PEE Moduł 13

Wykład 13. Modele elementów półprzewodnikowych

Wprowadzenie

Do analizy działania i projektowania układów elektronicznych stosuje się odpowiednie modele matematyczne oraz fizyczno-obwodowe elementów półprzewodnikowych wchodzących w skład tych układów. Modele te uwzględniają określone stany pracy, właściwości (np. wpływ temperatury na parametry) i nieliniowość charakterystyk danego elementu.

Rodzaje modeli. Modelem dowolnego urządzenia technicznego nazywamy zbiór informacji umożliwiających przewidywanie właściwości i analizowanie działania tego urządzenia w różnych stanach i warunkach pracy. W elektronice modele mają zazwyczaj postać równań matematycznych lub częściej są w postaci schematów zastępczych równoważnych przyjętym opisom matematycznym. W skład modelu mogą wchodzić dodatkowo charakterystyki prądowo-napięciowe lub inne zależności wielkości elektrycznych i nieelektrycznych poszczególnych przyrządów, elementów, większych podzespołów lub nawet całych układów.

W zależności od stopnia skomplikowania modele fizyczno-obwodowe służą do analizy i projektowania układów elektronicznych bez użycia komputera lub przy jego użyciu. Modele przyrządów półprzewodnikowych można różnie sklasyfikować.

Przyjmując za kryterium zakresy sygnałów jakie wystąpią na zaciskach przyrządu mamy modele:

nieliniowe (dla dużych sygnałów)
liniowe (małosygnałowe).

Ze względu na rodzaj sygnałów są modele:

statyczne (stałoprądowe)
dynamiczne (zmiennoprądowe), które są najczęściej przeznaczone do analizy obwodów w dziedzinie czasu lub częstotliwości.

Inne kryteria podziału mają na celu zaakcentowanie pewnych szczególnych cech przyrządu półprzewodnikowego, np. wpływu temperatury. Mamy tu modele:

izotemperaturowe
nieizotemperaturowe

Modele diod

Dla diod sygnałowych i diod mocy, kiedy pełnią one funkcje jednokierunkowych zaworów, najważniejsze jest zamodelowanie statycznej charakterystyki prądowo-napięciowej. Przykładową charakterystykę rzeczywistej diody przedstawiono na slajdzie. Najczęściej w katalogach podaje się charakterystyki w skali półlogarytmicznej. Ponieważ temperatura ma zasadniczy wpływ na ich przebieg, temperatura złącza jest tutaj parametrem.

Do prostych obliczeń charakterystykę diody aproksymuje się trzema odcinkami prostych przyjmując, dla poszczególnych obszarów pracy: przewodzenia, zaporowego i przebicia, charakterystyczne wartości rezystancji. Odcinek charakterystyki w zakresie przebicia (rezystancja

r_{B R}

) nie jest brany pod uwagę, ponieważ podczas normalnej pracy urządzeń, w których zastosowano daną diodę, przebicie napięciowe jest stanem awaryjnym powodującym uszkodzenie urządzenia. Napięcie przebicia

U_{B R}

nie jest podawane w katalogach przez producentów elementów półprzewodnikowych.

Ponieważ rezystancja obszaru zaporowego jest bardzo duża, około 107 razy większa od rezystancji w stanie przebicia i przewodzenia to często stosuje się dwuodcinkową aproksymację charakterystyki diody, np. w celu wyznaczenia strat mocy w stanie przewodzenia.

Dla tego modelu w stanie przewodzenia można napisać:

$U_{F} = U_{F (T 0)} + I_{F} r_{F}$

gdzie:

$U_{F (T 0)}$ - napięcie progu załączenia diody,

$r_{F}$ - rezystancja dynamiczna diody.

Jeżeli trzeba uwzględnić wsteczny prąd diody modelujemy charakterystykę w sposób przedstawiony na slajdzie 7. W stanie zaporowym dioda jest reprezentowana przez liniowy rezystor

R_{R}

, a w stanie przewodzenia przez szeregowy obwód składający się ze źródła napięcia modelującego napięcie progu załączenia diody i rezystancji dynamicznej

r_{F}

.

Model dwuodcinkowy uwzględniający warunek, że rezystancja w stanie zaporowym

R_{R} \to \infty

.

Kolejne uproszczenie charakterystyki uwzględniające stałą wartość napięcia przewodzenia diody.

Model idealnej diody. W tym wypadku dioda jest łącznikiem, który w stanie zaporowym jest wyłączony, a w stanie przewodzenia jest załączony.

Do komputerowej symulacji układów elektronicznych stosuje się inne, bardziej złożone modele, oparte np. na uproszczonej teorii złącza półprzewodnikowego opracowanej przez Shockleya. Zgodnie z tą teorią prąd przewodzenia diody można obliczyć z zależności:

$I_{F} = I_{S} (e^{\frac{U_{F}}{n \cdot U_{T}}} - 1)$

gdzie:

$I_{F}, U_{F}$ – prąd i napięcie przewodzenia,

$I_{S}$ – prąd nasycenia płynący przy polaryzacji wstecznej złącza (prąd wsteczny),

$n$ – współczynnik emisji,

$U_{T} = k T / e$ - potencjał elektrokinetyczny lub potencjał termiczny elektronu (w temperaturze pokojowej około $25 m V$ ),

$k$ - stała Boltzmana $1, 38 \cdot 1 0^{- 23} J / K$ ,

$T$ – temperatura bezwzględna,

$e$ – ładunek elementarny $1, 6 \cdot 1 0^{- 19} C$

Prąd nasycenia

I_{S}

zależy od temperatury złącza zgodnie z zależnością

$I_{S} = C \cdot T^{3} \cdot e^{\frac{- E_{G 0}}{U_{T}}}$

gdzie: $C$ - stała, $E_{G 0}$ - jest ekstrapolowaną (dla Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\diplaystyle”): {\displaystyle \diplaystyle T = 0\, K} ) szerokością przerwy energetycznej ( $1, 19 V$ dla krzemu, $0, 78 V$ dla germanu, $1, 56 V$ dla arsenku galu).

Ze względu na stałą $C$ w modelach stosowanych w programach komputerowych zależność ta jest unormowana

$I_{S} (T) = I_{S} (T_{0}) \cdot {(\frac{T}{T_{0}})}^{3} \cdot e^{[\frac{E_{G 0}}{U_{T} (T_{0})} (1 - \frac{T_{0}}{T})]}$

Jeżeli zachodzi potrzeba wyznaczenia przebiegów dynamicznych i uwzględnienia procesów bezwładnościowych związanych z gromadzeniem się i usuwaniem ze złącza ładunków, modele statyczne diody można uzupełnić przez dołączenie równolegle do bezinercyjnego modelu diody kondensatorów reprezentujących średnie pojemności dobrane odpowiednio do danego obszaru pracy.

W obliczeniach komputerowych używa się dokładniejszego modelu uwzględniającego pojemność dyfuzyjną złącza $C_{d}$ i pojemność warstwy zaporowej ( pojemność złączową) $C_{j}$ .

$C_{d} = t_{t} \frac{e}{k T} (I_{D} + I_{S})$

gdzie $t_{t}$ – czas przelotu.

$C_{j} = C_{j 0} {(1 - \frac{e \cdot U_{F}}{k T})}^{- m}$ ,

gdzie $C_{j 0}$ pojemność złącza przy zerowym napięciu polaryzacji, $m = 0, 5$ dla złącza skokowego, $m = 0, 333$ dla złącza liniowego.

Pojemność złączową można pominąć, gdy spełniony jest warunek $I_{D} > > I_{S}$ .

Do opisu modelu bezinercyjnego stosuje się uproszczony wzór Shockleya

$I_{D} = I_{S} (e^{\frac{U_{F}}{U_{T}}} - 1)$

Diody Zenera i diody lawinowe. Stabilistory stosuje się w układach stabilizacji napięcia stałego. Dlatego modele jakie tutaj się stosuje są identyczne jak modele bezinercyjne diod sygnałowych i diod mocy. Najczęściej aproksymuje się charakterystykę stabilistora przy pomocy trzech odcinków prostych. Dla napięcia polaryzującego złącze w kierunku przewodzenia odcinek charakterystyki ma nachylenie odpowiadające rezystancji dynamicznej

r_{F}

, w kierunku wstecznym nachylenie charakterystyki jest określone przez rezystancję dynamiczną

r_{Z}

.

Czasami zakłada się, że pomiędzy punktami załączenia (napięcie progowe $U_{F (T 0)}$ w kierunku przewodzenia i przebicia (napięcie przebicia $U_{Z 0}$ ) dla kierunku polaryzacji zaporowej stabilistor ma rezystancję $R_{R}$ o kilka rzędów większą niż rezystancje $r_{Z}$ i $r_{F}$

Najczęściej przyjmuje się, że rezystancja $R_{R} \to \infty$ .

Modele tranzystorów bipolarnych

W ogólnym przypadku napięcia $U_{B E}$ i $U_{B C}$ występujące na złączach mogą przyjmować wartości dodatnie i ujemne, a tranzystor może pracować w czterech stanach:

przewodzenia aktywnego, gdy złącze emiterowe przewodzi, a kolektorowe nie przewodzi ( $U_{B E} > 0 V$ , $U_{B C} < 0 V$ )
nasycenia, gdy oba złącza przewodzą ( $U_{B E} > 0 V$ , $U_{B C} > 0 V$ )
przewodzenia inwersyjnego, gdy zamieniono rolami emiter i kolektor tzn. złącze emiterowe nie przewodzi, a kolektorowe przewodzi ( $U_{B E} < 0 V$ , $U_{B C} > 0 V$ )
odcięcia, gdy oba złącza nie przewodzą ( $U_{B E} < 0 V$ , $U_{B C} < 0 V$ )

Na slajdzie przedstawiono rozpływ prądów w tranzystorze npn przy polaryzacji złącza EB w kierunku przewodzenia, a złącza BC w kierunku zaporowym. Ten stan pracy tranzystora nazywamy stanem przewodzenia aktywnego lub stanem aktywnym. Stan ten powszechnie jest wykorzystany w układach wzmacniaczy.

Dla tego stanu można zapisać:

$I_{E} = I_{B} + I_{C} = I_{E S} (e^{\frac{e \cdot U_{B E}}{k \cdot T}} - 1)$

$I_{C} = β_{0} \cdot I_{B} = α_{0} \cdot I_{E}$

$I_{E} = (β_{0} + 1) I_{B} = \frac{I_{C}}{α_{0}}$

Opisowi matematycznemu przedstawionemu na slajdzie 16 odpowiada obwodowy, statyczny, nieliniowy (dla dużych sygnałów) model tranzystora bipolarnego. Przewodzące złącze baza-emiter reprezentuje tutaj dioda opisana równaniem Shockleya, a prąd kolektora zależny wyłącznie od liczby nośników mniejszościowych (elektronów) wstrzykiwanych z obszaru bazy do kolektora jest reprezentowany przez sterowne źródło prądowe

α_{0} \cdot I_{E}

.

Jednym z najczęściej stosowanych podstawowych modeli tranzystora bipolarnego

w zakresie dużych sygnałów uwzględniający wszystkie czterech stany pracy tranzystora bipolarnego jest Model Ebersa-Molla opublikowany przez J. J. Ebersa i J. L. Molla w 1954 roku. Aby wyjaśnić ideę tego modelu załóżmy, że dla tranzystora npn pracującego w stanie nasycenia krzywa rozkładu nośników nadmiarowych $Δ n (x)$ w bazie ma kształt jak na rysunku przedstawionym na slajdzie 17 i zawiera dwie składowe $Δ n_{N} (x)$ i $Δ n_{I} (x)$ . Oznacza to, że przy pracy tranzystora w stanie nasycenia występuje jednocześnie przepływ elektronów do kolektora wstrzykiwanych przez złącze emiterowe (transmisja normalna, indeks $N$ ), oraz przepływ elektronów do emitera wstrzykiwanych przez złącze kolektorowe (transmisja inwersyjna, indeks $I$ ). Dla kierunku transmisji normalnej definiuje się współczynniki wzmocnienia prądowego $α_{N}$ (lub $β_{N}$ ), a dla transmisji inwersyjnej $α_{I}$ (lub $β_{I}$ ). Wartości odpowiednich współczynników nie są sobie równe, gdyż struktura tranzystora nie jest symetryczna.

Można zatem zapisać równania, określające związki prądów

I_{C}

,

I_{E}

od napięć złączowych

U_{B E}

,

U_{B C}

w postaci

$I_{E} = I_{E N} - α_{I} \cdot I_{C I} = I_{E S} (e^{\frac{e \cdot U_{B E}}{k \cdot T}} - 1) - α_{I} \cdot I_{C S} (e^{\frac{e \cdot U_{B C}}{k \cdot T}} - 1)$

$I_{C} = α_{N} \cdot I_{E N} - I_{C I} = α_{N} \cdot I_{E S} (e^{\frac{e \cdot U_{B E}}{k \cdot T}} - 1) - I_{C S} (e^{\frac{e \cdot U_{B C}}{k \cdot T}} - 1)$

Równania te nazywamy równaniami Ebersa-Molla.

Bezpośrednią interpretacją obwodową równań ze slajdu 18 jest model przedstawiony na slajdzie 19.

Zwykle wygodniej jest posługiwać się modelem Ebersa-Molla, w którym sterowane źródła prądowe są uzależnione od prądów zewnętrznych tranzystora.

$I_{E} = α_{I} \cdot I_{C} + I_{E 0} (e^{\frac{e \cdot U_{B E}}{k \cdot T}} - 1)$

$I_{C} = α_{N} \cdot I_{E} - I_{C 0} (e^{\frac{e \cdot U_{B C}}{k \cdot T}} - 1)$

gdzie $I_{E 0} = (1 - α_{I} \cdot α_{N}) \cdot I_{E S}$

I_{C 0} = (1 - α_{I} \cdot α_{N}) \cdot I_{C S}

Prądy zerowe tranzystora $I_{C 0} = I_{C B 0}, I E 0 = I_{C E 0}$ nazywane są także rozwarciowymi prądami nasycenia złącza emiterowego i kolektorowego tranzystora. Można wykazać, że

$α_{N} \cdot I_{E 0} = α_{I} \cdot I_{C 0}$

W wypadku prostych obliczeń wystarczająco dobre jest zastąpienie charakterystyk wejściowej i wyjściowej tranzystora odcinkami prostych podobnie jak to ma miejsce przy modelowaniu diod.

Charakterystyka wejściowa jest aproksymowana trzema odcinkami odpowiednio dla stanu przebicia, zaporowego i przewodzenia. Stan przebicia złącza baza-emiter charakteryzuje napięcie przebicia $U_{B E R}$ . Praktycznie zawsze pomijane. Napięcie progowe, przy którym złącze zaczyna przewodzić jest równe $U_{B E P}$ , rezystancja odpowiadająca odcinkowi charakterystyki pomiędzy napięciami $U_{B E R}$ i $U_{B E P}$ ma wartość $R_{B E}$ . Często pomija się ją zakładając, że $R_{B E} \to \infty$ . Stan przewodzenia charakteryzuje dynamiczna rezystancja wejściowa tranzystora $r_{B E}$ .

Charakterystyki wyjściowe to zbiór prostych równoległych, dla których parametrem jest prąd bazy $I_{B}$ . Napięcie $U_{C E S}$ jest szczątkowym napięciem kolektor-emiter na granicy obszaru aktywnego i obszaru nasycenia. W przybliżeniu jest ono równe różnicy napięć na przewodzących złączach emiterowym i kolektorowym.

$U_{C E S} = U_{B E P} - U_{B C P}$

Ponieważ napięcie $U_{B E P}$ jest większe od napięcia $U_{B C P}$ to napięcie $U_{C E S}$ jest dodatnie. Zwykle przyjmuje się, że ma ono wartość około $0, 2 V$ .

Dla poszczególnych odcinków charakterystyk odpowiadających stanom nasycenia, aktywnemu i odcięcia prądowego można narysować obwodowe, linearyzowane schematy zastępcze tranzystora bipolarnego przedstawione na slajdzie 22.

Jeżeli w konkretnym zastosowaniu tranzystora wymagane jest zamodelowanie charakterystyk wyjściowych z uwzględnieniem ich nachylenia, które charakteryzuje dynamiczna rezystancja wyjściowa tranzystora

r_{C E}

lub jej odwrotność dynamiczna (przyrostowa) konduktancja

g_{C E}

wykorzystuje się model uwzględniający zjawisko Earlyego. Polega ono na zmianie długości bazy w warstwach zaporowych złączy wnikających w głąb bazy pod wpływem przyłożonego napięcia. W wyniku skracania się bazy przy dużych napięciach kolektor-emiter wzmocnienie prądowe tranzystora zwiększa się, a to objawia się zwiększaniem nachylenia charakterystyk wyjściowych proporcjonalnie do natężenia prądu bazy. Najprościej zjawisko Earlyego uwzględnia się dobierając eksperymentalnie tzw. potencjał Earlyego

U_{E}

.

Uwzględniając potencjał $U_{E}$ prąd kolektora można opisać zależnością:

$I_{C} = β_{N 0} (1 + \frac{U_{C E}}{U_{E}}) \cdot I_{B} = β_{Z} \cdot I_{B}$

przy czym $β_{Z} = β_{N 0} (1 + \frac{U_{C E}}{U_{E}})$

$β_{N 0}$ – ekstrapolowany współczynnik wzmocnienia prądowego tranzystora dla dużych sygnałów wyznaczona przy $U_{C E} = 0 V$ .

Z zależności tej można wyznaczyć dynamiczną rezystancję wyjściową tranzystora

$r_{C E} = \frac{d U_{C E}}{d I_{C}} |_{I_{B} = c o n s t} \approx \frac{U_{E}}{I_{C}}$

W zakresie małych sygnałów stosuje się modele czwórnikowe tranzystora linearyzujące charakterystyki tranzystora w stanie aktywnym. Linearyzacja polega na zastąpieniu w otoczeniu punktu pracy wybranego odcinka charakterystyk liniami prostymi. Przy takim uproszczeniu wszystkie parametry tranzystora można traktować jako stałe. Z pośród wielu typów macierzy najczęściej jest stosowana macierz hybrydowa h. Opis czwórnika przy wykorzystaniu tej macierzy ma postać

$u_{1} = i_{1} \cdot h_{11} + u_{2} \cdot h_{12}$

$i_{2} = i_{1} \cdot h_{21} + u_{2} \cdot h_{22}$

Schemat zastępczy odpowiadający przyjętemu opisowi przedstawiono na rysunku. Zmiennymi niezależnymi są tutaj prąd wejściowy $i_{1}$ oraz napięcie wyjściowe $u_{2}$ . Ponieważ w przypadku tranzystorów bipolarnych wyróżnia się trzy podstawowe układy pracy: wspólny emiter WE, wspólny kolektor WK, wspólna baza WB to zmienne niezależne macierzy $h$ przyjmują wartości odpowiedniego prądu wejściowego i napięcia wyjściowego dla przyjętej topologii układu.

Najbardziej popularnym jest układ wspólnego emitera WE, który jest opisany układem równań

$u_{B E} = i_{B} \cdot h_{11 e} + u_{C E} \cdot h_{12 e}$