Analiza matematyczna 1/Test 3: Odległość i ciągi

\newtheorem*{stre}{Streszczenie} \newtheorem*{wsk}{Wskazówka} \newtheorem*{rozw}{Rozwiązanie} \newtheorem*{textt}{} \newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section] \newtheorem{stw}[thm]{Stwierdzenie} \newtheorem{lem}[thm]{Lemat} \newtheorem{uwa}[thm]{Uwaga} \newtheorem{exa}[thm]{Example} \newtheorem{dfn}[thm]{Definicja} \newtheorem{wn}[thm]{Wniosek} \newtheorem{prz}[thm]{Przykład} \newtheorem{zadan}[thm]{Zadanie}

\le{\leqslant} \ge{\geqslant}

Odległość i ciągi w ${\mathbb{ℝ}}^N.$ Test

\bzad

 Odległość punktów
 $(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$
 i
 $(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})$
 w ${\mathbb{ℝ}}^2$

 (1) jest większa w metryce $d_1$ niż w metryce $d_2$

 (2) jest większa w metryce $d_2$ niż w metryce $d_{\mathrm{\infty }}$

 (3) jest większa w metryce $d_{\mathrm{\infty }}$ niż w metryce $d_1$

\ezad

 tak, tak, nie

\bzad

 Ciąg $\{a_n\}\subseteq ({\mathbb{ℝ}}^2,d_2)$ dany wzorem
 $a_n=((-1{)}^n\frac{1}{n},(-1{)}^n)$

 (1) jest ciągiem Cauchy'ego

 (2) jest zbieżny w ${\mathbb{ℝ}}^2$

 (3) ma podciąg spełniający warunek Cauchy'ego

\ezad

 nie, nie, tak

\bzad

 Niech $A$ będzie kulą o środku w punkcie $(1,1)$ i promieniu $1$
 w ${\mathbb{ℝ}}^2$ z metryką taksówkową $d_1.$
 kula ta zawiera się w kuli

 (1) o środku $(0,0)$ i promieniu $2$ w metryce
    taksówkowej $d_1$

 (2) o  środku $(0,0)$ i promieniu $2$ w metryce
    euklidesowej $d_2$

 (3) o  środku $(0,0)$ i promieniu $2$ w metryce
    maksimowej  $d_{\mathrm{\infty }}$

\ezad

 nie, nie, tak

\bzad

 Ciąg $\frac{1}{4},\frac{1}{9},\frac{1}{16},\frac{1}{25},\frac{1}{36},\dots$
 jest
 podciągiem ciągu

 (a) $\{\frac{1}{n}{\}}_{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}$

 (b) $\{\frac{1}{n^2}{\}}_{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}$

 (c) $\{\frac{1}{2n}{\}}_{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}$

\ezad

 tak, tak, nie

\bzad

 Zbiór
 $\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}[-\frac{1}{n},\frac{1}{n}]$ jest równy

 (a) $\{0\}$

 (b) $\mathrm{\varnothing }$

 (c) $\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-\frac{1}{n},\frac{1}{n})$

\ezad

 tak, nie, tak

\bzad

 Niech $\{a_n\}$ będzie ciągiem
 w $({\mathbb{ℝ}}^4,d_2)$ takim, że
 $a_n=((-1{)}^n,\frac{1}{n},(-1{)}^n\frac{1}{n},(-1{)}^{n+1}).$
 Wtedy

 (a) $a_n$ ma podciąg zbieżny do $(1,0,0,1)$

 (b) $a_n$ ma podciąg zbieżny do $(-1,0,0,1)$

 (c) $a_n$ jest rozbieżny

\ezad

 nie, tak, tak