Analiza matematyczna 2/Test 1: Przestrzenie metryczne

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Mamy następujące przestrzenie metryczne: gdzie oznacza metrykę dyskretną, a metrykę "rzeka" z prostą będącą osią W dane są dwa punkty: i Wtedy:


Dla zbioru w przestrzeni metrycznej zachodzi

jest zwarty


Zbiory i w przestrzeni metrycznej dane są jako (gdzie za dziedzinę funkcji przyjmujemy całe ). Zbiór Wtedy jest

zbiorem otwartym

zbiorem spójnym

zbiorem nieograniczonym


Jeśli jest funkcją określoną na jako

to

przyjmuje wartości nieujemne

jest funkcją symetryczną

jest metryką


Przedział z metryką dyskretną

jest zwarty

jest spójny

zawiera się w kuli o środku i promieniu


Określamy metrykę na wzorem Niech W tej przestrzeni metrycznej średnica zbioru jest równa


Niech będzie podzbiorem przestrzeni metrycznej Niech Wtedy jest równe


W przestrzeni metrycznej dane są dwa zbiory Wówczas zbiór

jest zwarty

jest spójny

ma niepuste wnętrze.


W dany jest zbiór Brzegiem zbioru jest

lub