Analiza matematyczna 2/Test 1: Przestrzenie metryczne

Mamy następujące przestrzenie metryczne: $({\mathbb{ℝ}}^2,d_2),({\mathbb{ℝ}}^2,d_{\mathrm{\infty }}),({\mathbb{ℝ}}^2,d_1),({\mathbb{ℝ}}^2,d_d),({\mathbb{ℝ}}^2,d_r),$ gdzie $d_d$ oznacza metrykę dyskretną, a $d_r$ metrykę "rzeka" z prostą $l$ będącą osią $Ox.$ W ${\mathbb{ℝ}}^2$ dane są dwa punkty: $A=(-1,2)$ i $B=(1,3).$ Wtedy:

$d_2(A,B{)}^2=d_r(A,B)d_d(A,B)-d_{\mathrm{\infty }}(A,B)$ Dobrze

$d_d(A,B)+d_{\mathrm{\infty }}(A,B)=d_1(A,B)$ Dobrze

$d_2(A,B{)}^2+d_{\mathrm{\infty }}(A,B{)}^2=d_1(A,B{)}^2$ Dobrze

Dla zbioru $A:=\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\dots \}\cup \{0\}$ w przestrzeni metrycznej $({\mathbb{ℝ}}^2,d_2)$ zachodzi

$A=\bar{A}$ Dobrze

$\partial A=\{0\}$ Źle

$A$ jest zwarty Dobrze

Zbiory $B$ i $C$ w przestrzeni metrycznej $({\mathbb{ℝ}}^2,d_2)$ dane są jako $B:=\{(x,y)\in {\mathbb{ℝ}}^2:y\le x^{\frac{2}{3}}\}$ (gdzie za dziedzinę funkcji $f(x)=x^{\frac{2}{3}}$ przyjmujemy całe $\mathbb{ℝ}$). Zbiór $C:=\{(x,y)\in {\mathbb{ℝ}}^2:y\ge x^2\}.$ Wtedy $B\cap C$ jest

zbiorem otwartym Źle

zbiorem spójnym Dobrze

zbiorem nieograniczonym Źle

Jeśli $d$ jest funkcją określoną na ${\mathbb{ℝ}}^2\times {\mathbb{ℝ}}^2$ jako

$d((x_1,x_2),(y_1,y_2))=(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2$

to

$d$ przyjmuje wartości nieujemne Dobrze

$d$ jest funkcją symetryczną Dobrze

$d$ jest metryką Źle

Przedział $[0,1]$ z metryką dyskretną

jest zwarty Źle

jest spójny Źle

zawiera się w kuli o środku $x_0=\frac{1}{2}$ i promieniu $r=\frac{3}{4}$ Źle

Określamy metrykę na $\mathbb{ℝ}$ wzorem $d(x,y):=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}{d}_2(x,y)$ Niech $A:=[0,+\mathrm{\infty })$ W tej przestrzeni metrycznej średnica zbioru $A$ jest równa

$\pi$ Źle

$\frac{\pi }{2}$ Dobrze

$\mathrm{\infty }$ Źle

Niech $A_n$ będzie podzbiorem przestrzeni metrycznej $(\mathbb{ℝ},d_2),A_n:=\{\frac{1}{k},k>n\}$ Niech $B_n:=\overline{A_n}$ Wtedy $\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{B}_n$ jest równe

$\mathrm{\varnothing }$ Źle

$\{0\}$ Dobrze

$\{\frac{1}{n}{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ Źle

W przestrzeni metrycznej $({\mathbb{ℝ}}^2,d_2)$ dane są dwa zbiory $A=\{(x,y):y=\frac{1}{x}\},B=\{(x,y):x=y\}.$ Wówczas zbiór $A\cup B$

jest zwarty Źle

jest spójny Dobrze

ma niepuste wnętrze. Źle

W $({\mathbb{ℝ}}^2,d_2)$ dany jest zbiór $A=K((0,0),4)\setminus K((0,0),2)$. Brzegiem zbioru $A$ jest

$\{(x,y)\subseteq {\mathbb{ℝ}}^2:x^2+y^2=2\}$ Źle

$\{(x,y)\subseteq {\mathbb{ℝ}}^2:x^2+y^2=4\}$ Źle

$\{(x,y)\subseteq {\mathbb{ℝ}}^2:x^2+y^2=2$ lub $x^2+y^2=4\}$ Dobrze