Test GR3

--- przykładowo jak zrobić pierwsze pytanie z pierwszego modułu ---

Dowolna kategoria składa się ze zbioru obiektów i zbioru morfizmów, które spełniają odpowiednie aksjomaty dotyczące złożenia, identyczności, dziedzin i kodziedzin morfizmów.

Prawda Źle

Fałsz Dobrze

---

Pyt.12

Każda dziedzina ciągła posiada bazę przeliczalną.

Prawda Źle

Fałsz Dobrze

Każdy element bazy dziedziny ciągłej jest zwarty.

Prawda Źle

Fałsz Dobrze

Każda baza posetu algebraicznego zawiera wszystkie elementy zwarte.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

Każdy poset skończony jest algebraiczny.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

Każdy poset skończony jest dcpo.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

Każda krata skończona jest dcpo.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

Relacja aproksymacji na dowolnym posecie jest interpolatywna.

Prawda Źle

Fałsz Dobrze

Relacja aproksymacji na dowolnej dziedzinie Scotta jest interpolatywna.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

Liczby naturalne są dcpo.

Prawda Źle

Fałsz Dobrze

Liczby naturalne są posetem algebraicznym i bc-zupełnym.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

Każda rama jest dcpo.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

Każda krata dystrybutywna jest dcpo.

Prawda Źle

Fałsz Dobrze

Istnieje poset nieskończony, którego każdy element, który nie jest maksymalny, jest zwarty.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

Zbiory domknięte w sensie Scotta na dowolnym posecie są domknięte ze względu na dowolne suprema.

Prawda Źle

Fałsz Dobrze

Zbiory domknięte w sensie Scotta na dowolnym posecie skończonym są domknięte ze względu na dowolne suprema.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

Stożki górne w posecie $P$ (tj. zbiory typu $\uparrow x$ dla $x\in P$) są zwarte w topologii Scotta.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

Każdy stożek dolny $\downarrow x$ w dziedzinie ciągłej $P$ wraz z porządkiem z $P$ obciętym do $\downarrow x$ jest dziedziną ciągłą.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

Topologia Scotta na dowolnym porządku jest $T_0$.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

Istnieją częściowe porządki dowolnej mocy, dla których topologia Scotta jest $T_1$.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

Topologia Scotta na porządku jest $T_1$ wtedy i tylko wtedy, gdy częściowy porządek redukuje się do równości.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

Topologia Scotta na posecie posiadającym element najmniejszy jest zwarta.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

Topologia Scotta na dowolnej dziedzinie ciągłej jest realna.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

Topologia Scotta na dowolnym dcpo jest realna.

Prawda Źle

Fałsz Dobrze

Funkcja ciągła w sensie Scotta jest monotoniczna.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

Każda funkcja ciągła w sensie Scotta na dowolnym posecie posiada punkt stały.

Prawda Źle

Fałsz Dobrze

Każda funkcja ciągła w sensie Scotta na posecie posiadającym element najmniejszy posiada punkt stały.

Prawda Źle

Fałsz Dobrze

Każda funkcja ciągła w sensie Scotta na dcpo posiadającym element najmniejszy posiada najmniejszy punkt stały.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

Każda funkcja monotoniczna na dcpo posiadającym element najmniejszy posiada punkt stały.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

Porządek specjalizacji topologii Scotta na dziedzinie ciągłej pokrywa się z porządkiem tejże dziedziny.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

Funkcje ciągłe w sensie Scotta zachowują suprema zbiorów skierowanych.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

---

Pyt.13

LISP jest językiem imperatywnym.

Prawda Źle

Fałsz Dobrze

FORTRAN jest językiem imperatywnym.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

$\mathbf{𝐃}\mathbf{𝐜}\mathbf{𝐩}\mathbf{𝐨}$ jest kategorią zupełną i kartezjańsko zamkniętą.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

Kategoria dziedzin ciągłych i funkcji ciągłych w sensie Scotta jest zupełna.

Prawda Źle

Fałsz Dobrze

Kategoria dziedzin ciągłych i funkcji ciągłych w sensie Scotta jest kartezjańsko zamknięta.

Prawda Źle

Fałsz Dobrze

Kategoria dziedzin algebraicznych i funkcji ciągłych w sensie Scotta jest kartezjańsko zamknięta.

Prawda Źle

Fałsz Dobrze

Jeśli $D$ jest dziedziną ciągłą i $E$ jest dziedziną bc-zupełną, to $[D,E]$ jest dziedziną bc-zupełną.

Prawda Źle

Fałsz Dobrze

Jeśli $D$ jest dziedziną ciągłą i $E$ jest dziedziną bc-zupełną, to $[D,E]$ jest dcpo.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

Operator $\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{x}:[P,P]\to P$ przypisujący funkcji ciągłej w sensie Scotta na dcpo posiadającym element najmniejszy jej punkt stały jest ciągły w sensie Scotta.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

Operator $\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{x}:[P,P]\to P$ przypisujący funkcji ciągłej w sensie Scotta na dowolnej kracie zupełnej jej punkt stały jest ciągły w sensie Scotta.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

Pętle $\mathtt{w}\mathtt{h}\mathtt{i}\mathtt{l}\mathtt{e}$ w semantyce denotacyjnej modelujemy używając operatora punktu stałego.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

---

Pyt.14

${\mathbf{𝐃}\mathbf{𝐜}\mathbf{𝐩}\mathbf{𝐨}}_{\mathrm{\perp }}^{EP}$ jest $\omega$-kategorią.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

$\mathbf{𝐃}\mathbf{𝐜}\mathbf{𝐩}\mathbf{𝐨}$ jest $\omega$-kategorią.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

$\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}$ jest $\omega$-kategorią.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

Funktor między kategoriami dziedzin jest ciągły, jeśli jest funkcją ciągłą w sensie Scotta.

Prawda Źle

Fałsz Dobrze

W $\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}$ równanie $D\cong [D,D]$ dla $D\in {\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}}_0$ nie ma żadnego rozwiązania.

Prawda Źle

Fałsz Dobrze

W $\mathrm{D}\mathrm{c}\mathrm{p}\mathrm{o}$ istnieje nieskończenie wiele rozwiązań równania $D\cong [D,D]$.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

Istnienie kategorii, w której rekursywne równania typu $D\cong [D,D]$ mają rozwiązania, jest wykorzystywane w semantyce operacyjnej nietypowanego rachunku lambda.

Prawda Źle

Fałsz Dobrze

Istnienie kategorii, w której rekursywne równania typu $D\cong [D,D]$ mają rozwiązania, jest wykorzystywane w semantyce denotacyjnej nietypowanego rachunku lambda.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

Przekątna $\mathrm{\Delta }:\mathbf{𝐃}\mathbf{𝐜}\mathbf{𝐩}\mathbf{𝐨}\to \mathbf{𝐃}\mathbf{𝐜}\mathbf{𝐩}\mathbf{𝐨}\times \mathbf{𝐃}\mathbf{𝐜}\mathbf{𝐩}\mathbf{𝐨}$ jest funktorem ciągłym i lokalnie ciągłym.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

$\mathbf{𝐃}\mathbf{𝐜}\mathbf{𝐩}\mathbf{𝐨}$ jest kategorią zupełną i kozupełną.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

Każdy endomorfizm w $\mathbf{𝐃}\mathbf{𝐜}\mathbf{𝐩}\mathbf{𝐨}$ posiada najmniejszy punkt stały.

Prawda Źle

Fałsz Dobrze

Dowolny endofunktor na $\omega$-kategorii posiada punkt stały.

Prawda Źle

Fałsz Dobrze

Każdy ciągłe endofunktor na $\omega$-kategorii posiada punkt stały.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

W $\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}$ istnieją nietrywialne rozwiązania rówania $X\cong X+X$.

Prawda Źle

Fałsz Dobrze

Liczby naturalne $\omega$ są rozwiązaniem równania $X\cong \mathbf{𝟏}\oplus X$ w kategorii $\mathbf{𝐃}\mathbf{𝐜}\mathbf{𝐩}\mathbf{𝐨}$.

Prawda Źle

Fałsz Dobrze

Liczby naturalne $\omega$ są rozwiązaniem równania $X\cong X_{\mathrm{\perp }}$ w katetgorii $\mathbf{𝐃}\mathbf{𝐜}\mathbf{𝐩}\mathbf{𝐨}$.

Prawda Źle

Fałsz Dobrze

Leniwe liczby naturalne są rozwiązaniem równania $X\cong X\oplus X$ w kategorii $\mathbf{𝐃}\mathbf{𝐜}\mathbf{𝐩}\mathbf{𝐨}$.

Prawda Źle

Fałsz Dobrze

Podzbiory liczb naturanych ${𝒫}\omega$ uporządkowane względem inkluzji spełniają rówanie ${𝒫}\omega \cong [{𝒫}\omega ,{𝒫}\omega ]$ w kategorii $\mathbf{𝐃}\mathbf{𝐜}\mathbf{𝐩}\mathbf{𝐨}$.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

Model zbioru Cantora ${\mathrm{\Sigma }}^{\mathrm{\infty }}$ jest rozwiązaniem pewnego rekursywnego równania w kategorii $\mathbf{𝐃}\mathbf{𝐜}\mathbf{𝐩}\mathbf{𝐨}$.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

---

Pyt.15

Koalgebrą funktora $T:\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}\to \mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}$ jest każda para $(X,a:TX\to X)$.

Prawda Źle

Fałsz Dobrze

Algebry początkowe endofunktorów w $\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}$ są jedyne z dokładnością do izomrfizmu.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

Istnieje kategoria, w której para $(\mathbb{\mathbb{N}},[0,s]:\mathbf{𝟏}+\mathbb{\mathbb{N}}\to \mathbb{\mathbb{N}})$ jest obiektem końcowym.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

Nieskończone listy nad alfabetem $A$ są koalgebrą końcową pewnego endofunktora na $\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}$.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

Nieskończone listy nad alfabetem $A$ są koalgebrą początkową pewnego endofunktora na $\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}$.

Prawda Źle

Fałsz Dobrze

Każda bisymulacja jest bipodobieństwem, ale nie odwrotnie.

Prawda Źle

Fałsz Dobrze

Dwie nieskończone listy będące w relacji bisymulacji muszą być sobie równe.

Prawda Źle

Fałsz Dobrze

Dwie bipodobne nieskończone listy są sobie równe.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

Istnieje bipodobieństwo, które nie jest bisymulacją.

Prawda Źle

Fałsz Dobrze

Koindukcja jest metodą dowodzenia własności list nieskończonych.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

Metoda dowodzenia przez koindukcję opiera się na własności uniwersalnej algebr początkowych endofunktorów w $\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}$.

Prawda Źle

Fałsz Dobrze

Relacja odwrotna do bisymulacji jest bipodobieństwem.

Prawda Źle

Fałsz Dobrze

$T$-koalgebry dla ustalonego funktora $T:\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}\to \mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}$ wraz z homomorfizmami tworzą kategorię małą.

Prawda Źle

Fałsz Dobrze

Graf homomorfizmu dwóch dowolnych koalgebr jest bipodobieństwem.

Prawda Źle

Fałsz Dobrze

Graf homomorfizmu dwóch dowolnych koalgebr jest bisymulacją.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

Istnieją endofunktory w $\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}$, dla których kategoria algebr nie posiada obiektu początkowego.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

Dla każdego endofunktora $T$ w $\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}$ kategoria $T$-koalgebr posiada obiekt końcowy.

Prawda Źle

Fałsz Dobrze

Zasada indukcji matematycznej na liczabch naturalnych jest równoważna faktowi, że liczby naturalne wraz z elementem zero i funkcją następnika tworzą algebrę początkową endofunktora $\mathbf{𝟏}+(-)$ w $\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}$.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

Każda $T$-algebra początkowa jest izomorfizmem.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

Każda $T$-koalgebra końcowa jest izomorfizmem.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle