PS Moduł 4

Przypominamy, że sygnały dyskretne o skończonej energii należą do przestrzeni Hilberta $l^{2}$ , w której iloczyn skalarny jest określony wzorem $(x, y)_{l^{2}} = \sum_{- \infty}^{\infty} x (n T_{s}) y^{*} (n T_{s})$ .
Celowo przyjmujemy na razie nieunormowaną skalę czasu.
Podobnie jak w przypadku sygnałów analogowych widmo sygnału dyskretnego jest w ogólnym przypadku ciągłą funkcją zespoloną zmiennej rzeczywistej $ω$ .
W teorii sygnałów dyskretnych argument widma jest oznaczany zwyczajowo przez $e^{j ω T_{s}}$ , a nie w sposób naturalny przez $ω$ .

Okresowość widm sygnałów dyskretnych jest ich podstawową cechą. Gdybyśmy widma te wyrazili w funkcji częstotliwości $f = ω / 2 π$ , ich okres byłby równy częstotliwości próbkowania $f_{s}$ .
Jeśli widmo sygnału dyskretnego jest wyrażone w funkcji pulsacji unormowanej $θ = ω / 2 π$ , jego okres jest równy $π$ .
Widmo (4.2) można także zapisać w funkcji częstotliwości unormowanej $ν = ω / ω_{s} = f / f_{s} = θ / 2 π$ . Jego okres jest wówczas równy $1$ .

Widmo impulsu Kroneckera jest stałe przedziale $- π \leq θ \leq π$ , a zarazem na całej osi $θ$ .
Korzystanie ze wzorów na sumę skończonego lub nieskończonego szeregu geometrycznego jest charakterystyczne dla obliczania widm wielu sygnałów dyskretnych.

Wykres widma amplitudowego dyskretnego impulsu prostokątnego został sporządzony dla $N = 6$ w przedziale $[- 3 π, 3 π]$ . Jeśli $N$ rośnie, wysokość okresowo powtarzanych „listków” głównych widma rośnie, a ich szerokość maleje. Jednocześnie maleje poziom listków bocznych.
Zwiększając $N$ do nieskończoności otrzymujemy w granicy dyskretny sygnał stały. Przejściu granicznemu towarzyszy wzrost wysokości listków głównych widma do nieskończoności i zanikanie listków bocznych do zera. W efekcie otrzymujemy dystrybucję grzebieniową w dziedzinie częstotliwości (rys. b)
Wzór (4.4) określa wartości kolejnych próbek sygnału dla $n ϵ ◻$ .

Twierdzenia dotyczące przekształcenia Fouriera sygnałów dyskretnych mają swoje ścisłe odpowiedniki w twierdzeniach dotyczących przekształcenia Fouriera sygnałów analogowych. Podobna też jest ich interpretacja.

Uogólnione twierdzenie Rayleigha wyraża równość iloczynów skalarnych w przestrzeni $l^{2}$ sygnałów dyskretnych i przestrzeni ${L^{2}}_{2 π}$ ich okresowych widm.
Twierdzenie Parsevala wyraża równość norm w obu tych przestrzeniach.

Sygnały $N$ -okresowe są szczególnym przypadkiem sygnałów dyskretnych. Powstają one np. w wyniku próbkowania okresowych sygnałów analogowych dokładnie $N$ razy w okresie.
W celu podkreślenia $N$ -okresowości sygnałów są one oznaczane z kreską u góry.
Sygnały bazowe w przestrzeni Hilberta pełnią podobną rolę jak sygnały bazowe w przestrzeni Hilberta , . Zasadnicza różnica polega jednak na tym, że w przypadku przestrzeni baza jest skończona.

Menu nawigacyjne