Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 7: Wyznacznik

Niech ${\text{k}}_1,{\text{k}}_2,{\text{k}}_3$ oznaczają kolumny macierzy $A\in M(3,3;\mathbb{ℝ})$ i niech $B=[{\text{k}}_1+2{\text{k}}_2,{\text{k}}_2+{\text{k}}_1-3{\text{k}}_3,-2{\text{k}}_3]$.

det $B=$ det\, $A$. Źle

det $B=-$ det\, $A$. Źle

det $B=2$ det\, $A$. Źle

det $B=-2$ det\, $A$. Dobrze

Niech $\mathbb{𝕂}$ będzie dowolnym ciałem, $n\ge 2$ liczbą naturalną, niech $A,B$ oznaczają macierze należące do $M(n,n;\mathbb{𝕂})$ i niech $\lambda \in \mathbb{𝕂}$.

$\mathrm{\forall }A\mathrm{\forall }\lambda$ det\, $(\lambda A)=\lambda$ det\, $A$. Źle

$\mathrm{\forall }A\mathrm{\forall }\lambda$ det\, $(\lambda A)={\lambda }^n$ det\, $A$. Dobrze

$\mathrm{\forall }A,B$ det\, $(A+B)=$ det\, $A+$ det\, $B$. Źle

$\mathrm{\forall }A,B$ det\, $(AB)=$ det\, $A$ det\, $B$. Dobrze

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle A = \left [ \matrix{ - 1 & 1 & 2 \cr 3 & 0 & -1 \cr 1 &2 &0 } \right ], \ \ B= \left [ \matrix{ 5 & 1 & 0 \cr 9 & 0 & -3 \cr -1 &0 & 0 } \right ] . }

det $AB=0$. Źle

det $A=3$ det $B$. Dobrze

rk $A=3$. Dobrze

rk $A-$ rk\, $B=1$. Źle

Niech $f:{\mathbb{ℝ}}^3\times {\mathbb{ℝ}}^3\to \mathbb{ℝ}$ będzie dane wzorem

$f((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3))=x_1{y}_2+x_2{y}_1-2x_3{y}_1-2x_1{y}_3+3x_2{y}_3+3x_3{y}_2.$

$f$ jest odwzorowaniem dwuliniowym. Dobrze

$f$ jest odwzorowaniem symetrycznym. Dobrze

$f$ jest odwzorowaniem antysymetrycznym. Źle

$\mathrm{\forall }x=(x_1,x_2,x_3)\in {\mathbb{ℝ}}^{3}f(x,x)\ge 0$. Źle

Niech $z_1,z_2,z_3,z_4\in \mathbb{ℂ}$ i niech

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle A = \left [ \matrix{ 1 & z_1 & z_1^2&z_1^3 \cr 1 & z_2 & z_2^2 & z_2^3 \cr 1 &z_3 &z_3^2 & z_3^3 \cr 1& z_4 &z_4^2 & z_4^3 } \right ].}

Jeżeli $z_k\ne z_j$ dla $k\ne j$, to det $A\ne 0$. Dobrze

Jeżeli det $A=0$, to istnieją takie wskaźniki $j,k$, że $j\ne k$ i równocześnie $z_j=z_k$. Dobrze

Jeżeli $z_j=j,j=1,2,3,4$, to det $A=12$. Dobrze

Jeżeli rk $A=4$, to $z_k\ne z_j$ dla $k\ne j$. Dobrze

<quiz>Niech $n\ge 2$ będzie liczbą naturalną.

<wrongoption>Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall A,B \in M(n,n;\mathbb{C} ) \left( AB =0 \Longrightarrow A =0 \ } lub Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \ B=0 \right) } .</wrongoption>

<rightoption>Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall A \in M(n,n;\mathbb{C} ) \ \left( } det\, $A^2=$ det\, $A⟹$ det\, Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle A \in \{0,1\} \right)} .</rightoption>

<wrongoption>$\mathrm{\forall }A,B\in M(n,n;\mathbb{ℂ})A^2-B^2=(A+B)(A-B)$.</wrongoption>

<wrongoption>$\mathrm{\forall }A\in M(n,n;\mathbb{ℂ})(A{A}^{*}=0⟹A=0)$.</wrongoption>