Algebra liniowa z geometrią analityczną/Wykład 4: Odwzorowania liniowe

Definicja odwzorowania liniowego

Definicja 1.1

Niech $V$, $W$ będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem $\mathbb{𝕂}$ i niech $f:V⟶W$ będzie odwzorowaniem. Mówimy, że $f$ jest liniowe, jeśli spełnione są następujące warunki

L 1) dla każdych wektorów $u,v\in Vf(u+v)=f(u)+f(v)$,

L 2) dla każdych $\lambda \in \mathbb{𝕂}$ i $v\in Vf(\lambda v)=\lambda f(v)$.

Własność pierwszą nazywamy addytywnością odwzorowania $f$, drugą - jednorodnością $f$.

Zespół warunków L 1) i L 2) można zastąpić jednym z następujących warunków L 3) lub L4).

L 3) Dla każdych $\lambda ,\mu \in \mathbb{𝕂}$ i dla każdych $u,v\in V$ zachodzi równość $f(\lambda u+\mu v)=\lambda f(u)+\mu f(v)$.

L 4) Dla każdych skalarów ${\lambda }_1,...,{\lambda }_k\in \mathbb{𝕂}$, wektorów $v_1,...,v_k\in V$ i każdego $k\in \mathbb{\mathbb{N}}$, zachodzi równość

$f({\lambda }_1{v}_1+...+{\lambda }_k{v}_k)={\lambda }_{1}f(v_1)+...+{\lambda }_{k}f(v_k).$

Dowód równoważności warunków L 3) i L 4) polega na zastosowaniu indukcji.

Zauważmy od razu, że $f(0)=f(0\cdot v)=0\cdot f(v)$, gdzie $v$ jest dowolnym wektorem przestrzeni $V$. A zatem, dla odwzorowania liniowego zawsze mamy $f(0)=0$.

Przykład 1.2

Odwzorowanie stale równe zeru jest liniowe. Odwzorowanie identycznościowe dowolnej przestrzeni wektorowej na siebie jest liniowe. Odwzorowanie to oznaczać będziemy przez $I$.

Przykład 1.3

Weźmy przestrzeń $V$ wszystkich funkcji ciągłych na przedziale $(a,b)\subset \mathbb{ℝ}$ o wartościach w $\mathbb{ℝ}$. Odwzorowanie

$V\ni f⟶\int f\in {\mathbb{ℝ}}^{(a,b)}$

jest odwzorowaniem liniowym.

Podobny przykład otrzymuje się dla całki oznaczonej.

Rozważmy jeszcze przestrzeń $U$ funkcji różniczkowalnych na przedziale $(a,b)\subset \mathbb{ℝ}$ i odwzorowanie przyporządkowujące funkcji z $U$ jej pochodną. Odwzorowanie to jest liniowe.

Przykład 1.4

Rozważmy odwzorowanie $f:\mathbb{ℂ}\ni z⟶\bar{z}\in \mathbb{ℂ}$. Jeśli potraktujemy odwzorowanie $f$ jako odwzorowanie przestrzeni wektorowych nad ciałem $\mathbb{ℂ}$, to odwzorowanie to nie jest liniowe, bo nie jest jednorodne.

Jeśli jednak potraktujemy $\mathbb{ℂ}$ jako przestrzeń wektorową nad ciałem $\mathbb{ℝ}$, to odwzorowanie $f$ jest liniowe. Mówimy, że $f$ jest $\mathbb{ℝ}$-liniowe, ale nie jest $\mathbb{ℂ}$-liniowe.

Własności odwzorowań liniowych. Obraz i jądro.

Omówimy teraz podstawowe własności odwzorowań liniowych.

Twierdzenie 2.1

Złożenie odwzorowań liniowych jest odwzorowaniem liniowym. Jeśli odwzorowanie liniowe jest bijekcją, to odwzorowanie odwrotne jest też liniowe.