macierz . Wówczas , czyli
Przyrównując do siebie odpowiadające sobie wyrazy macierzy stojących
po lewej i prawej stronie tej równości widzimy, że wyraz
może być dowolny oraz
Pozostałe wyrazy macierzy muszą być równe . Widzimy stąd, że
macierz wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją liczby
rzeczywiste takie, że
Zauważmy, że wynika stąd, że jeżeli , to
gdzie
W szczególności widzimy, że
Załóżmy teraz, że skalary dobrano tak, aby
kombinacja liniowa była równa macierzy zerowej.
Oznacza to, że zachodzi równość
Powyższa równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy
Wykazaliśmy zatem, że macierze tworzą bazę podprzestrzeni .
Zadanie 5.8
Ustalmy liczbę . Niech będzie
macierzą, której jedyny niezerowy wyraz jest równy i stoi na
przecięciu -tego wiersza oraz -tej kolumny, gdzie . Dla danych liczb naturalnych ,
oraz liczby rzeczywistej definiujemy macierze
kwadratowe ,
gdzie
innymi słowy macierz , to macierz jednostkowa, w której
zamieniono miejscami wiersze o numerach oraz , macierz
, to macierz jednostkowa, w której do wiersza
-tego dodano wiersz -ty przemnożony przez liczbę rzeczywistą
, natomiast macierz , to macierz jednostkowa,
w której -ty przemnożono przez liczbę rzeczywistą
, czyli
Niech będzie dowolną macierzą o wierszach. Udowodnić, że
- a) Macierz powstająca z macierzy poprzez zamianę -tego i -tego wiersza miejscami jest równa .
- b) Macierz powstająca z macierzy poprzez dodanie do -tego wiersza -tego pomnożonego przez liczbę rzeczywistą jest równa .
- c) Macierz powstająca z macierzy poprzez pomnożenie -tego wiersza przez liczbę rzeczywistą jest równa .
Wskazówka Należy skorzystać ze wzoru na mnożenie macierzy.
Rozwiązanie Załóżmy, że macierz
ma
wierszy. Oznaczmy wyraz stojący w
-tym wierszu i
-tej kolumnie macierzy macierzy
przez
, czyli
. Analogicznie niech
- a) Oznaczmy wyraz stojący w -tym wierszu i -tej kolumnie macierzy przez . Weżmy dowolne takie, że oraz . Rozważmy wyraz stojący w -tym wierszu macierzy w kolumnie (). Zgodnie ze wzorem na mnożenie macierzy mamy
Ale w -tym wierszu macierzy stoi tylko jedne niezerowy
wyraz - to stojący w -tej kolumnie, stąd
co oznacza, że w macierzy wszystkie wiersze (ewentualnie
poza wierszami o numerach oraz ) są identyczne jak
w macierzy . Rozważmy teraz wyraz stojący w -tym
wierszu macierzy w kolumnie , gdzie .
Korzystając ze wzoru na mnożenie macierzy otrzymujemy:
Wiedząc, że jedynym niezerowym wyrazem w -tym wierszu macierzy
jest stojący w -tej kolumnie wyraz widzimy,
że
Oznacza to, że -ty wiersz macierzy jest równy -temu
wierszowi macierzy . Analogiczne rozumowanie dowodzi, że -ty
wiersz macierzy jest równy -temu wierszowi macierzy
. Wykazaliśmy, że macierz powstaje z macierzy
poprzez zamianę miejscami -tego wiersza z -tym.
- b) Oznaczmy wyraz stojący w -tym wierszu i -tej kolumnie macierzy przez . Weżmy dowolne takie, że . Ustalmy i rozważmy wyraz stojący w -tym wierszu macierzy w kolumnie . Zgodnie ze wzorem na mnożenie macierzy mamy
Wiedząc, że jedynym niezerowym wyrazem w -tym wierszu macierzy
jest stojący na przekątnej wyraz
widzimy, że
Oznacza to, że -ty wiersz macierzy jest równy
-temu wierszowi macierzy dla każdego różnego
od . Rozważmy teraz wyraz stojący w -tym wierszu
macierzy w kolumnie , gdzie .
Korzystając ze wzoru na mnożenie macierzy otrzymujemy:
W -tym wierszu macierzy są dwa niezerowe wyrazy:
oraz . Wynika stąd, że
Widzimy, że -ty wiersz macierzy jest równy
-temu wierszowi macierzy powiększonemu o -ty wiersz
macierzy pomnożony przez , co kończy dowód.
- c) Oznaczmy wyraz stojący w -tym wierszu i -tej kolumnie macierzy przez i weżmy dowolne oraz . Ze wzoru na mnożenie macierzy otrzymujemy
Ponieważ jedynymi niezerowymi wyrazami stojącymi w macierzy
są te stojace na przekątnej, widzimy, że
Otrzymaliśmy zatem, że wszystkie wiersze macierzy
poza wierszem -tym są równe odpowiednim wierszom macierzy
, natomiast -ty wiersz macierzy jest równy
-temu wierszowi macierzy pomnożonemu przez liczbę rzeczywistą
, co należało wykazać.
Definicja 1
Mówimy, że macierz jest w postaci schodkowej, jeżeli spełnione
są następujące dwa warunki:
- Jeżeli pewien wiersz macierzy składa się z samych zer, to wszystkie następne wiersze także składają się z samych zer (innymi słowy, wiersz zawierający niezerowe elementy nie może być poprzedzony przez wiersz zerowy).
- W każdym niezerowym wierszu macierzy pierwszy niezerowy element występuje w kolumnie o numerze większym niż numer kolumny zawierający pierwszy niezerowy element poprzedniego wiersza.
Przykład 1
- 1. Podane poniżej macierze są macierzami w postaci schodkowej
- 2. Podane poniżej macierze nie są macierzami w postaci schodkowej
Definicja 2
Operacją elementarną na wierszach macierzy nazywamy
każdą z poniższych czynności:
- Przemnożenie dowolnego wiersza macierzy przez różną od zera liczbę rzeczywistą.
- Zamiana dwóch wierszy miejscami.
- Dodanie do dowolnego wiersza innego wiersza przemnożonego przez dowolną liczbę rzeczywistą.
Definicja 3
Jeżeli jest macierzą w postaci schodkowej, to każdą
kolumnę, w której stoi pierwszy niezerowy wyraz jakiegoś wiersza
nazywamy kolumną bazową.
Przykład 2
Kolumnami bazowymi dla następującej macierzy
są kolumny: pierwsza, trzecia i szósta.
Twierdzenie 5.1
Jeżeli jest macierzą w postaci schodkowej, to rząd
macierzy jest równy liczbie kolumn bazowych.
Zadanie 5.9
Udowodnić twierdzenie 5.1.
Wskazówka Dowód przeprowadzić w dwóch krokach:
- i) Udowodnić, że kolumny bazowe są liniowo niezależnymi wektorami w przestrzeni .
- ii) Udowodnić, że każda kolumna nie będąca kolumną bazową jest kombinacją liniową kolumn bazowych.
Rozwiązanie Niech
będzie macierzą w postaci schodkowej. Rząd macierzy to maksymalna ilość liniowo niezależnych kolumn. Wystarczy udowodnić, że
- i) kolumny bazowe są liniowo niezależnymi wektorami w przestrzeni .
- ii) każda kolumna nie będąca kolumną bazową jest kombinacją liniową kolumn bazowych.
Załóżmy, że kolumnami bazowymi są kolumny o numerach
, gdzie
Kolumny te możemy utożsamiać z wektorami w przestrzeni
i oznaczyć ich współrzędne w następujący sposób:
Ponieważ zakładamy, że wektory odpowiadają kolumnom bazowym, zatem wiemy, że
dla . Jeżeli teraz rozważymy kombinację liniową
wektorów o współczynnikach
, dającą wektor zerowy, to rozważając
odpowiedni układ równań zobaczymy, że
co oznacza liniową niezależność kolumn bazowych. Rozważmy teraz
dowolną kolumnę macierzy nie będącą kolumną bazową. Kolumna ta jest poprzedzana przez kolumn bazowych, gdzie
Współrzędne od do utożsamianego z tą kolumną wektora
w przestrzeni są wtedy równe zero. Nasza kolumna jest zatem
elementem pewnej wymiarowej podprzestrzeni przestrzeni .
Ponieważ kolumn bazowych, które ją poprzedzają także należy do
tej podprzestrzeni i tworzy zbiór liniowo niezależny nasza kolumna
musi być kombinacją liniową tych kolumn bazowych.
Twierdzenie 5.2
Każdą macierz można przy pomocy operacji elementarnych sprowadzić do
postaci schodkowej.
Dowód
Przeprowadzony przez nas dowód będzie konstruktywny,
tzn. nie tylko uzasadnimy, że każda macierz może być przy pomocy
operacji elementarnych przekształcona do postaci schodkowej, ale
równocześnie podamy efektywny algorytm, opisujący krok po
kroku jakich operacji elementarnych należy użyć.
Niech będzie macierzą, którą będziemy
przekształcać do postaci schodkowej. Oznaczmy wyraz stojący
w macierzy w -tym wierszu oraz -tej kolumnie przez
, czyli
Jeżeli jest macierzą zerową (dowolnego wymiaru) lub ma tylko
jeden wiersz to jest macierzą w postaci schodkowej i teza jest
w tych przypadkach spełniona.
Załóżmy zatem, że jest niezerową macierzą o co najmniej dwóch
wierszach i nie jest jeszcze w postaci schodkowej. Rozpatrzmy
pierwszą niezerową kolumnę występującą w naszej macierzy. Załóżmy,
że jest to kolumna o numerze . Kolumna ta będzie pierwszą kolumną
bazową. Jeżeli w tej kolumnie w pierwszym wierszu stoi , to
zamieniamy pierwszy wiersz z jakimkolwiek wierszem, w którym
w rozważanej kolumnie bazowej występuje niezerowy wyraz. Ponieważ
założyliśmy, że kolumna bazowa o numerze zawiera wyrazy różne od
zera taka operacja jest zawsze wykonalna. Po ewentualnej zamianie
wierszy mamy zatem do czynienia z macierzą, której pierwsza
niezerowa kolumna ma numer oraz wyraz stojący w pierwszym
wierszu oraz kolumnie , oznaczony tu , jest różny od
zera. Dzięki temu możemy teraz używając operacji elementarnych
wyzerować wyrazy macierzy leżące w kolumnie bazowej poniżej
pierwszego wiersza. Uczynimy to odejmując od -tego wiersza, gdzie
wiersz pierwszy pomnożony przez .
Zauważmy, że współczynnik stojący w -tym wierszu
i kolumnie w macierzy powstającej po zastosowaniu tej operacji
elementarnej jest równy
Oznacza to, że po zastosowaniu naszej operacji elementarnej do
wszystkich wierszy macierzy od drugiego do -tego włącznie
otrzymujemy macierz, w której jedynym niezerowym wyrazem stojącym
w kolumnie jest współczynnik stojący w pierwszym wierszu.
Otrzymaliśmy macierz , którą schematycznie możemy zapisać tak:
Oznacza to, że pierwszy krok naszego algorytmu został zakończony.
Rozpatrzmy teraz macierz powstajacą z macierzy poprzez
wykreślenie pierwszego wiersza i pierwszych kolumn. Oznaczmy ją
przez .
Jeżeli macierz będzie macierzą w postaci schodkowej, to widać,
że macierz będzie także w postaci schodkowej i nasz algorytm
jest zakończony. Aby dokończyć dowód wystarczy zatem uzasadnić, że
macierz może być przy pomocy operacji elementarnych na
wierszach sprowadzona do postaci schodkowej (operacje na wierszach
mogą uważana za operacje na wierszach , ponieważ wyrazy
stojące w pierwszych kolumnach w macierzy w wierszach od
do -tego są równe ). Jeżeli jest niezerową macierzą
o co najmniej dwóch wierszach nie bedącą w postaci schodkowej, to
powtarzając opisaną wyżej procedurę do macierzy sprowadzimy
nasz problem do macierzy liczącej od dwa wiersza mniej niż
macierz . Ponieważ liczba wierszy naszej macierzy jest skończona
jasne jest, że najdalej po krokach otrzymamy macierz w postaci
schodkowej.

Twierdzenie 5.3
Operacje elementarne na wierszach macierzy nie zmieniają rzędu
macierzy.
Dowód
Wynika z modułów V i VI wykładu.

Wniosek 5.4
Aby obliczyć rząd macierzy wystarczy sprowadzić ją przy pomocy
operacji elementarnych do postaci schodkowej i obliczyć liczbę
kolumn bazowych.