TC Moduł 2

Układy logiczne – pojęcia podstawowe.

---

Podstawą teoretyczną techniki cyfrowej są układy logiczne. Funkcjonalnie układy logiczne klasyfikujemy na układy kombinacyjne i układy sekwencyjne. Wykład rozpoczynamy od układów kombinacyjnych. Układ kombinacyjny jest podstawowym układem logicznym umożliwiającym realizację funkcji boolowskich. Układ kombinacyjny konstruujemy z elementów logicznych po to, aby realizować funkcje lub ich zespoły opisujące bardziej skomplikowane układy cyfrowe. Dlatego rozważania o układach kombinacyjnych rozpoczynamy od pojęcia funkcji boolowskiej.

---

Pojęcie funkcji boolowskiej jest pojęciem podstawowym umożliwiającym modelowanie zjawisk fizycznych reprezentowanych jako odwzorowanie ciągów (wektorów) binarnych należących do zbioru X w ciągi binarne (wektory) ze zbioru Y, gdzie zbiory X, (Y) są podzbiorami n-krotnego, (m-krotnego) iloczynu kartezjańskiego zbioru B = {0, 1}. Formalnie funkcją boolowską zmiennych binarnych $x_1,...,x_n$ nazywamy odwzorowanie $f:X\to Y$, gdzie $X\subseteq B^n,Y\subseteq B^m$. Jeżeli $X=B^n$, to funkcję taką nazywamy zupełną; w przeciwnym przypadku jest to funkcja niezupełna, zwana również funkcją nie w pełni określoną. Najczęściej stosowane reprezentacje funkcji boolowskich to tablica prawdy oraz formuła (wyrażenie) boolowskie.

---

Funkcja $f$ może być przedstawiona w postaci tablicy prawdy. Jest to tablica o $n+1$ kolumnach i $2n$ wierszach. W kolejnych wierszach są zapisywane wszystkie wartości ciągu $x_1,...,x_n$, czyli wszystkie wektory $x$. W ostatniej kolumnie podana jest wartość y przyporządkowywana danemu wektorowi lub „–”, jeżeli funkcja dla tego wektora nie jest określona. Kolejne wektory są numerowane, przy czym wartość $i$ podana z lewej strony w dodatkowej kolumnie jest dziesiętnym odpowiednikiem wektora $x$ traktowanego jako liczba w zapisie dwójkowym.

---

Oto przykłady uproszczonego zapisu funkcji boolowskich. Podane zapisy specyfikują funkcje boolowskie, których wektory wejściowe określone są liczbami dziesiętnymi.

---

Funkcje boolowskie reprezentowane odwzorowaniem $f$, jakkolwiek możliwe do bezpośredniej realizacji technicznej, nie są najlepszą formą do zastosowań. Znacznie wygodniejsze są reprezentacje funkcji w postaci formuł boolowskich. Ich zaleta wynika przede wszystkim z łatwej realizacji elementów logicznych zwanych bramkami logicznymi, które to elementy stanowią naturalną realizację formuł (wyrażeń) boolowskich, gdzie występują w postaci operatorów. Formuła boolowska to wyrażenie, w którym zmienne boolowskie połączone są operatorami: $+(OR),\cdot (AND),\overline{x}(NOT)$. Operatory te zdefiniowane są w tabelce podanej na planszy dla działań dwuargumentowych AND i OR i jednoargumentowego NOT, ale ich uogólnienie na operatory wieloargumentowe jest oczywiste.

---

Dla funkcji opisanej tablicą prawdy podaną w tabelce na planszy podajemy sposób tworzenia formuły boolowskiej.

---

A na tej planszy pokazana jest realizacja tej funkcji na bramkach AND, OR, NOT. W układzie kombinacyjnym z rysunku na planszy funkcja $f$, realizowana na jego wyjściu $f$, reprezentuje odwzorowanie z tabelki prawdy, co łatwo sprawdzić wprowadzając na wejścia układu odpowiednie wektory binarne i obliczając wartość uzyskaną na wyjściu $y$. Na przykład dla $x_1=x_2=0,x_3=1$ na wyjściu bramki AND1 pojawi się sygnał o wartości 1, i w rezultacie wyjście $y$ przyjmie wartość 1. Natomiast dla $x_1=x_2=x_3=0$ na wyjściach wszystkich bramek AND będzie 0, a więc jednocześnie $y$ przyjmie wartość 0, co jest zgodne z tablicą prawdy.

---

W dwuelementowej algebrze Boole'a wprowadza się też inne działania (operatory). Do najważniejszych z nich należą: zanegowany iloczyn (NAND), zanegowana suma (NOR), suma wyłączająca (tzw. suma modulo 2 lub różnica symetryczna, oznaczana EXOR). Operatorom tym odpowiadają stosowne symbole bramek.

---

Nie kwestionowaną zaletą formuł boolowskich jest możliwość ich upraszczania, a co zatem idzie możliwość uzyskiwania realizacji oszczędniejszych z punktu widzenia liczby bramek. Zasady formalne upraszczania formuł boolowskich związane są z prawami i własnościami algebry Boole’a. Własności stałych:

---

---

---

---

---