PEE Moduł 13

Modele elementów półprzewodnikowych

---

Wprowadzenie Do analizy działania i projektowania układów elektronicznych stosuje się odpowiednie modele matematyczne oraz fizyczno-obwodowe elementów półprzewodnikowych wchodzących w skład tych układów. Modele te uwzględniają określone stany pracy, właściwości (np. wpływ temperatury na parametry) i nieliniowość charakterystyk danego elementu.

---

Rodzaje modeli. Modelem dowolnego urządzenia technicznego nazywamy zbiór informacji umożliwiających przewidywanie właściwości i analizowanie działania tego urządzenia w różnych stanach i warunkach pracy. W elektronice modele mają zazwyczaj postać równań matematycznych lub częściej są w postaci schematów zastępczych równoważnych przyjętym opisom matematycznym. W skład modelu mogą wchodzić dodatkowo charakterystyki prądowo-napięciowe lub inne zależności wielkości elektrycznych i nieelektrycznych poszczególnych przyrządów, elementów, większych podzespołów lub nawet całych układów. W zależności od stopnia skomplikowania modele fizyczno-obwodowe służą do analizy i projektowania układów elektronicznych bez użycia komputera lub przy jego użyciu. Modele przyrządów półprzewodnikowych można różnie sklasyfikować. Przyjmując za kryterium zakresy sygnałów jakie wystąpią na zaciskach przyrządu mamy modele: nieliniowe (dla dużych sygnałów) liniowe (małosygnałowe). Ze względu na rodzaj sygnałów są modele: statyczne (stałoprądowe) dynamiczne (zmiennoprądowe), które są najczęściej przeznaczone do analizy obwodów w dziedzinie czasu lub częstotliwości. Inne kryteria podziału mają na celu zaakcentowanie pewnych szczególnych cech przyrządu półprzewodnikowego, np. wpływu temperatury. Mamy tu modele: izotemperaturowe nieizotemperaturowe

---

Modele diod Dla diod sygnałowych i diod mocy, kiedy pełnią one funkcje jednokierunkowych zaworów, najważniejsze jest zamodelowanie statycznej charakterystyki prądowo-napięciowej. Przykładową charakterystykę rzeczywistej diody przedstawiono na slajdzie. Zaznaczono na niej podstawowe stany pracy diody: stan przewodzenia i stan zaporowy oraz charakterystyczne napięcia: napięcie progu zadziałania i napięcie przebicia. Najczęściej w katalogach podaje się charakterystyki w skali półlogarytmicznej. Ponieważ temperatura ma zasadniczy wpływ na ich przebieg, to temperatura złącza jest tutaj parametrem. Na przykład na slajdzie przedstawiono charakterystyki dla dwóch temperatur $100^{\circ }C$ i $25^{\circ }C$.

---

Do prostych obliczeń charakterystykę diody aproksymuje się trzema odcinkami prostych przyjmując, dla poszczególnych obszarów pracy: przewodzenia, zaporowego i przebicia, charakterystyczne wartości rezystancji. Odcinek charakterystyki w zakresie przebicia (rezystancja $r_{BR}$) najczęściej nie jest brany pod uwagę, ponieważ podczas normalnej pracy urządzeń, w których zastosowano daną diodę, przebicie napięciowe jest stanem awaryjnym powodującym uszkodzenie urządzenia. Napięcie przebicia $U_{BR}$ nie jest także podawane w katalogach przez producentów elementów półprzewodnikowych.

---

Ponieważ rezystancja obszaru zaporowego jest bardzo duża, około 107 razy większa od rezystancji w stanie przebicia i przewodzenia to często stosuje się dwuodcinkową aproksymację charakterystyki diody, np. w celu wyznaczenia strat mocy w stanie przewodzenia. Dla tego modelu w stanie przewodzenia można napisać: $U_F=U_{F(T0)}+I_F{r}_F$ gdzie: $U_{F(T0)}$ - napięcie progu załączenia diody, $r_F$ - rezystancja dynamiczna diody.

---

Jeżeli trzeba uwzględnić wsteczny prąd diody modelujemy charakterystykę w sposób przedstawiony na slajdzie 7. W stanie zaporowym dioda jest reprezentowana przez liniowy rezystor $R_R$, a w stanie przewodzenia przez szeregowy obwód składający się ze źródła napięcia modelującego napięcie progu załączenia diody i rezystancji dynamicznej $r_F$.

---

Model dwuodcinkowy uwzględniający warunek, że rezystancja w stanie zaporowym $R_R\to \mathrm{\infty }$.

---

Kolejne uproszczenie charakterystyki uwzględniające stałą wartość napięcia przewodzenia diody.

---

Model idealnej diody. W tym wypadku dioda jest łącznikiem, który w stanie zaporowym jest wyłączony, a w stanie przewodzenia jest załączony.

---

Do komputerowej symulacji układów elektronicznych stosuje się inne, bardziej złożone modele, oparte np. na uproszczonej teorii złącza półprzewodnikowego opracowanej przez Shockleya. Zgodnie z tą teorią prąd przewodzenia diody można obliczyć z zależności: $I_F=I_S(e^{\frac{U_F}{n\cdot U_T}}-1)$ gdzie: $I_F,U_F$ – prąd i napięcie przewodzenia, $I_S$ – prąd nasycenia płynący przy polaryzacji wstecznej złącza (prąd wsteczny), $n$ – współczynnik emisji, $U_T=kT/e$ - potencjał elektrokinetyczny lub potencjał termiczny elektronu (w temperaturze pokojowej około $25mV$), $k$ - stała Boltzmana $1,38\cdot 10^{-23}J/K$, $T$ – temperatura bezwzględna, $e$ – ładunek elementarny $1,6\cdot 10^{-19}C$

---

Prąd nasycenia $I_S$ zależy od temperatury złącza zgodnie z zależnością $I_S=C\cdot T^3\cdot e^{\frac{-E_{G0}}{U_T}}$ gdzie: $C$ - stała, $E_{G0}$ - jest ekstrapolowaną (dla Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\diplaystyle”): {\displaystyle \diplaystyle T = 0\, K} ) szerokością przerwy energetycznej ($1,19V$ dla krzemu, $0,78V$ dla germanu, $1,56V$ dla arsenku galu). Ze względu na stałą $C$ w modelach stosowanych w programach komputerowych zależność ta jest unormowana $I_S(T)=I_S(T_0)\cdot {\left(\frac{T}{T_0}\right)}^3\cdot e^{\left[\frac{E_{G0}}{U_T(T_0)}(1-\frac{T_0}{T})\right]}$

---

Jeżeli zachodzi potrzeba wyznaczenia przebiegów dynamicznych i uwzględnienia procesów bezwładnościowych związanych z gromadzeniem się i usuwaniem ze złącza ładunków, modele statyczne diody można uzupełnić przez dołączenie równolegle do bezinercyjnego modelu diody kondensatorów reprezentujących średnie pojemności dobrane odpowiednio do danego obszaru pracy. W obliczeniach komputerowych używa się dokładniejszego modelu uwzględniającego pojemność dyfuzyjną złącza $C_d$ i pojemność warstwy zaporowej ( pojemność złączową) $C_j$. $C_d=t_t\frac{e}{kT}(I_D+I_S)$ gdzie $t_t$ – czas przelotu. $C_j=C_{j0}{(1-\frac{e\cdot U_F}{kT})}^{-m}$ , gdzie $C_{j0}$ pojemność złącza przy zerowym napięciu polaryzacji, $m=0,5$ dla złącza skokowego, $m=0,333$ dla złącza liniowego. Pojemność złączową można pominąć, gdy spełniony jest warunek $I_D>>I_S$. Do opisu modelu bezinercyjnego stosuje się uproszczony wzór Shockleya $I_D=I_S(e^{\frac{U_F}{U_T}}-1)$

---

Diody Zenera i diody lawinowe. Stabilistory stosuje się w układach stabilizacji napięcia stałego. Dlatego modele jakie tutaj się stosuje są identyczne jak modele bezinercyjne diod sygnałowych i diod mocy. Najczęściej aproksymuje się charakterystykę stabilistora przy pomocy trzech odcinków prostych. Dla napięcia polaryzującego złącze w kierunku przewodzenia odcinek charakterystyki ma nachylenie odpowiadające rezystancji dynamicznej $r_F$, w kierunku wstecznym nachylenie charakterystyki jest określone przez rezystancję dynamiczną $r_Z$. Czasami zakłada się, że pomiędzy punktami załączenia (napięcie progowe $U_{F(T0)}$ w kierunku przewodzenia i przebicia (napięcie przebicia $U_{Z0}$) dla kierunku polaryzacji zaporowej stabilistor ma rezystancję $R_R$ o kilka rzędów większą niż rezystancje $r_Z$ i $r_F$ Najczęściej przyjmuje się, że rezystancja $R_R\to \mathrm{\infty }$.

---

Modele tranzystorów bipolarnych W ogólnym przypadku napięcia $U_{BE}$ i $U_{BC}$ występujące na złączach mogą przyjmować wartości dodatnie i ujemne, a tranzystor może pracować w czterech stanach: przewodzenia aktywnego, gdy złącze emiterowe przewodzi, a kolektorowe nie przewodzi ($U_{BE}>0V$, $U_{BC}<0V$) nasycenia, gdy oba złącza przewodzą ($U_{BE}>0V$, $U_{BC}>0V$) przewodzenia inwersyjnego, gdy zamieniono rolami emiter i kolektor tzn. złącze emiterowe nie przewodzi, a kolektorowe przewodzi ($U_{BE}<0V$, $U_{BC}>0V$) odcięcia, gdy oba złącza nie przewodzą ($U_{BE}<0V$, $U_{BC}<0V$) Na slajdzie przedstawiono rozpływ prądów w tranzystorze npn przy polaryzacji złącza EB w kierunku przewodzenia, a złącza BC w kierunku zaporowym. Ten stan pracy tranzystora nazywamy stanem przewodzenia aktywnego lub stanem aktywnym. Stan ten powszechnie jest wykorzystany w układach wzmacniaczy. Dla tego stanu można zapisać: $I_E=I_B+I_C=I_{ES}(e^{\frac{e\cdot U_{BE}}{k\cdot T}}-1)$ $I_C={\beta }_0\cdot I_B={\alpha }_0\cdot I_E$ $I_E=({\beta }_0+1)I_B=\frac{I_C}{{\alpha }_0}$

---

Opisowi matematycznemu przedstawionemu na slajdzie 16 odpowiada obwodowy, statyczny, nieliniowy (dla dużych sygnałów) model tranzystora bipolarnego. Przewodzące złącze baza-emiter reprezentuje tutaj dioda opisana równaniem Shockleya, a prąd kolektora zależny wyłącznie od liczby nośników mniejszościowych (elektronów) wstrzykiwanych z obszaru bazy do kolektora jest reprezentowany przez sterowne źródło prądowe ${\alpha }_0\cdot I_E$.

---

Jednym z najczęściej stosowanych podstawowych modeli tranzystora bipolarnego w zakresie dużych sygnałów uwzględniający wszystkie czterech stany pracy tranzystora bipolarnego jest Model Ebersa-Molla opublikowany przez J. J. Ebersa i J. L. Molla w 1954 roku. Aby wyjaśnić ideę tego modelu załóżmy, że dla tranzystora npn pracującego w stanie nasycenia krzywa rozkładu nośników nadmiarowych $\mathrm{\Delta }n(x)$ w bazie ma kształt jak na rysunku przedstawionym na slajdzie 17 i zawiera dwie składowe $\mathrm{\Delta }{n}_N(x)$ i $\mathrm{\Delta }{n}_I(x)$. Oznacza to, że przy pracy tranzystora w stanie nasycenia występuje jednocześnie przepływ elektronów do kolektora wstrzykiwanych przez złącze emiterowe (transmisja normalna, indeks $N$), oraz przepływ elektronów do emitera wstrzykiwanych przez złącze kolektorowe (transmisja inwersyjna, indeks $I$). Dla kierunku transmisji normalnej definiuje się współczynniki wzmocnienia prądowego ${\alpha }_N$ (lub ${\beta }_N$), a dla transmisji inwersyjnej ${\alpha }_I$ (lub ${\beta }_I$). Wartości odpowiednich współczynników nie są sobie równe, gdyż struktura tranzystora nie jest symetryczna.

---

Można zatem zapisać równania, określające związki prądów $I_C$, $I_E$ od napięć złączowych $U_{BE}$, $U_{BC}$ w postaci $I_E=I_{EN}-{\alpha }_I\cdot I_{CI}=I_{ES}(e^{\frac{e\cdot U_{BE}}{k\cdot T}}-1)-{\alpha }_I\cdot I_{CS}(e^{\frac{e\cdot U_{BC}}{k\cdot T}}-1)$ $I_C={\alpha }_N\cdot I_{EN}-I_{CI}={\alpha }_N\cdot I_{ES}(e^{\frac{e\cdot U_{BE}}{k\cdot T}}-1)-I_{CS}(e^{\frac{e\cdot U_{BC}}{k\cdot T}}-1)$ Równania te nazywamy równaniami Ebersa-Molla.

---

Bezpośrednią interpretacją obwodową równań ze slajdu 18 jest model przedstawiony na slajdzie 19.

---

Zwykle wygodniej jest posługiwać się modelem Ebersa-Molla, w którym sterowane źródła prądowe są uzależnione od prądów zewnętrznych tranzystora. $I_E={\alpha }_I\cdot I_C+I_{E0}(e^{\frac{e\cdot U_{BE}}{k\cdot T}}-1)$ $I_C={\alpha }_N\cdot I_E-I_{C0}(e^{\frac{e\cdot U_{BC}}{k\cdot T}}-1)$ gdzie $I_{E0}=(1-{\alpha }_I\cdot {\alpha }_N)\cdot I_{ES}$ $I_{C0}=(1-{\alpha }_I\cdot {\alpha }_N)\cdot I_{CS}$ Prądy zerowe tranzystora $I_{C0}=I_{CB0},IE0=I_{CE0}$ nazywane są także rozwarciowymi prądami nasycenia złącza emiterowego i kolektorowego tranzystora. Można wykazać, że ${\alpha }_N\cdot I_{E0}={\alpha }_I\cdot I_{C0}$

---

W wypadku prostych obliczeń wystarczająco dobre jest zastąpienie charakterystyk wejściowej i wyjściowej tranzystora odcinkami prostych podobnie jak to ma miejsce przy modelowaniu diod. Charakterystyka wejściowa jest aproksymowana trzema odcinkami odpowiednio dla stanu przebicia, zaporowego i przewodzenia. Stan przebicia złącza baza-emiter charakteryzuje napięcie przebicia $U_{BER}$. Praktycznie zawsze pomijane. Napięcie progowe, przy którym złącze zaczyna przewodzić jest równe $U_{BEP}$, rezystancja odpowiadająca odcinkowi charakterystyki pomiędzy napięciami $U_{BER}$ i $U_{BEP}$ ma wartość $R_{BE}$. Często pomija się ją zakładając, że $R_{BE}\to \mathrm{\infty }$. Stan przewodzenia charakteryzuje dynamiczna rezystancja wejściowa tranzystora $r_{BE}$. Charakterystyki wyjściowe to zbiór prostych równoległych, dla których parametrem jest prąd bazy $I_B$. Napięcie $U_{CES}$ jest szczątkowym napięciem kolektor-emiter na granicy obszaru aktywnego i obszaru nasycenia. W przybliżeniu jest ono równe różnicy napięć na przewodzących złączach emiterowym i kolektorowym. $U_{CES}=U_{BEP}-U_{BCP}$ Ponieważ napięcie $U_{BEP}$ jest większe od napięcia $U_{BCP}$ to napięcie $U_{CES}$ jest dodatnie. Zwykle przyjmuje się, że ma ono wartość około $0,2V$.

---

Dla poszczególnych odcinków charakterystyk odpowiadających stanom nasycenia, aktywnemu i odcięcia prądowego można narysować obwodowe, linearyzowane schematy zastępcze tranzystora bipolarnego przedstawione na slajdzie 22.

---

Jeżeli w konkretnym zastosowaniu tranzystora wymagane jest zamodelowanie charakterystyk wyjściowych z uwzględnieniem ich nachylenia, które charakteryzuje dynamiczna rezystancja wyjściowa tranzystora $r_{CE}$ lub jej odwrotność dynamiczna (przyrostowa) konduktancja $g_{CE}$ wykorzystuje się model uwzględniający zjawisko Earlyego. Polega ono na zmianie długości bazy w warstwach zaporowych złączy wnikających w głąb bazy pod wpływem przyłożonego napięcia. W wyniku skracania się bazy przy dużych napięciach kolektor-emiter wzmocnienie prądowe tranzystora zwiększa się, a to objawia się zwiększaniem nachylenia charakterystyk wyjściowych proporcjonalnie do natężenia prądu bazy. Najprościej zjawisko Earlyego uwzględnia się dobierając eksperymentalnie tzw. potencjał Earlyego $U_E$. Uwzględniając potencjał $U_E$ prąd kolektora można opisać zależnością: $I_C={\beta }_{N0}(1+\frac{U_{CE}}{U_E})\cdot I_B={\beta }_Z\cdot I_B$ przy czym ${\beta }_Z={\beta }_{N0}(1+\frac{U_{CE}}{U_E})$ ${\beta }_{N0}$ – ekstrapolowany współczynnik wzmocnienia prądowego tranzystora dla dużych sygnałów wyznaczona przy $U_{CE}=0V$. Z zależności tej można wyznaczyć dynamiczną rezystancję wyjściową tranzystora $r_{CE}=\frac{d{U}_{CE}}{d{I}_C}{|}_{I_B=const}\approx \frac{U_E}{I_C}$

---

W zakresie małych sygnałów stosuje się modele czwórnikowe tranzystora linearyzujące charakterystyki tranzystora w stanie aktywnym. Linearyzacja polega na zastąpieniu w otoczeniu punktu pracy wybranego odcinka charakterystyk liniami prostymi. Przy takim uproszczeniu wszystkie parametry tranzystora można traktować jako stałe. Z pośród wielu typów macierzy najczęściej jest stosowana macierz hybrydowa h. Opis czwórnika przy wykorzystaniu tej macierzy ma postać $u_1=i_1\cdot h_{11}+u_2\cdot h_{12}$ $i_2=i_1\cdot h_{21}+u_2\cdot h_{22}$ Schemat zastępczy odpowiadający przyjętemu opisowi przedstawiono na rysunku. Zmiennymi niezależnymi są tutaj prąd wejściowy $i_1$ oraz napięcie wyjściowe $u_2$. Ponieważ w przypadku tranzystorów bipolarnych wyróżnia się trzy podstawowe układy pracy: wspólny emiter WE, wspólny kolektor WK, wspólna baza WB to zmienne niezależne macierzy $h$ przyjmują wartości odpowiedniego prądu wejściowego i napięcia wyjściowego dla przyjętej topologii układu. Najbardziej popularnym jest układ wspólnego emitera WE, który jest opisany układem równań $u_{BE}=i_B\cdot h_{11e}+u_{CE}\cdot h_{12e}$ $i_C=i_B\cdot h_{21e}+u_{CE}\cdot h_{22e}$

---

Parametry hybrydowe tej macierzy często nazywane parametrami uniwersalnymi są definiowane następująco $h_{11e}=r_{BE}=\frac{u_{BE}}{i_B}{|}_{u_{CE}=0}=\frac{d{U}_{BE}}{d{I}_B}{|}_{U_{CE}=const}$ dynamiczna rezystancja wejściowa w stanie zwarcia na wyjściu, $h_{12e}=k_f=\frac{u_{BE}}{u_{CE}}{|}_{i_B=0}=\frac{d{U}_{BE}}{d{U}_{CE}}{|}_{I_B=const}$ współczynnik oddziaływania wstecznego w stanie rozwarcia na wejściu, $h_{21e}=\beta =\frac{i_C}{i_B}{|}_{u_{CE=0}}=\frac{d{I}_C}{d{I}_B}{|}_{U_{CE}=const}$ małosygnałowy współczynnik wzmocnienia prądowego w stanie zwarcia na wyjściu, $h_{22e}=\frac{1}{r_{CE}}=\frac{u_{CE}}{i_C}{|}_{i_B=0}=\frac{d{U}_{CE}}{d{I}_C}{|}_{I_B=const}$ dynamiczna konduktancja (rezystancja) wyjściowa w stanie rozwarcia na wejściu. Schemat zastępczy tranzystora bipolarnego, w którym zastosowano parametry uniwersalne przedstawiono na slajdzie.

---

Modele tranzystora unipolarnego Tranzystory JFET i MOSFET mają bardzo podobne charakterystyki. Zarówno dla jednych jak i drugich wyróżnia się zakres pracy liniowej i nieliniowej, które opisane są odpowiednio równaniami $I_D=\frac{I_{DSS}}{U_P^2}[2\cdot |U_{GS}-U_P|\cdot |U_{DS}-U_{DS}^2|]$ dla zakresu pracy liniowej, $I_D=I_{DSS}{(1-|\frac{U_{GS}}{U_P}\left|\right)}^2$ dla zakresu pracy nieliniowej. W modelach dla dużych sygnałów wykorzystuje się ten opis matematyczny tranzystora unipolarnego.

---

W zakresie małych sygnałów, kiedy podobnie jak w wypadku tranzystorów bipolarnych, w okolicy punktu pracy tranzystora można założyć, że charakterystyki są liniowe stosuje się opis macierzowy czwórnika liniowego. Do opisu stosuje się macierz admitancyjną $y$, dla której zmiennymi niezależnymi są napięcia wejściowe $u_1$ i wyjściowe $u_2$. $i_1=u_1\cdot y_{11}+u_2\cdot y_{12}$ $i_2=u_1\cdot y_{21}+u_2\cdot y_{22}$ Ponieważ tranzystory unipolarne są praktycznie sterowane napięciowo, a ponad to nie wykazują oddziaływania wstecznego (tzn. $y_{11}=y_{12}=0$) w przyjętym opisie pierwsze równanie można pominąć, a w drugim równaniu, w zależności od konfiguracji pracy tranzystora unipolarnego: wspólne źródło WS, wspólny dren WD, wspólna bramka WG, przyjąć za zmienne niezależne odpowiednie napięcia wejściowe i wyjściowe. Powszechnie przyjmuje się, że podstawą konfiguracją jest układ wspólnego źródła WS, który można opisać równaniami: $i_G=u_{GS}\cdot y_{11s}+u_{DS}\cdot y_{12s}$ $i_D=u_{GS}\cdot y_{21s}+u_{DS}\cdot y_{22s}$

---

W praktyce częściej zamiast parametrów admitancyjnych stosuje się parametry uniwersalne. Definicje tych parametrów są następujące: $y_{11s}=\frac{1}{r_{GS}}=\frac{i_G}{u_{GS}}{|}_{u_{DS}=0}=\frac{d{I}_G}{d{U}_{GS}}{|}_{U_{DS}=const}=0$ dynamiczna konduktancja wejściowa przy zwarciu na wyjściu ($r_{GS}\to \mathrm{\infty }$), $y_{12s}=\frac{i_G}{u_{DS}}{|}_{u_{GS}=0}=\frac{d{I}_G}{d{U}_{DS}}{|}_{U_{GS}=const}=0$ oddziaływanie wsteczne (w tranzystorach unipolarnych nie występuje), $y_{21s}=S=\frac{i_D}{u_{GS}}{|}_{u_{DS}=0}=\frac{d{I}_D}{d{U}_{GS}}{|}_{U_{DS}=const}$ transkonduktancja dynamiczna (nachylenie charakterystyki bramkowej) przy zwarciu na wyjściu, $y_{22s}=\frac{1}{r_{DS}}=\frac{i_D}{u_{DS}}{|}_{u_{GS}=0}=\frac{d{I}_D}{d{U}_{DS}}{|}_{U_{GS}=const}$ dynamiczna konduktancja, (rezystancja $r_{DS}$) wyjściowa przy zwarciu na wejściu. Małosygnałowy model tranzystora unipolarnego z zastosowaniem parametrów uniwersalnych przedstawiono na slajdzie.

---