PS Moduł 3

Metody analizy sygnałów w dziedzinie częstotliwości noszą nazwę metod częstotliwościowych lub metod widmowych.
W „języku” częstotliwościowym można w wielu przypadkach w sposób prostszy opisać podstawowe cechy sygnału. Łatwiej jest też rozpatrywać i interpretować niektóre operacje na sygnałach, a zwłaszcza operację filtracji.
Widmo $X (ω)$ sygnału $x (t)$ jest jego równoważną reprezentacją w dziedzinie częstotliwości. Ponieważ widmo jest w ogólnym przypadku funkcją zespoloną zmiennej rzeczywistej $ω$ (por. przykład 3.1), reprezentacja ta ma charakter formalny, niefizyczny.

Zwróćmy uwagę, że w przykładzie 3.2 otrzymaliśmy widmo rzeczywiste. Jest to konsekwencją parzystości sygnału $x (t) = X_{0} Π (t / T)$ . Widmo to ma kształt funkcji Sa w dziedzinie częstotliwości.
Dla sygnałów o ograniczonej energii (należących do przestrzeni $L^{2} (- \infty, \infty)$ ) przekształcenie Fouriera jest wzajemnie jednoznaczne, jeśli całkę (3.1) rozumie się w sensie Lebesgue’a.
Wzory (3.1) i (3.2) określają proste i odwrotne przekształcenie Fouriera w sensie zwykłym.

Chcąc wyprowadzić parę transformat w sensie granicznym należy w każdym indywidualnym przypadku skonstruować odpowiedni ciąg sygnałów o ograniczonej energii aproksymujący sygnał o ograniczonej mocy i dokonać przejścia granicznego. Bardzo często w wyniku przejścia granicznego otrzymujemy w granicy widma dystrybucyjne.
Ciąg aproksymujący sygnał $x (t)$ o ograniczonej mocy konstruuje się zwykle mnożąc go przez funkcje dążące dostatecznie szybko do zera dla $t \to \pm \infty$ typu: $e^{- α t} 1 (t)$ , jeśli $t ϵ [0, \infty)$ , oraz Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle e^{-\alpha |t|}\} lub Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle e^{-\alpha t^2}\} , jeśli $t ϵ (- \infty, \infty)$ .

Widmo amplitudowe i widmo fazowe są funkcjami rzeczywistymi zmiennej $ω$ i mają wyraźną interpretację fizyczną.
Widma amplitudowe sygnału z przykładu 3.3 dąży do zera, gdy $ω \to \pm \infty$ . Jego gęstość widmowa jest skoncentrowana głównie w zakresie małych wartości pulsacji. Sygnały takie nazywamy dolnopasmowymi.

Widmo amplitudowe impulsu prostokątnego z przykładu 3.4 ma charakterystyczną strukturę „listkową”. Środkowy przedział pulsacji $| ω | < 2 π / T$ obejmuje tzw. listek główny, a po obu jego stronach występują listki boczne.
Impuls prostokątny jest również sygnałem dolnopasmowym.

Widmo amplitudowe sygnałów rzeczywistych jest funkcją parzystą, a widmo fazowe funkcją nieparzystą zmiennej $ω$ . Widmo tych sygnałów jest zatem funkcją hermitowską, tj. $X (ω) = X^{*} (- ω)$ .
Operacje zwierciadlanego odbicia sygnału względem osi rzędnych i jego sprzężenia odpowiadają podobnym operacjom na jego widmie.
Przekształcenie Fouriera jest liniowe, tzn. widmo kombinacji liniowej sygnałów jest taką samą kombinacją liniową ich widm.
Przy przekształceniu Fouriera kształt sygnału i jego widma jest cechą wymienną.
Rozciągnięciu skali czasu sygnału odpowiada zawężenie skali częstotliwości jego widma i odwrotnie. Jednocześnie zmianie ulega skala wartości widma.
Przesunięciu sygnału wzdłuż osi czasu o czas $t_{0}$ odpowiada mnożenie jego widma przez czynnik $e^{j ω t_{0}}$ . Widmo amplitudowe nie zmienia się przy tym, a fazowe ulega zmianie o składnik $- ω t_{0}$ .
Mnożenie sygnału przez zespolony sygnał harmoniczny o pulsacji $ω_{0}$ powoduje przesunięcie jego widma wzdłuż osi pulsacji o wartość $ω_{0}$ .
Mnożenie sygnału przez rzeczywisty sygnał harmoniczny o pulsacji $ω_{0}$ (jego modulacja) powoduje rozczepienie widma na dwie części przesunięte wzdłuż osi pulsacji do punktów $\pm ω_{0}$ . Jednocześnie gęstość widmowa maleje dwukrotnie

</math>

Menu nawigacyjne