Analiza matematyczna 2/Test 8: Ekstrema funkcji wielu zmiennych

Funkcja $f(x)=a{x}^2-2xy+2y^2-6x$

ma maksimum w punkcie $(6,3)$, jeśli $a=1$ Źle

ma minimum w punkcie $(-2,-1)$, jeśli $a=-1$ Źle

nie ma ekstremum, jeśli $a=\frac{1}{4}$. Dobrze

Funkcja $f(x,y)=(2x-x^2)(2y+y^2)$

przyjmuje zarówno wartości dodatnie, jak i ujemne w sąsiedztwie punktu $(0,0)$ Dobrze

ma minimum w punkcie $(2,-2)$ Źle

ma minimum w punkcie $(1,-1)$. Dobrze

Funkcja $f(x,y)=(y-x^3)(y-3x^3)$

zacieśniona do zbioru $\{(x,y)\in {\mathbb{ℝ}}^2:y=2x^3\}$ osiąga maksimum w punkcie $(0,0)$ Dobrze

zacieśniona do prostej $y=x$ osiąga minimum w punkcie $(0,0)$ Dobrze

osiąga minimum w punkcie $(0,0)$. Źle

Jeśli $z=f(x)=x^4-2x^2$ oraz $z=F(x,y)=(x^2+y^2{)}^2-2(x^2+y^2)$, to

wykres funkcji $F$ powstał przez obrót wykresu funkcji $f$ dookoła osi $0z$ Dobrze

funkcja $F$ ma maksimum lokalne Dobrze

funkcja $F$ ma maksimum globalne. Źle

Maksimum globalne w punkcie $(0,0)$ ma funkcja

$f(x,y)=\cosh (x^2+y^2)$ Źle

$g(x,y)=x^4+y^2$ Źle

$h(x,y)=xy$. Źle

Funkcja $f(x,y,z)=\ln x+\ln y+\ln z+\ln (4-x-y-z)$

nie ma punktów krytycznych Źle

ma maksimum w punkcie $(1,1,1)$ Dobrze

ma minimum w punkcie $(-1,-1,-1)$. Źle

Funkcja $f(x,y,z)=x^6-2y^5+z^2-3x^2-5y^2-4z$

ma dokładnie trzy punkty krytyczne Źle

ma maksimum w punkcie $(0,0,2)$ Źle

ma minimum w punkcie $(1,-1,2)$. Dobrze

Minimum globalne w $(0,0,0)$ ma funkcja

$f(x,y,z)=|x|+|y|+|z|$ Dobrze

$g(x,y,z)=\sqrt{x^4+y^4+z^4}$ Dobrze

$h(x,y,z)=\sinh (x^2+y^2+z^2)$. Dobrze

Funkcja wielu zmiennych

może mieć nieskończenie wiele maksimów i ani jednego minimum Dobrze

musi mieć przynajmniej jedno maksimum, jeśli ma jakieś minimum Źle

ma maksimum globalne, jeśli ma tylko jedno maksimum lokalne. Źle