Programowanie funkcyjne/Procedury jeszcze wyższych rzędów/Ćwiczenia

Ćwiczenia

Dla dowolnych dwóch funkcji $f : X \to A$ i $g : X \to B$ istnieje dokładnie jedna taka funkcja $h : X \to A \times B$ , że $π_{1} \circ h = f$ i $π_{2} \circ h = g$ . Zdefiniuj wprost procedurę prod, która na podstawie funkcji $f$ i $g$ wyznacza funkcję $h$ dla proceduralnej definicji produktów. (let prod f g x p = p (f x) (g x);;)
Zaimplementuj sumy rozłączne (koprodukty) za pomocą procedur. (Koprodukt zbiorów $A$ i $B$ to taki zbiór $A + B$ wraz z włożeniami $i_{A} : A \to A + B$ , $i_{B} : B \to A + B$ , że dla dowolnej pary funkcji $f : A \to X$ i $g : B \to X$ istnieje dokładnie jedna taka funkcja $h : A + b \to X$ , że $h \circ i_{A} = f$ i $h \circ i_{B} = g$ . Potraktuj tę definicję dosłownie.) Należy zaimplementować włożenie $A$ i $B$ w $A + B$ oraz procedurę, która na podstawie funkcji $f$ i $g$ wyznaczy funkcję $h$ .
Potęgowanie funkcji w czasie logarytmicznym. Co tak na prawdę jest obliczane szybciej: funkcja wynikowa, czy jej wartość?
Jak można rozszerzyć liczby naturalne Churcha do liczb całkowitych?
Jak za pomocą operatora punktu stałego można wyznaczać procedury wzajemnie rekurencyjne?

Napisz procedurę exists, która dla danego*;predykatu i listy sprawdzi, czy na liście jest element spełniający predykat.
Napisz procedurę negującą predykat non: ('a -> bool) -> ('a -> bool). Za pomocą tej procedury, procedury exists oraz składania funkcji zdefiniuj procedurę forall, która sprawdza, czy dany predykat jest spełniony przez wszystkie

elementy danej listy.

Przypomnij sobie zadanie dotyczące wyliczania wartości. Rozszerz składnię wyrażeń o zmienne. Procedura obliczająca wartość wyrażenia będzie wymagać dodatkowego parametru - wartościowania zmiennych, czyli funkcji, która nazwie zmiennej przyporządkowuje jej wartość.
Całkowanie funkcji.
Zadanie o Origami. Dana jest lista prostych zorientowanych wyznaczająca ciąg złożeń papieru. Kartka papieru to kwadrat jednostkowy. Każda prosta jest reprezentowana przez parę różnych punktów. Punkt to para współrzędnych $x$ i $y$ . Papier jest składany w ten sposób, że z prawej strony prostej (patrząc w kierunku od pierwszego punktu do drugiego) jest przekładany na lewą. Napisz procedurę origami, która dla wywołania origami l p oblicza ile warstw papieru znajdzie się w punkcie p po złożeniu papieru zgodnie z prostymi z listy l (Przyjmujemy, że na linii złożenia są obie składane warstwy papieru.) Jest to bardzo ładne zadanie. Należy tu wykorzystać procedury jako strukturę danych reprezentującą stan kartki.