Analiza matematyczna 1/Ćwiczenia 3: Odległość i ciągi

Odległość i ciągi w Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\math”): {\displaystyle \math{R}^{N}.} Ćwiczenia

Zadanie 1

Wykazać, że funkcje $d_{\mathrm{\infty }}$ i $d_1$ zdefiniowane na $r^N\times r^N$ jako

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\rr”): {\displaystyle d_{\infty}(x,y) = \max_{i=1,\ldots, N}|x_i-y_i|, \qquad dla \quad x,y\in\rr^{N},}

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\r”): {\displaystyle d_{1}(x,y) = \sum_{i=1}^{N}|x_i-y_i| \qquad dla \quad x,y\in\r^{N},}

są metrykami (patrz Przykłady Uzupelnic p.new.am1.w.03.050| i Uzupelnic p.new.am1.w.03.060|).

Wskazówka.

Wszystkie trzy warunki definicji metryki są łatwe do sprawdzenia.

W nierówności trójkąta należy wykorzystać nierówność dla wartości bezwzględnej w $r$ (to znaczy nierówność trójkąta dla metryki euklidesowej w $r$).

Rozwiązanie.

Sprawdźmy trzy warunki z definicji metryki dla $d_{\mathrm{\infty }}$:

Dla Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\rr”): {\displaystyle x,y\in\rr^N} mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle d_{\infty}(x,y)=0 & \Longleftrightarrow & \max_{i=1,\ldots, N}|x_i-y_i|=0 \ \Longleftrightarrow\ |x_1-y_1|=\ldots=|x_N-y_N|=0}

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \Longleftrightarrow \big[x_1=y_1,\ \ldots,\ x_N=y_N\big] \ \Longleftrightarrow\ x=y.}

Wobec tego, że $|a-b|=|b-a|$, dla Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\r”): {\displaystyle x,y\in\r^{N}} mamy

$d_{\mathrm{\infty }}(x,y)=\underset{i=1,\dots ,N}{\max }|x_i-y_i|=\underset{i=1,\dots ,N}{\max }|y_i-x_i|=d_{\mathrm{\infty }}(x,y)$

zatem spełniony jest warunek symetrii.
Wobec tego, że $|a-b|\le |a-c|+|c-b|$, dla $x,y,z\in r^N$ mamy

$d_{\mathrm{\infty }}(x,z)=\underset{i=1,\dots ,N}{\max }|x_i-z_i|=\underset{i=1,\dots ,N}{\max }|x_i-y_i+y_i-z_i|\le \underset{i=1,\dots ,N}{\max }(|x_i-y_i|+|y_i-z_i|)$

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \le \max_{i=1,\ldots, N}|x_i-y_i| +\max_{i=1,\ldots, N}|y_i-z_i| \ =\ d_{\infty}(x,y)+d_{\infty}(y,z), }

zatem pokazaliśmy warunek trójkąta. Zatem że $d_{\mathrm{\infty }}$ jest metryką w $r^N.$

Sprawdźmy trzy warunki z definicji metryki dla $d_1$:
Dla $x,y\in r^N$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle d_{1}(x,y)=0 \Longleftrightarrow \sum_{i=1}^{N}|x_i-y_i|=0 \Longleftrightarrow\ |x_1-y_1|=\ldots=|x_N-y_N|=0}

$⟺[x_1=y_1,\dots ,x_N=y_N]⟺x=y$

Dla $x,y\in r^N,$ mamy

$d_1(x,y)=\sum _{i=1}^N|x_i-y_i|=\sum _{i=1}^N|y_i-x_i|=d_1(x,y)$

zatem spełniony jest warunek symetrii.
Dla $x,y,z\in r^N,$ mamy

$d_1(x,z)=\sum _{i=1}^N|x_i-z_i|=\sum _{i=1}^N|x_i-y_i+y_i-z_i|\le \sum _{i=1}^N(|x_i-y_i|+|y_i-z_i|)$

$\le \sum _{i=1}^N|x_i-y_i|+\sum _{i=1}^N|y_i-z_i|=d_1(x,y)+d_1(y,z),$

zatem pokazaliśmy warunek trójkąta. Wykazaliśmy zatem, że $d_1$ jest metryką w $r^N.$

Zadanie 2

Dla danej metryki $d$ w $r^N$ można zdefiniować odległość punktu $x$ od zbioru $A\ne \mathrm{\varnothing }$ jako infimum wszystkich odległości między $x$ a punktami zbioru $A$, czyli

$dist(x,A)=\underset{z\in A}{\inf }d(x,z).$

Rysunek AM1.M03.C.R01 (stary numer AM1.3.24).
Dany jest zbiór $A=[0,1]\times [0,1]\subseteq r^2$ oraz dwa punkty $x=(2,3)$ oraz $y=(3,-2).$ Wyznaczyć
(a) odległość punktów $x$ i $y$;
(b) $dist(x,A)$; kolejno w metrykach: euklidesowej $d_2$; taksówkowej $d_1$; maksimowej $d_{\mathrm{\infty }}.$

Wskazówka.

Należy wykonać rysunek zbioru $A$ oraz wszystkich zadanych punktów

w układzie współrzędnych. Przy liczeniu odległości punktów oraz odległości punktu od zbioru należy skorzystać z definicji poszczególnych metryk oraz rysunku.

Rozwiązanie.

(1) Dla metryki euklidesowej $d_2$ mamy:
Rysunek AM1.M03.C.R02 (nowy)
(a)

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle d_2(x,y) \ =\ d_2\big((2,3),(3,-2)\big) \ =\ \sqrt{(2-3)^2+(3+2)^2} \ =\ \sqrt{26}. }

(b) Odległość $x$ od zbioru $A$ jest realizowana w punkcie $z=(1,1)$ (patrz rysunek; łatwo pokazać, że odległość od $x$ do dowolnego innego punktu zbioru $A$ jest większa, niż do $z$), zatem

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dist”): {\displaystyle \dist (x,A) \ =\ d_2\big((2,3),(1,1)\big) \ =\ \sqrt{(2-1)^2+(3-1)^2} \ =\ \sqrt{5}. }

(2) Dla metryki taksówkowej $d_1$ mamy:
{{red}Rysunek AM1.M03.C.R03 (nowy)}
(a)

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle d_1(x,y) \ =\ d_1\big((2,3),(3,-2)\big) \ =\ |2-3|+|3+2| \ =\ 6. }

(b) Odległość $x$ od zbioru $A$ jest realizowana w punkcie $z=(1,1)$ (patrz rysunek; łatwo pokazać, że odległość od $x$ do dowolnego innego punktu zbioru $A$ jest większa, niż do $z$), zatem

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dist”): {\displaystyle \dist (x,A) \ =\ d_1\big((2,3),(1,1)\big) \ =\ |2-1|+|3-1| \ =\ 3. }

(3) Dla metryki maksimowej $d_{\mathrm{\infty }}$ mamy:
{{red}Rysunek AM1.M03.C.R04 (nowy)}.
(a)

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle d_{\infty}(x,y) \ =\ d_{\infty}\big((2,3),(3,-2)\big) \ =\ \max\big\{|2-3|,|3+2|\big\} \ =\ 5. }

(b) Odległość $x$ od zbioru $A$ jest realizowana na przykład w punkcie $z=(0,1)$ (patrz rysunek; łatwo pokazać, że odległość od $x$ do dowolnego innego punktu zbioru $A$ jest niemniejsza, niż do $z$), zatem

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dist”): {\displaystyle \dist (x,A) \ =\ d_2\big((2,3),(0,1)\big) \ =\ \max\big\{|2-0|,|3-1|\big\} \ =\ 2. }

Udowodnić, że dla każdego ciągu Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\rr”): {\displaystyle \displaystyle\{x_n\}\subseteq\rr^N} istnieje co najwyżej jedna granica, to znaczy:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\limn”): {\displaystyle \bigg[ \limn x_n = g_1\in \rr^N \quad} i Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\limn”): {\displaystyle \quad \limn x_n = g_2\in \rr^N \bigg] \ \Lra\ g_1=g_2. }

Przeprowadzić dowód niewprost. Dobrać Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\eps”): {\displaystyle \displaystyle\eps=\frac{1}{2}d(g_1,g_2)} w definicji granicy ciągu.

Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\limn”): {\displaystyle \limn x_n = g_1, \quad \limn x_n = g_2 \quad} oraz $g_1\ne g_2.$

Niech Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\eps”): {\displaystyle \displaystyle\eps=\frac{1}{2}d(g_1,g_2).} Wówczas Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\eps”): {\displaystyle \displaystyle\eps>0} (gdyż założyliśmy, że $g_1\ne g_2$). Z definicji granicy ciągu wynika, że

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \aligned\graph \exists N_1\in\nn\ \forall n\ge N_1: && d(x_n,g_1)<\frac{1}{2},\\ \exists N_2\in\nn\ \forall n\ge N_1: && d(x_n,g_2)<\frac{1}{2}. \endaligned}

Niech $N=\max \{N_1,N_2\}.$ Wówczas dla wyrazu $x_N$ mamy:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle d(g_1,g_2) \ \le\ d(g_1,x_N)+d(x_N,g_2) \ <\ \frac{1}{2}d(g_1,g_2)+\frac{1}{2}d(g_1,g_2) \ =\ d(g_1,g_2), }

sprzeczność. Zatem $g_1=g_2.$
{{red}Rysunek AM1.M03.C.R05 (nowy)}
{{red}Rysunek AM1.M03.C.R06 (nowy)}

Udowodnić, że jeśli ciąg Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\rr”): {\displaystyle \displaystyle\{x_n\}\subseteq\rr^N} jest zbieżny, to jest ograniczony.

Zastosować definicję granicy z ustalonym Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\eps”): {\displaystyle \displaystyle\eps>0} (na przykład Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\eps”): {\displaystyle \displaystyle\eps=1} ) i zauważyć, że od pewnego miejsca ciąg jest ograniczony.

Załóżmy, że Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\limn”): {\displaystyle \displaystyle\limn x_n=g.} Ustalmy Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\eps”): {\displaystyle \displaystyle\eps=1.} Z definicji granicy ciągu mamy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\nn”): {\displaystyle \exists N\in\nn\ \forall n\ge N: d(x_n,g)<1 }

(to znaczy wszystkie wyrazy ciągu począwszy od $N$-tego leża w kuli jednostkowej, a więc tworzą zbiór ograniczony). Niech teraz

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle R \ =\ \max\big\{ d(x_1,g),\ d(x_2,g),\ \ldots,\ d(x_N,g) \big\} +1. }

Wówczas $d(x_n,g)<R$ dla dowolnego Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\nn”): {\displaystyle n\in\nn,} czyli

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\nn”): {\displaystyle \forall n\in \nn: x_n\in K(g,R), }

{{red}Rysunek AM1.M03.C.R07 (nowy)}
a to oznacza, że ciąg $\{x_n\}$ jest ograniczony.

(1) Podać przykład nieskończonej rodziny zbiorów otwartych w Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\rr”): {\displaystyle \displaystyle\rr} takich, że ich przecięcie nie jest zbiorem otwartym.
(2) Podać przykład nieskończonej rodziny zbiorów domkniętych w Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\rr”): {\displaystyle \displaystyle\rr} takich, że ich suma nie jest zbiorem domkniętym.

(1) Rozważyć zstępującą rodzinę przedziałów otwartych (to znaczy rodzinę zbiorów otwartych, z których każdy następny jest zawarty w poprzednim).
(2) Rozważyć wstępującą rodzinę przedziałów domkniętych (to znaczy rodzinę zbiorów domkniętych, z których każdy następny zawiera poprzedni).

(1) Rozważmy przedziały otwarte $U_n=(-\frac{1}{n},1+\frac{1}{n})$ dla Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\nn”): {\displaystyle n\in\nn.} Wówczas

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty}U_n \ =\ [0,1], }

oraz przedział $[0,1]$ nie jest zbiorem otwartym.

(2) Rozważmy przedziały domknięte $F_n=[\frac{1}{n},2-\frac{1}{n}].$ Wówczas

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}F_n \ =\ (0,2), }

oraz przedział $(0,2)$ nie jest zbiorem domkniętym.

Zbadać czy ciąg Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\rr”): {\displaystyle \displaystyle\{x_n\}\subseteq \rr^2,} gdzie $x_n=\{\frac{2+n}{n},n\},$ spełnia warunek Cauchy'ego.

Zbadać odległość dwóch kolejnych wyrazów ciągu $x_n$ i $x_{n+1}$ dla dowolnego Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\nn”): {\displaystyle n\in\nn.}

Zauważmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle d_2(x_n,x_{n+1}) \ =\ \sqrt{\underbrace{\bigg(\frac{2+n+1}{n+1}-\frac{2+n}{n}\bigg)^2}_{\ge 0}+(\underbrace{n+1-n}_{=1})^2} \ \ge\ 1, }

a zatem ciąg ten nie spełnia warunku Cauchy'ego, gdyż dla dowolnie dużego Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\nn”): {\displaystyle n\in\nn} odległości między kolejnymi wyrazami ciągu

są stale większe od $1.$