W zastosowaniach teorii sygnałów często porównujemy analizowanego sygnału z innym sygnałem, w szczególności ¬z swoją własną przesuniętą w czasie kopią. Podobieństwo sygnałów można charakteryzować za pomocą funkcji korelacyjnych.
Przypomnijmy, że na podstawie iloczynu skalarnego możemy wyznaczyć zarówno odległość dwóch sygnałów, jak i kąt między nimi w danej przestrzeni Hilberta.
Jeśli Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x(t)\in L^2\}
, , to także .
Dla różnych wartości przesunięcia Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \tau\}
, całka definicyjna (6.1) przybiera różne wartości. W ten sposób otrzymujemy zależność funkcyjną od zmiennej Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \tau\}
, . Dla ustalonego Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \tau\}
, wartość funkcji autokorelacji jest polem pod wykresem iloczynu sygnału nieprzesuniętego i przesuniętego.
Definicja (6.1) została podana od razu dla sygnałów zespolonych. Przedrostek „auto” oznacza, że funkcja korelacyjna (6.1) opisuje korelację czasową między danym sygnałem a wersją przesuniętą tego samego sygnału. Podkreślamy to dodając do symbolu Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle "\varphi"\}
, funkcji autokorelacji indeks sygnału Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle "x"\}
,.
Parzystość funkcji autokorelacji w przypadku sygnałów rzeczywistych oznacza, że możemy ją wówczas wyznaczać jedynie dla dodatnich wartości zmiennej Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \tau\}
, (opóźnień sygnału).
Wzór (6.2) wynika z podstawienia we wzorze definiującym funkcję autokorelacji.
Funkcja autokorelacji przybiera maksymalną co do modułu wartość dla .
Brak korelacji czasowej sygnałów oznacza ich ortogonalność.
Funkcja autokorelacji sygnału Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x(t)\in L^2\}
, jest Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle F\}
, - transformowalna w zwykłym sensie.
Funkcja autokorelacji jest niezmiennicza względem przesunięcia, tj. dla dowolnego Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle t_0\}
, , gdzie .
Przedstawione na rysunku funkcje autokorelacji można wyznaczyć wprost z definicji. Wszystkie funkcje mają jedyne maksimum w punkcie .
Funkcja autokorelacji impulsu prostokątnego jest trójkątna. Sposób jej konstrukcji jest pokazany na rys. e.
Trójkątny kształt funkcji autokorelacji występuje również w przypadku ciągu impulsów prostokątnych i prostokątnego impulsu radiowego.
Słuszność pary transformat (6.3) można wykazać na podstawie twierdzenia Rayleigha dla klasy sygnałów Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle L^2\}
, i twierdzenia o przesunięciu. Ponieważ , zatem:
Energię sygnału można obliczyć:
w dziedzinie czasu, jako całkę z kwadratu modułu sygnału,
w dziedzinie korelacyjnej, jako ,
w dziedzinie częstotliwości, jako całkę z widma energii podzieloną przez Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 2\pi\}
,.
Widmo energii jest zawsze funkcją rzeczywistą parzystą i opisuje rozkład energii wzdłuż osi częstotliwości. Energię sygnału zawartą w przedziale pulsacji Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle [\omega_1, \omega_2]\}
, można wyznaczyć, obliczając całkę
(por. rys. a).
Funkcja autokorelacji idealnego sygnału dolnopasmowego ma również kształt funkcji Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle Sa\}
,. Wynika to z faktu, że zarówno widmo amplitudowe tego sygnału, jak i jego widmo energii są prostokątne.
Związki między sygnałem i jego charakterystykami w dziedzinie częstotliwości i dziedzinie korelacyjnej ilustruje prosty diagram. Strzałki podwójne oznaczają na nim związki wzajemnie jednoznaczne, tj. jednoznaczne przejścia od jednej do drugiej wielkości , natomiast strzałki pojedyncze oznaczają przejście tylko w jedną stronę.
Funkcja autokorelacji sygnału stanowi jedynie częściowy opis sygnału. Znając te funkcję możemy odtworzyć widmo amplitudowe sygnału, tracimy jednak informację o widmie fazowym.
Podana definicja efektywnego czasu korelacji ma sens dla przypadku sygnałów, których funkcja autokorelacji maleje monotonicznie. Dla sygnałów o funkcji autokorelacji dążącej do zera oscylacyjnie można wprowadzić inne miary czasu korelacji.
Zasada nieoznaczoności pozostaje w mocy bez względu na sposób definiowania efektywnego czasu korelacji i efektywnej szerokości widma.
Funkcje korelacji wzajemnej są określone dla dwóch różnych sygnałów (np. dla sygnału na wejściu i na wyjściu pewnego układu). Tak jak w przypadku funkcji autokorelacji, funkcje korelacji wzajemnej można traktować jako miary wzajemnego położenia sygnałów w odpowiedniej przestrzeni Hilberta dla różnych wartości przesunięcia jednego sygnału względem drugiego.
Pojęcie energii wzajemnej ma interesującą interpretację fizyczną. Jeśli Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x(t)\}
, i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle y(t)\}
, są sygnałami napięcia i odpowiednio prądu na zaciskach dwójnika elektrycznego, to wielkość jest energią pobraną przez ten dwójnik.
Dla ustalonego Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \tau\}
, wartość funkcji korelacji wzajemnej jest polem pod wykresem iloczynu sygnałów (por. rys. c i d).
W przeciwieństwie do funkcji autokorelacji, funkcje korelacji wzajemnej sygnałów rzeczywistych nie muszą być parzyste (por. rys. e).
Dla sygnałów rzeczywistych związek (6.4) przybiera postać , co oznacza, że taką samą wartość iloczynu skalarnego otrzymujemy przy przesunięciu sygnału Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle y(t)\}
, w kierunku opóźnienia o czas Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \tau\}
, , co przy przesunięciu sygnału Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x(t)\}
, o ten sam czas w kierunku przyspieszenia.
Funkcje korelacji wzajemnej sygnałów o ograniczonej energii są Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle F\}
, -transformowalne w zwykłym sensie.
Funkcje korelacji wzajemnej i widma energii wzajemnej tworzą pary transformat Fouriera.
Dla sygnałów o ograniczonej mocy funkcje korelacyjne definiujemy jako wielkości graniczne (dla odróżnienia oznaczamy je literą psi) .
Właściwości funkcji autokorelacji sygnałów o ograniczonej mocy są podobne jak w przypadku sygnałów o ograniczonej energii.
Wartość funkcji autokorelacji Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \psi_x(\tau)\}
, sygnału o ograniczonej mocy w punkcie jest rzeczywista i równa jego mocy.
Funkcja autokorelacji Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \psi_x(\tau)\}
, przybiera maksymalną co do modułu wartość dla .
Brak korelacji czasowej sygnałów oznacza ich ortogonalność.
Funkcja autokorelacji sygnału o ograniczonej mocy jest Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle F\}
, -transformowalna w sensie granicznym.
Funkcja autokorelacji Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \psi_x(\tau)\}
, jest niezmiennicza względem przesunięcia, tj. dla dowolnego Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle t_0\}
, .
Funkcja autokorelacji skoku jednostkowego Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 1(t)\}
, jest stała i równa Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 1/2\}
, .
Jeśli współczynnik wypełnienia Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle T/T_0\}
, unipolarnej fali prostokątnej jest mniejszy bądź równy Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 1/2\}
, , jej funkcja autokorelacji jest ciągiem trójkątów o szerokości Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 2T\}
, powtarzanych z okresowym Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle T_0\}
, (rys a). Jeśli , trójkąty te nakładają się na siebie i funkcja autokorelacji ma postać jak na rys b.
Funkcja autokorelacji sygnału harmonicznego jest funkcją kosinusoidalną o tym samym okresie co okres sygnału harmonicznego i nie zależy od jego fazy początkowej Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \varphi_0\}
,. Przykład ten świadczy dobitnie o tym, że funkcja autokorelacji nie zawiera informacji o fazie sygnału.
Definicja widma mocy Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \Psi_x(\omega)\}
, sygnału Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x(t)\}
, o ograniczonej mocy ma sens graniczny. Widmo to jest określone jako granica ciągu widm energii Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \Phi_T(\omega)\}
, sygnałów impulsowych Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x_T(t)\}
, będących centralnymi segmentami sygnału Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x(t)\}
, o długości Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle T\}
, przy Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle T\to \infty\}
, .
Funkcja autokorelacji Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \psi_x(\tau)\}
, i widmo mocy Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \Psi_x(\omega)\}
, sygnału Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x(t)\}
, o ograniczonej mocy tworzą parę transformat Fouriera w sensie granicznym.
Moc sygnału można obliczyć w dziedzinie częstotliwości jako całkę z widma mocy podzieloną przez Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 2\pi\}
,. Widmo mocy opisuje zatem rozkład mocy sygnału wzdłuż osi pulsacji (częstotliwości).
W przypadku sygnałów okresowych Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x(t)\}
, funkcja autokorelacji Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \psi_x(\tau)\}
, jest również okresowa, a więc rozwijalna w zespolony szereg Fouriera. Współczynnikami tego szeregu są kwadraty modułów Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle |X_k|^2\}
, współczynników Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle X_k\}
, zespolonego szeregu Fouriera sygnału Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x(t)\}
, . Widmo mocy sygnału okresowego jest zatem dystrybucyjne.
Definicje funkcji korelacji wzajemnej i mocy wzajemnej, a także widm mocy wzajemnej sygnałów o ograniczonej mocy są analogiczne do odpowiednich definicji funkcji korelacji wzajemnej, energii wzajemnej i widm energii wzajemnej sygnałów o ograniczonej energii. Podobne są też ich właściwości.
Jeśli sygnały Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x(t)\}
, i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle y(t)\}
, są rzeczywistymi sygnałami okresowymi prądu i napięcia na zaciskach pewnego dwójnika elektrycznego, to moc wzajemna ma sens mocy czynnej pobranej przez ten dwójnik.
Funkcje korelacji wzajemnej i widma mocy wzajemnej sygnałów o ograniczonej mocy tworzą pary transformat Fouriera w sensie granicznym.
Funkcje korelacyjne sygnałów dyskretnych o ograniczonej mocy są określone odpowiednimi iloczynami skalarnymi w przestrzeni Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle l^2\}
, , a więc w ich definicjach zamiast całek występują sumy. Tak jak w przypadku sygnałów analogowych funkcje te są oznaczane literą Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \varphi\}
, , natomiast ich argument – literą Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle m\}
, .
Właściwości funkcji autokorelacji sygnałów dyskretnych o ograniczonej energii są wiernymi odpowiednikami właściwości funkcji autokorelacji sygnałów analogowych o ograniczonej energii. W szczególności wartość funkcji autokorelacji w zerze jest równa energii sygnału.
Funkcje korelacyjne sygnałów należących do przestrzeni Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle l^2\}
, są także elementami tej przestrzeni, a więc są Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle F\}
, -transformowalne.
W przykładzie 6.7 zilustrowany został typowy sposób postępowania przy wyznaczaniu funkcji autokorelacji sygnału dyskretnego o skończonym czasie trwania.
W przypadku tej klasy sygnałów dla przesunięć Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle m\}
, większych co do modułu od pewnej wartości korelacja czasowa znika i funkcja korelacja przybiera wartości zerowe.
W przykładzie 6.8 funkcję autokorelacji można wyznaczyć w postaci zamkniętej. W obliczeniach korzystamy ze wzoru na sumę nieskończonego szeregu geometrycznego.
Im parametr Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle a\}
, jest mniejszy, tym szybciej zanika korelacja między próbkami sygnału. Jeśli Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle a\to 1\}
, , sygnał dąży do dyskretnego skoku jednostkowego Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 1[n]\}
, , a funkcja autokorelacji dąży do funkcji stałej równej Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 1/2\}
, dla każdego Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle m\}
,. Aby to pokazać, trzeba jednak dokonać odpowiedniego przejścia granicznego.
Widmo energii sygnału dyskretnego jest zdefiniowane jako kwadrat jego widma amplitudowego. Widmo energii jest oczywiście funkcją okresową zmiennej Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \theta\}
, . Ponadto dla sygnałów rzeczywistych widmo energii jest rzeczywiste i parzyste.
Widmo energii sygnału dyskretnego jest transformatą Fouriera jego funkcji autokorelacji.
Energię sygnału Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x[n]\}
, można obliczyć jako pole pod wykresem widma energii za okres Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle [-\pi, \pi]\}
, podzielone przez Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 2\pi\}
, (lub pole w przedziale Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle [0, \pi]\}
, podzielone przez Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \pi\}
, ).
W przypadku dwóch różnych sygnałów dyskretnych ich właściwości korelacyjne charakteryzują funkcje korelacji wzajemnej. Definicje i właściwości tych funkcji są analogiczne jak w przypadku sygnałów analogowych.
Analogicznie do przypadku sygnałów analogowych definiuje się również widma energii wzajemnej sygnałów dyskretnych.
Funkcja autokorelacji sygnału dyskretnego o ograniczonej mocy jest definiowana w sensie granicznym. Funkcję tę oznaczamy taką samą literą Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \psi\}
, jak w przypadku sygnałów analogowych o ograniczonej mocy.
Właściwości funkcji autokorelacji sygnałów dyskretnych o ograniczonej mocy są analogiczne jak w przypadku sygnałów analogowych. W szczególności wartość funkcji autokorelacji w zerze jest równa mocy sygnału.
Funkcja autokorelacji dyskretnego sygnału harmonicznego jest dyskretną kosinusoidą i nie zależy od fazy początkowej sygnału. Jej wartość w punkcie jest równa mocy sygnału Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle X_0^2/2\}
,.
Podobnie jak w przypadku sygnałów analogowych, widmo mocy sygnału dyskretnego Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x[n]\}
, o ograniczonej mocy jest zdefiniowane jako granica ciągu widm energii Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \Phi_N(e^{j\theta})\}
, środkowych segmentów tego sygnału o czasie trwania Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle [-N, N]\}
, odniesionych do szerokości Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 2N+1\}
, tych segmentów przy Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle N\to \infty\}
, .
W przypadku sygnałów Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle N\}
, -okresowych ich funkcje autokorelacji są również Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle N\}
, -okresowe. Współczynnikami Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \Psi(k)\}
, rozwinięcia funkcji autokorelacji Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \overline{\psi}_x [m]\}
, sygnału Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle N\}
, -okresowego Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \overline{x}[n]\}
, w dyskretny szereg Fouriera są kwadraty Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle |X(k)|^2\}
, modułów współczynników Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle X(k)\}
, rozwinięcia w dyskretny szereg Fouriera sygnału Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \overline{x}[n]\}
,.
Moc sygnału Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle N\}
, -okresowego jest sumą za okres Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle N\}
, wartości Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \Psi(k)\}
, jego widma mocy.
