Analiza matematyczna 1/Ćwiczenia 13: Całka nieoznaczona

13. Całka nieoznaczona

Ćwiczenie [Uzupelnij]

Obliczyć całki: $\int \cos^{2} x d x$ i $\int \sin^{2} x d x .$

Wskazówka

Zauważyć, że $\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1$ oraz $c o s^{2} x - \sin^{2} x = \cos 2 x .$

Rozwiązanie

Korzystając z tożsamości trygonometrycznych możemy policzyć całki z sumy oraz z różnicy funkcji $\sin^{2} x$ i $\cos^{2} x,$ a mianowicie:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned\int \sin^2x\,dx +\int \cos^2x\,dx & = & \int \big(\sin^2x+\cos^2x\big)\,dx \ =\ \int 1\,dx= x+c_1\\ \int \cos^2x\,dx -\int \sin^2x\,dx & = & \int \big(\cos^2x-\sin^2x\big)\,dx \ =\ \int \cos 2x\,dx \ =\ \frac{1}{2}\sin 2x+c_2 \endaligned}

Dodając stronami powyższe równania i dzieląc przez 2, mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \int \cos^2x\,dx \ =\ \frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\sin 2x+c_3, }

natomiast odejmując stronami i dzieląc przez 2, dostajemy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \int \sin^2x\,dx \ =\ \frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\sin 2x+c_4. }

Ćwiczenie [Uzupelnij]

Obliczyć całki:
(1) $\int \frac{f^{'} (x)}{f (x)} d x,$ gdzie $f \in C^{1} (ℝ)$
(2) $\int (f (x))^{α} f^{'} (x) d x,$ gdzie $f \in C^{1} (ℝ)$ oraz $α \in ℝ$

Wskazówka

(1)--(2) Pierwotną łatwo odgadnąć. Można też zastosować podstawienie $f (x) = u .$

Rozwiązanie

(1) Obliczamy całkę stosując podstawienie $f (x) = u .$

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \int\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx \ =\ \left| \begin{array} {rcl} f(x) & = & u,\\ f'(x)\,dx & = & du \end{array} \right| \ =\ \int\frac{du}{u} \ =\ \ln|u|+c \ =\ \ln \big|f(x)\big|+c. }

(2) Zauważmy, że przypadek $α = - 1$ był rozwiązany w punkcie (1). Możemy więc założyć, że $α \neq - 1 .$ Obliczamy całkę stosując podstawienie $f (x) = u .$

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \int\big(f(x)\big)^{\alpha}f'(x)\,dx \ =\ \left| \begin{array} {rcl} f(x) & = & u,\\ f'(x)\,dx & = & du \end{array} \right| \ =\ \int u^{\alpha}\,du \ =\ \frac{1}{\alpha+1}u^{\alpha+1}+c \ =\ \frac{1}{\alpha+1}\big(f(x)\big)^{\alpha+1}+c. }

Ćwiczenie [Uzupelnij]

Obliczyć następujące całki z funkcji wymiernych:
(1) $\int \frac{x + 1}{x^{2} + 2 x - 7} d x$
(2) $\int \frac{4 - 4 x^{2}}{8 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x + 1} d x$

Wskazówka

Rozwiązanie

(1) Zauważmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle I \ =\ \int\frac{x+1}{x^2+2x-7}\,dx \ =\ \frac{1}{2}\int\frac{2x+2}{x^2+2x-7}\,dx \ =\ \frac{1}{2}\int\frac{(x^2+2x-7)'}{x^2+2x-7}\,dx, }

zatem możemy skorzystać z Zadania Uzupelnic z.am1.c.14.010|(1) otrzymując

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle I \ =\ \ln\big|x^2+2x-7\big|+c. }

(2) Ponieważ $8 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x + 1 = (2 x + 1)^{3} = 2 (x + \frac{1}{2})^{3},$ więc zgodnie z twierdzeniem o rozkładzie wyrażenia wymiernego na ułamki proste (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am1.w.13.0190|), szukamy rozkładu w postaci

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \frac{4-4x^2}{8x^3+12x^2+6x+1} \ =\ \frac{A}{x+\frac{1}{2}} +\frac{B}{(x+\frac{1}{2})^2} +\frac{C}{(x+\frac{1}{2})^3} \ =\ \frac{2A}{2x+1} +\frac{4B}{(2x+1)^2} +\frac{8C}{(2x+1)^3} }

Mnożąc obustronnie przez wspólny mianownik $(2 x + 1)^{3}$ otrzymujemy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle 4-4x^2 \ =\ 2A(2x+1)^2 +4B(2x+1) +8C. }

Ponieważ powyższa równość zachodzi dla dowolnego $x \in ℝ$ (jest to równość dwóch wielomianów), zatem podstawiając $x = - \frac{1}{2}$ otrzymujemy $C = \frac{3}{8} .$ Podstawiając to $C$ do równania, mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle 4-4x^2 \ =\ 2A(2x+1)^2 +4B(2x+1) +3, }

skąd

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle 1-4x^2 \ =\ 2A(2x+1)^2 +4B(2x+1) }

oraz

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle (1-2x)(1+2x) \ =\ 2A(2x+1)^2 +4B(2x+1). }

Dzieląc stronami przez $(2 x + 1)$ , otrzymujemy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle 1-2x \ =\ 2A(2x+1) +4B. }

Ponownie wstawiając $x = - \frac{1}{2},$ obliczamy $B = \frac{1}{2} .$ Wstawiając obliczone $B$ do powyższej równości, mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle 1-2x \ =\ 2A(2x+1) +2, }

skąd

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle -1-2x \ =\ 2A(2x+1), }

dzieląc stronami przez $(2 x + 1)$ , dostajemy $A = - \frac{1}{2} .$ Zatem szukanym rozkładem jest

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \frac{4-4x^2}{8x^3+12x^2+6x+1} \ =\ \frac{-\frac{1}{2}}{x+\frac{1}{2}} +\frac{\frac{1}{2}}{(x+\frac{1}{2})^2} +\frac{\frac{3}{8}}{(x+\frac{1}{2})^3}. }

Możemy teraz obliczyć całkę

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \int\frac{4-4x^2}{8x^3+12x^2+6x+1}\,dx & = & \int\frac{-\frac{1}{2}}{x+\frac{1}{2}}\,dx +\int\frac{\frac{1}{2}}{(x+\frac{1}{2})^2}\,dx +\int\frac{\frac{3}{8}}{(x+\frac{1}{2})^3}\,dx\\ & = & -\frac{1}{2}\int\frac{1}{x+\frac{1}{2}}\,dx +\frac{1}{2}\int\frac{1}{(x+\frac{1}{2})^2}\,dx +\frac{3}{8}\int\frac{1}{(x+\frac{1}{2})^3}\,dx\\ & = & -\frac{1}{2}\ln\bigg|x+\frac{1}{2}\bigg| -\frac{1}{2}\frac{1}{x+\frac{1}{2}} -\frac{3}{16}\frac{1}{(x+\frac{1}{2})^2}+c\\ & = & -\frac{1}{2}\ln\big|2x+1\big| -\frac{1}{2x+1} -\frac{3}{4(2x+1)^2}+c_1, \endaligned}

W ostatniej równości dla uzyskania bardziej eleganckiego wyniku zastąpiliśmy stałą $C$ przez nową stałą $C_{1} = C + \frac{1}{2} \ln 2,$ gdyż zamiast $- \frac{1}{2} \ln | x + \frac{1}{2} | + c$ napisaliśmy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle -\frac{1}{2}\ln\bigg|x+\frac{1}{2}\bigg|-\frac{1}{2}\ln 2+ \underbrace{\frac{1}{2}\ln 2+c}_{=c_1} \ =\ -\frac{1}{2}\ln\big|2x+1\big|+c_1. }

Ćwiczenie [Uzupelnij]

(1) Wyprowadzić wzór rekurencyjny na obliczanie całki $I_{n} = \int \frac{d x}{(x^{2} + 1)^{n}}$ dla $n = 1, 2, \dots .$ Wypisać wzory na $I_{1}, I_{2}, I_{3} .$
(2) Sprowadzić obliczanie całki z ułamka prostego postaci $\frac{b x + c}{(x^{2} + B x + C)^{k}}$ (gdzie $B^{2} - 4 C < 0$ ) do całki z punktu (1).

Wskazówka

(1) Dla $n = 1$ całka jest nam znana. Dla $n \geq 2$ przekształcić całkę w następujący sposób

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle I_n \ =\ \int\frac{dx}{(x^2+1)^n} \ =\ \int\frac{x^2+1-x^2}{(x^2+1)^n}\,dx \ =\ \underbrace{\int\frac{1}{(x^2+1)^{n-1}}\,dx}_{=I_{n-1}} -\int\frac{x^2}{(x^2+1)^n}\,dx. }

Ostatni składnik policzyć całkując przez części, traktując funkcję podcałkową jako iloczyn $x \cdot \frac{x}{(x^{2} + 1)^{n}} .$
(2) Najpierw rozłożyć ułamek na sumę dwóch ułamków: pierwszego, którego licznik jest pochodną trójmianu z mianownika $x^{2} + B x + C$ i drugiego, którego licznik jest stały. Do obliczenia całki z pierwszego ułamka wykorzystać Zadanie Uzupelnic z.am1.c.14.010|(a). Obliczenie całki z drugiego z ułamków sprowadzić do punktu (1).

Rozwiązanie

(1) Dla $n = 1$ całka wynosi

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \int\frac{dx}{x^2+1} \ =\ \mathrm{arctg}\, x+c. }

Dla $n \geq 2$ przekształcamy całkę w następujący sposób

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle I_n \ =\ \int\frac{dx}{(x^2+1)^n} \ =\ \int\frac{x^2+1-x^2}{(x^2+1)^n}\,dx \ =\ \underbrace{\int\frac{1}{(x^2+1)^{n-1}}\,dx}_{=I_{n-1}} -\underbrace{\int\frac{x^2}{(x^2+1)^n}\,dx}_{=J_n}. }

Policzmy osobno ostatni składnik $J_{n} = x \cdot \frac{x}{(x^{2} + 1)^{n}}$ przez części. W tym celu wyznaczmy najpierw pierwotną funkcji $\frac{x}{(x^{2} + 1)^{n}}$ przez podstawienie:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \int\frac{x}{(x^2+1)^n}\,dx \ =\ \left| \begin{array} {rcl} x^2+1 & = & t\\ x\,dx & = & \frac{1}{2}\,dt \end{array} \right| \ =\ \frac{1}{2}\int\frac{dt}{t^n} \ =\ \frac{1}{2}\frac{t^{-n+1}}{-n+1}+c \ =\ \frac{-1}{2(n-1)(x^2-1)^{n-1}}+c. }

Powróćmy teraz do wyliczenia całki $J_{n}$ :

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned J_n & = & \left| \begin{array} {rclrcl} f(x) & = & x & f'(x) & = & 1\\ g'(x) & = & \displaystyle \frac{x}{(x^2+1)^n} & g(x) & = & \displaystyle \frac{-1}{2(n-1)(x^2-1)^{n-1}} \end{array} \right|\\ & = & x\cdot\frac{-1}{2(n-1)(x^2-1)^{n-1}} -\int\frac{-dx}{2(n-1)(x^2-1)^{n-1}} \ =\ \frac{-x}{(2n-2)(x^2-1)^{n-1}} +\frac{1}{2n-2}I_{n-1}. \endaligned}

Wstawiając otrzymany wynik do wzoru na $I_{n}$ dostajemy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle I_n \ =\ I_{n-1} +\frac{x}{2(n-1)(x^2-1)^{n-1}} -\frac{1}{2n-2}I_{n-1} \ =\ \frac{1}{2n-2}\cdot\frac{x}{(x^2-1)^{n-1}} +\frac{2n-3}{2n-2}I_{n-1}. } Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \displaystyle \begin{array} {rcl} I_1 & =& \mathrm{arctg}\, x+c\\ I_2 & = &\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\frac{x}{x^2+1}+\frac{1}{2}\mathrm{arctg}\, x+c\\ I_3 & = &\displaystyle \frac{1}{4}\cdot\frac{x}{(x^2+1)^2} +\frac{3}{8}\cdot\frac{x}{x^2+1} +\frac{3}{8}\mathrm{arctg}\, x+c\\ & \vdots & \\ I_n & =&\displaystyle \frac{1}{2n-2}\cdot\frac{x}{(x^2-1)^{n-1}} +\frac{2n-3}{2n-2}I_{n-1}\quad\textrm{dla}\ n=2,3,4 \end{array} . }

(2) Zapiszmy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \int\frac{bx+c}{(x^2+Bx+C)^n}\,dx \ =\ \frac{b}{2}\cdot \underbrace{\int\frac{2x+B}{(x^2+Bx+C)^n}\,dx}_{=K_1} +\bigg(-\frac{bB}{2}+C\bigg) \underbrace{\int\frac{1}{(x^2+Bx+C)^n}\,dx}_{=K_2}. }

Całkę $K_{1}$ znamy już z Zadania Uzupelnic z.am1.c.14.010|, a mianowicie:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle K_1 \ =\ \int \frac{2x+B}{(x^2+Bx+C)^n}\,dx \ =\ \left\{ \begin{array} {lll} \displaystyle \ln\big(x^2+Bx+C)+c_1 & \textrm{dla} & n=1\\ \displaystyle \frac{-1}{n-1}\cdot\frac{1}{(x^2+Bx+C)^{n-1}}+c_1 & \textrm{dla} & n\ge 1. \end{array} \right. }

Całkę $K_{2}$ sprowadzimy do całki z punktu (1) przez odpowiednie podstawienie

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\alignedK”): {\displaystyle \displaystyle \alignedK_2 & = & \int\frac{1}{(x^2+Bx+C)^n}\,dx \ =\ \int\frac{dx}{\displaystyle\bigg[\bigg(x+\frac{B}{2}\bigg)^2+\underbrace{\frac{4C-B^2}{4}}_{=S}\bigg]^n} \ =\ \frac{1}{S^n} \int\frac{dx}{\displaystyle\bigg[\bigg(\frac{x+\frac{B}{2}}{\sqrt{S}}\bigg)^2+1\bigg]^n}\\ & = & \left| \begin{array} {rcl} \displaystyle \frac{x+\frac{B}{2}}{\sqrt{S}} & = & t\\ dx & = & \sqrt{S}\,dt \end{array} \right| \ =\ \frac{\sqrt{S}}{S^n}\int\frac{dt}{(1+t)^n}. \endaligned}

Ćwiczenie [Uzupelnij]

Obliczyć całkę $\int \frac{x^{5} + 4 x^{3} - x^{2} + 13 x - 3}{x^{4} + 2 x^{2} + 9} d x$

Wskazówka

Rozwiązanie

Ponieważ stopień mianownika nie jest większy od stopnia licznika, więc musimy najpierw wydzielić wielomiany w liczniku i mianowniku. Następnie dokonujemy rozkładu na ułamki proste. Było to już zrobione na wykładzie (patrz Przykład Uzupelnic p.new.am1.w.13.0200|). Mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \frac{x^5+4x^3-x^2+13x-3}{x^4+2x^2+9} \ =\ x+ \frac{x}{x^2+2x+3}+\frac{x-1}{x^2-2x+3}. }

Zatem nasza całka wynosi

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \int\frac{x^5+4x^3-x^2+13x-3}{x^4+2x^2+9}\,dx \ =\ \int x\,dx + \underbrace{\int \frac{x}{x^2+2x+3}\,dx}_{=K_1} + \underbrace{\int\frac{x-1}{x^2-2x+3}\,dx}_{=K_2} }

Policzmy każdą z całek osobno według metody opisanej z Zadaniu Uzupelnic z.am1.c.14.030|.

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle K_1 \ =\ \underbrace{\frac{1}{2}\int\frac{2x+2}{x^2+2x+3}\,dx}_{L_1} -\underbrace{\int\frac{1}{x^2+2x+3}\,dx}_{L_2}. }

Teraz z kolei mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle L_1 \ =\ \frac{1}{2}\ln\big(x^2+2x+3\big)+c_1 }

oraz

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned L_2 & = & \int\frac{1}{(x+1)^2+2}\,dx \ =\ \frac{1}{2}\int\frac{1}{\displaystyle\bigg(\frac{x+1}{\sqrt{2}}\bigg)^2+1}\,dx \ =\ \left| \begin{array} {lll} \displaystyle \frac{x+1}{\sqrt{2}} & = & t\\ \,dx & = & \sqrt{2}\,dt \end{array} \right|\\ & = & \frac{\sqrt{2}}{2}\int\frac{dt}{t^2+1} \ =\ \frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{arctg}\,\frac{x+1}{\sqrt{2}}+c_2, \endaligned}

zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle K_1 \ =\ \ln\big(x^2+2x+3\big) + \frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{arctg}\,\frac{x+1}{\sqrt{2}}+c_3. }

Przechodząc do drugiej z całek, mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle K_2 \ =\ \int\frac{x-1}{x^2-2x+3}\,dx \ =\ \frac{1}{2}\int\frac{2x-2}{x^2-2x+3}\,dx \ =\ \frac{1}{2}\ln\big(x^2-2x+3\big)+c_4 }

Ostatecznie dostajemy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \int\frac{x^5+4x^3-x^2+13x-3}{x^4+2x^2+9}\,dx \ =\ \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}\ln\big(x^2+2x+3\big) - \frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{arctg}\,\frac{x+1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2}\ln\big(x^2-2x+3\big)+c_5. }

Ćwiczenie [Uzupelnij]

Obliczyć całki:
(1) $\int \frac{1 + 4 x}{\sqrt{4 x^{2} + x}} d x$
(2) $\int \sqrt{1 + 4 x^{2}} d x$

Wskazówka

Rozwiązanie

(1) Z metody współczynników nieoznaczonych wiemy, że całka nieoznaczona jest postaci:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \int\frac{1+4x}{\sqrt{4x^2+x}}\,dx \ =\ a\sqrt{4x^2+x} +k \int\frac{dx}{\sqrt{4x^2+x}}. }

Aby wyznaczyć $a$ i $k,$ różniczkujemy stronami i dostajemy:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \frac{1+4x}{\sqrt{4x^2+x}} \ =\ \frac{a(8x+1)}{2\sqrt{4x^2+x}} +\frac{k}{\sqrt{4x^2+x}}, }

a mnożąc stronami przez $\sqrt{4 x^{2} + x},$ dostajemy:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle 1+4x \ =\ 4ax+\frac{1}{2}a+k, }

stąd $a = 1$ i $k = \frac{1}{2} .$ Ponadto obliczamy całkę

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned\int\frac{dx}{\sqrt{4x^2+x}} & = & \int\frac{dx}{\sqrt{(2x+\frac{1}{4})^2-\frac{1}{16}}} \ =\ \left| \begin{array} {rcl} 2x+\frac{1}{4} & = & t \\ \,dx & = & \frac{1}{2}\,dt \end{array} \right| \ =\ \frac{1}{2}\int\frac{dt}{\sqrt{t^2-\frac{1}{16}}}\\ & = & \frac{1}{2} \ln\left|t+\sqrt{t^2-\frac{1}{16}}\right|+c \ =\ \frac{1}{2} \ln\left|2x+\frac{1}{4}+\sqrt{4x^2+x}\right|+c. \endaligned}

(2) Ponieważ

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \int\sqrt{1+4x^2}\,dx \ =\ \int\frac{1+4x^2}{\sqrt{1+4x^2}}\,dx, }

więc możemy policzyć ostatnią całkę metodą współczynników nieoznaczonych. Wiemy, że całka nieoznaczona jest postaci:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \int\frac{1+4x^2}{\sqrt{1+4x^2}}\,dx \ =\ (ax+b)\sqrt{1+4x^2} +k \int\frac{dx}{\sqrt{1+4x^2}}. }

Aby wyznaczyć $a, b$ i $k,$ różniczkujemy stronami i dostajemy:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \frac{1+4x^2}{\sqrt{1+4x^2}} \ =\ a\sqrt{1+4x^2} +\frac{(ax+b)\cdot 8x}{2\sqrt{1+4x^2}} +\frac{k}{\sqrt{1+4x^2}}, }

a mnożąc stronami przez $\sqrt{1 + 4 x^{2}},$ dostajemy:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle 1+4x^2 \ =\ a(1+4x^2) +4ax^2+4bx+k, }

stąd $a = \frac{1}{2}, b = 0$ i $k = \frac{1}{2} .$ Ponadto obliczamy całkę

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned\int\frac{dx}{\sqrt{1+4x^2}} & = & \left| \begin{array} {rcl} 2x & = & t \\ \,dx & = & \frac{1}{2}\,dt \end{array} \right| \ =\ \frac{1}{2}\int\frac{dt}{\sqrt{t^2+1}}\\ & = & \frac{1}{2} \ln\left|t+\sqrt{t^2+1}\right|+c \ =\ \frac{1}{2} \ln\left|2x+\sqrt{1+4x^2}\right|+c. \endaligned}

Analiza matematyczna 1/Ćwiczenia 13: Całka nieoznaczona

13. Całka nieoznaczona

Menu nawigacyjne

Działania na stronie

Opcje strony

Narzędzia osobiste

Nawigacja

Szukaj

Narzędzia