Semantyka i weryfikacja programów/Ćwiczenia 4

Zawartość

Napiszemy semantykę naturalną języka wyrażeń (z $\mathbf{𝐥}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}x=e_1\mathbf{𝐢}\mathbf{𝐧}{e}_2$), rozważymy strategię gorliwą (jak na wcześniejszych zajęciach, w semantyce małych kroków) i leniwą. Rozważymy i statyczne i dynamiczne wiązanie identyfikatorów. Następnie rozszerzymy ten język o lambda-abstrakcję i aplikację, otrzymując prosty język funkcyjny.

Różne semantyki wyrażeń

Ćwiczenie 1 (semantyka gorliwa)

Napisz semantykę dużych kroków dla języka wyrażeń, którego semantykę mało-krokową napisaliśmy na jednych z poprzednich ćwiczeń:

$n::=0|1|\dots$

$x::=\dots (identyfikatory)\dots$

$e::=n|x|e_1+e_2|\mathbf{𝐢}\mathbf{𝐟}{e}_1\mathbf{𝐭}\mathbf{𝐡}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐧}{e}_2\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐥}\mathbf{𝐬}\mathbf{𝐞}{e}_3|\mathbf{𝐥}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}x=e_1\mathbf{𝐢}\mathbf{𝐧}{e}_2$

Rozwiązanie

{{{3}}}

Ćwiczenie 2 (semantyka leniwa)

Zmodyfikuj semantykę z poprzedniego zadania, aby uzyskać leniwą ewaluację wyrażeń, zgodnie z dyrektywą: nie obliczaj wyrażenia o ile jego wynik nie jest potrzebny (albo: obliczaj wartość wyrażenia dopiero wtedy, gdy jego wynik jest naprawdę potrzebny). Spójrzmy na przykład:

$\mathbf{𝐥}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}x=7\mathbf{𝐢}\mathbf{𝐧}\mathbf{𝐥}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}y=y+y\mathbf{𝐢}\mathbf{𝐧}x+x$

Według semantyki z poprzedniego zadania wyrażnie to nie ma wartości, bo w deklaracji $y=y+y$ jest odwołanie do niezainicjowanej zmiennej. Natomiast w semantyce leniwej wyrażenie to obliczy się do wartości $14$, gdyż wyrażenie $y+y$ nie będzie wogóle obliczane. Będzie tak dlatego, że w wyrażeniu $x+x$ nie ma odwołań do zmiennej $y$.

Rozwiązanie

{{{3}}}

Ćwiczenie 3 y

Rozważmy teraz zupełnie inny mechanizm wiązania identyfikatorów, zwany wiązaniem dynamicznym. Dla odróżnienia, dotychczasowy sposób wiązania (widoczności) identyfikatorów będziemy nazywać wiązaniem statycznym. Oto przykładowe wyrażenie:

$\mathbf{𝐥}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}y=x+1\mathbf{𝐢}\mathbf{𝐧}\mathbf{𝐥}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}x=10\mathbf{𝐢}\mathbf{𝐧}y$

które nie ma wartości w pustym stanie początkowym, według semantyk z poprzednich zadań, ponieważ odwołanie do zmiennej $x$ w deklaracji $y=x+1$ jest niepoprawne. Tak samo jest nawet w semantyce leniwej, gdyż wartość zmiennej $y$ będzie w końcu policzona, i będzie wymagała odwołania do $x$ w stanie pustym.

Natomiast wyobrażmy sobie, że zmieniamy semantykę leniwą następująco: odwołanie do zmiennej $x$ podczas obliczania wartości $y$ będzie odnosiło się nie do stanu w momencie deklaracji $y$, ale do stanu w momencie odwołania do $y$. Jest to dość rewolucyjna zmiana, zapewne sprzeczna z intuicjami programisty (statyczne reguły widoczności zamieniamy na dynamiczne). W szczególności powyższe wyrażenie policzy się w semantyce dynamicznej do wartości 11, ponieważ stan w momencie odwołania do zmiennej $y$ przypisuje zmiennej $x$ wartość 10 !

Napisz semantykę naturalną dla wiązania dynamicznego.

Rozwiązanie

{{{3}}}

Prosty język funkcyjny

Ćwiczenie 4 (przekazywanie parametru przez wartość)

Rozważmy prosty język funkcyjny $F$ rozszerzający język wyrażeń z poprzednich zadań następująco:

$e::=\dots |\lambda x.e|e_1(e_2)$

Lambda-abstrakcja $\lambda x.e$ reprezentuje anonimową (nienazwaną) funkcję jednoargumentową, natomiast wyrażenie $e_1(e_2)$ to aplikacja $e_1$ do $e_2$ (wyrażenie $e_1$ powinno zatem obliczać się do funkcji). Np.

$(\lambda x.x+3)(2)⟶5.$

Przyjmijmy statyczną widoczność identyfikatorów. Możliwe są różne mechanizmy przekazywania parametrów. Na razie wybierzmy mechanizm przekazywania przez wartość, zapewne doskonale znany Czytelnikowi: wyrażenie będące parametrem aktualnym jest obliczane przed wywołaniem funkcji, czyli w stanie, w którym jesteśmy z momencie wywołania funkcji.

Zaproponuj semantykę naturalną dla tego języka dla obydwu mechanizmów przekazywania parametrów.

Rozwiązanie

{{{3}}}

Ćwiczenie 5 (przekazywanie parametru przez nazwę)

Zaproponyj leniwą semantykę języka $F$ z mechnizmem przekazywanie parametru przez nazwę. Mechanizm ten stanowi leniwy odpowiednik przekazywania przez wartość: nie obliczamy wyrażenia będącego parametrem aktualnym, a zamiast jego wartości przekazujemy do funkcji to wyrażenie wraz ze stanem z miejsca wywołania funkcji. To ten stan bedzie brany pod uwagę, gdy obliczana będzie wartość parametru, tzn. przy odwołaniu w ciele funkcji do parametru formalnego. Oto przykład programu:

$\mathbf{𝐥}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}f=\lambda x.7\mathbf{𝐢}\mathbf{𝐧}f(y)$

który w stanie pustym (wszystkie zmienne nieokreślone) nie ma wartości przy przekazywaniu parametru przez wartość (bo odwołanie do zmiennej $y$ jest niepoprawne) a oblicza się do wartości $7$ jeśli wybierzemy mechanizm przekazywania przez nazwę.

Rozwiązanie

{{{3}}}

Zadania domowe

Zadanie 1

Podaj przykład wyrażenia takiego, które:

• ma wartość w semantyce statycznej i dynamicznej, ale w każdej inną
• ma wartość w semantyce leniwej a nie ma w dynamicznej
• ma wartość w semantyce dynamicznej a nie ma w leniwej

Zadanie 2

W semantyce leniwej wyrażeń, jeśli jest wiele odwołań do jakiejś zmiennej, to obliczenie wartości tej zmiennej nastąpi za każdym razem od nowa. Zmoddyfikuj tę semantykę tak, aby po pierwszym odwołaniu do zmiennej, obliczona wartość tej zmiennej była umieszczana w stanie, zastępując parę (wyrażenie, stan).

Zadanie 3

Zaproponuj dynamiczne odpowiedniki obydwu statycznych semantyk dla języka funkcyjnego $F$. Czyli zakładamy, że widoczność identyfikatorów, m.in. w ciele funkcji, jest dynamiczna. Oto przykład programu, który w semantyce statycznej oblicza się do wartości $12$, a w dynamicznej do wartości $5$ (parametr przekazywany przez wartość):

$\mathbf{𝐥}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}x=7\mathbf{𝐢}\mathbf{𝐧}\mathbf{𝐥}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}f=\lambda z.z+x\mathbf{𝐢}\mathbf{𝐧}\mathbf{𝐥}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}x=0\mathbf{𝐢}\mathbf{𝐧}f(5)$

Rozważ dwa mechanizmy przekazywania parametrów:

• przez wartość
• przez nazwę

Ten drugi mechanizm rozumiemy teraz następująco. Parametr aktualny nie jest obliczany w momencie zaaplikowania do niego funkcji, a do ciała funkcji przekazuje się wyrażenie będące parametrem aktualnym. W momencie odwołania do parametru formalnego w ciele funkcji, wyrażenie będące parametrem aktualnym jest obliczane w bieżącym stanie (a nie w stanie z miejsca wywołania funkcji). Jako przykład pozważmy program:

$(\lambda z.\mathbf{𝐥}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}x=10\mathbf{𝐢}\mathbf{𝐧}z+z)(x)+1$

Przy przekazywaniu przez wartość, w stanie pustym program się nie obliczy, ponieważ nie da się obliczyć parametru aktualnego $x$. Natomiast przy przekazywaniu przez nazwę, parametr aktualny będzie obliczany dopiero w momencie odwołania do parametru formalnego $z$, czyli w momencie obliczania wartości wyrażenia $z+z$. W stanie tym zmienna $x$ ma już wartość, a zatem wartością całego programu będzie 21.