PEE Zadania z rozwiązaniami

Zadanie 1

Wyznaczyć rezystancję wypadkową obwodu przedstawionego na rysunku poniżej:

Rozwiązanie

Po likwidacji połączenia szeregowego rezystorów ($1\mathrm{\Omega }$ i $5\mathrm{\Omega }$ oraz $2\mathrm{\Omega }$ i $8\mathrm{\Omega }$ ) należy zastosować transformację trójkąt-gwiazda lub gwiazda-trójkąt w odniesieniu do wybranych trzech rezystorów obwodu, a następnie wykorzystać uproszczenia wynikające z powstałych połączeń szeregowych i równoległych w obwodzie. Po wykonaniu tych działań otrzymuje się $R_{we}=3,18\mathrm{\Omega }$.

---

Zadanie 2

Napisać równanie węzłowe dla obwodu z rysunku poniżej. Potencjały węzłów zaznaczono na rysunku w postaci $V_1$ i $V_2$. Rozwiązać to równanie wyznaczając potencjały węzłów oraz prądy w gałęziach (prądy rezystancji, pojemności i indukcyjności). Przyjąć: $i_1(t)=10\sqrt{2}\sin (\omega t)$, $i_2(t)=5\sqrt{2}\sin (\omega t-90^{\circ })$, $e_1(t)=10\sin (\omega t+45^{\circ })$, $e_2(t)=20\sin (\omega t+90^{\circ })$, $R=2\mathrm{\Omega }$, $X_L=\omega L=2\mathrm{\Omega }$, $X_C=1/\omega C=1\mathrm{\Omega }$

Rozwiązanie

Wartości zespolone:

$E_1=5+j5$

$E_2=20j$

$I_1=10$

$I_2=-5j$

$Z_L=j2$

$Z_C=-j$

Równanie admitancyjne

$\left[\begin{array}{cc}1& -0,5\\ -0,5& 0,5+j0,5\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{V}_1\\ V_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-7,5+j7,5\\ -10-5j\end{array}\right]$

Z rozwiązania tego macierzowego układu równań mamy

$V_1=-14+j18$

$V_2=-13+j21$

Prądy w obwodzie:

$I_{R1}=(V_1-E_1)/R=-9,5+j6,5$ (prąd rezystora $R$ i źródła $e_1$)

$I_{R2}=(V_1-V_2)/R=-0,5-j1,5$

$I_L=(V_2+E_2)/Z_L=20,5+j6,5$

$I_C=V_2/Z_C=-21-j13$

---

Zadanie 3

Wyznaczyć rozwiązanie obwodu z rysunku poniżej stosując zasadę superpozycji. Przyjąć $i(t)=2\sqrt{2}\sin (\omega t+90^{\circ })A$, $e(t)=E=5V$, $R=1\mathrm{\Omega }$, $L=1H$, $C=0,5F$, $\omega =1\frac{rad}{s}$.

Rozwiązanie

A) Rozwiązanie obwodu dla składowej stałej (źródło $E$)

Obwód dla składowej stałej przedstawiono na rysunku poniżej (a). Cewka w stanie ustalonym dla składowej stałej jest zwarciem a kondensator przerwą.

Dla prądu stałego tylko jeden prąd, $i_R^{(E)}$, jest różny od zera. Jego wartość jest równa

$i_R^{(E)}=\frac{E}{R}=5$

$i_L^{(E)}=i_C^{(E)}=0$

B) Rozwiązanie obwodu dla składowej zmiennej (źródło $i(t)$)

Obwód dla składowej sinusoidalnej przedstawiono w postaci symbolicznej na (rys. b). Parametry symboliczne obwodu są następujące: $I=2e^{j90^{\circ }}$, $Z_L=j\omega L=j1$, $Z_C=1/j\omega C=-j2$. Impedancja zastępcza cewki i kondensatora jest równa

$Z_{LC}=\frac{Z_L{Z}_C}{Z_L+Z_C}=j2$

Napięcie i prądy w obwodzie:

$U_{AB}^{(I)}=Z_{LC}I=-4$

$I_C^{(I)}=\frac{U_{AB}^{(I)}}{Z_C}=-j2$

$I_L^{(I)}=\frac{U_{AB}^{(I)}}{Z_L}=j4$

$I_R^{(I)}=0$

Wartości prądów wyrażone w postaci czasowej:

$i_C^{(I)}(t)=2\sqrt{2}(t-90^{\circ })$

$i_L^{(I)}(t)=4\sqrt{2}(t+90^{\circ })$

$i_R^{(I)}(t)=0$

Całkowite rozwiązanie obwodu jest sumą obu składowych:

$i_C(t)=i_C^{(E)}(t)+i_C^{(I)}(t)=2\sqrt{2}(t-90^{\circ })A$

$i_L(t)=i_L^{(E)}(t)+i_L^{(I)}(t)=4\sqrt{2}(t+90^{\circ })A$

$i_R(t)=i_R^{(E)}(t)+i_R^{(I)}(t)=5A$

---

Zadanie 4

Wyznaczyć rozpływy prądów w obwodzie przedstawionym poniżej: