Analiza matematyczna 1/Test 3: Odległość i ciągi

Odległość punktów $(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$ i $(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})$ w ${\mathbb{ℝ}}^2$

jest większa w metryce $d_1$ niż w metryce $d_2$ Dobrze

jest większa w metryce $d_2$ niż w metryce $d_{\mathrm{\infty }}$ Dobrze

jest większa w metryce $d_{\mathrm{\infty }}$ niż w metryce $d_1$ Źle

 tak, tak, nie

Ciąg $\{a_n\}\subseteq ({\mathbb{ℝ}}^2,d_2)$ dany wzorem $a_n=((-1{)}^n\frac{1}{n},(-1{)}^n)$

jest ciągiem Cauchy'ego Źle

jest zbieżny w ${\mathbb{ℝ}}^2$ Źle

ma podciąg spełniający warunek Cauchy'ego Dobrze

 nie, nie, tak

Niech $A$ będzie kulą o środku w punkcie $(1,1)$ i promieniu $1$ w ${\mathbb{ℝ}}^2$ z metryką taksówkową $d_1.$ kula ta zawiera się w kuli

o środku $(0,0)$ i promieniu $2$ w metryce taksówkowej $d_1$ Źle

o środku $(0,0)$ i promieniu $2$ w metryce euklidesowej $d_2$ Źle

o środku $(0,0)$ i promieniu $2$ w metryce maksimowej $d_{\mathrm{\infty }}$ Dobrze

 nie, nie, tak

Ciąg $\frac{1}{4},\frac{1}{9},\frac{1}{16},\frac{1}{25},\frac{1}{36},\dots$ jest podciągiem ciągu

$\{\frac{1}{n}{\}}_{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}$ Dobrze

$\{\frac{1}{n^2}{\}}_{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}$ Dobrze

$\{\frac{1}{2n}{\}}_{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}$ Źle

 tak, tak, nie

Zbiór $\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}[-\frac{1}{n},\frac{1}{n}]$ jest równy

$\{0\}$ Dobrze

$\mathrm{\varnothing }$ Źle

$\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-\frac{1}{n},\frac{1}{n})$ Dobrze

 tak, nie, tak

Niech $\{a_n\}$ będzie ciągiem w $({\mathbb{ℝ}}^4,d_2)$ takim, że $a_n=((-1{)}^n,\frac{1}{n},(-1{)}^n\frac{1}{n},(-1{)}^{n+1}).$ Wtedy

$a_n$ ma podciąg zbieżny do $(1,0,0,1)$ Źle

$a_n$ ma podciąg zbieżny do $(-1,0,0,1)$ Dobrze

$a_n$ jest rozbieżny Dobrze

 nie, tak, tak