Analiza matematyczna 2/Ćwiczenia 8: Ekstrema funkcji wielu zmiennych
Ekstrema funkcji wielu zmiennych. Ćwiczenia
Ćwiczenie 8.1.
a) Wyznaczyć wielomian Taylora rzędu drugiego funkcji w punkcie .
b) Wyznaczyć wielomian Taylora rzędu drugiego funkcji w punkcie .
c) Wyznaczyć wielomian Taylora rzędu drugiego funkcji w punkcie .
d) Rozwinąć w szereg Taylora funkcję w punkcie .
Ćwiczenie 8.2.
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
a) ,
b)
c) .Ćwiczenie 8.3.
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
a) ,
b) ,
c) ,
d) .
Ćwiczenie 8.4.
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
a) ,
b)
w zbiorze .
Ćwiczenie 8.5.
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
a) ,
b) ,
c) .
Czy otrzymane ekstrema są też globalne?
<applet code="applet.class" archive="images/a/a0/Javaview.jar,images/e/e1/Applet.jar" width="450" height="400">
<param name="colors" value="-1:#7e0b9f -0.80:#ce3bf8 -0.60:#2c4ae5 -0.40:#2c85e5 -0.20:#2ecca9 -0.05:#2ecc5b 0.05:#2ecc5b 0.20:#97cc2e 0.40:#edff27 0.60:#ffba27 0.80:#ff6e27 1:#d42525"> <param name="coloring" value="maple"> <param name="model" value="images/c/c9/Am2c07.0010.mgs.zip"> <param name="scale" value="1.0 1.0 1.0">
<param name="shading" value="0.2"> </applet>
<div.thumbcaption>
b) Podobnie jak w poprzednim punkcie funkcja ma niezerowe
pochodne cząstkowe pierwszego rzędu poza środkiem układu
współrzędnych, gdzie te pochodne w ogóle nie istnieją. Tym razem
, a dla wartość jest
dodatnia. Zatem w punkcie funkcja ma globalne minimum.
c) Pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji zerują się
tylko w punkcie , jednakże tym razem funkcja nie ma
ekstremum w punkcie . Mamy bowiem ,
dla i dla , zatem
dowolnie blisko środka układu współrzędnych funkcja przyjmuje i
wartości dodatnie i ujemne, zatem i mniejsze i większe od wartości
w tym punkcie.
Ćwiczenie 8.6.
a) Pokazać, że funkcja ma nieskończenie wiele minimów, natomiast nie ma żadnego maksimum.
b) Pokazać, że funkcja nie ma minimum w punkcie , ale jej zacieśnienie do dowolnej prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych ma silne minimum w tym punkcie.
Ćwiczenie 8.7.
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
a) ,
b) ,
c) .
Ćwiczenie 8.8.
a) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
b) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
w zbiorze
.Ćwiczenie 8.9.
(Zadanie Huygensa) Pomiędzy liczby dodatnie i () wstawić liczby dodatnie tak, aby ułamek
miał największą wartość.