Analiza matematyczna 1/Wykład 10: Wzór Taylora. Ekstrema
10. Wzór Taylora. Ekstrema
Definiujemy pochodne wyższych rzędów oraz funkcje klasy . Twierdzenie Taylora pozwala nam na sformułowanie warunku wystarczającego istnienia ekstremum funkcji klasy . Pokazujemy jak można za pomocą wielomianów Taylora przybliżać funkcje klasy , . Formułujemy twierdzenie Weierstrassa o przybliżaniu wielomianami funkcji ciągłych na przedziale domkniętym.
10.1. Pochodne wyższych rzędów
Niech będzie funkcją różniczkowalną w przedziale otwartym
. Rozważmy funkcję pochodną
Definicja 10.1.
Jeśli funkcja jest różniczkowalna w punkcie , to znaczy: jeśli istnieje granica ilorazu różnicowego:
jest dwukrotnie różniczkowalna w punkcie a granicę tę nazywamy pochodną rzędu drugiego (lub krótko: drugą pochodną) funkcji w punkcie i oznaczamy symbolem lub albo , bądź też .
Przykład 10.2.
Znanym ze szkoły przykładem pochodnej rzędu drugiego jest przyśpieszenie, równe pochodnej prędkości :
gdzie oznacza położenie punktu materialnego w chwili .
Definicję pochodnej rzędu możemy podać dla kolejnych liczb naturalnych . Często -- aby uprościć wypowiedzi twierdzeń -- terminem pochodna rzędu zerowego (albo krócej: zerowa pochodna) funkcji będziemy nazywać samą funkcję . Symbol pochodnej rzędu zerowego będzie oznaczać funkcję .
Niech będzie funkcją krotnie różniczkowalną, .
Definicja 10.3.
Jeśli pochodna rzędu funkcji jest różniczkowalna w punkcie , to znaczy: jeśli istnieje granica ilorazu różnicowego:
mówimy, że funkcja jest krotnie różniczkowalna w punkcie , a granicę tę nazywamy pochodną rzędu (lub krótko: -tą pochodną) funkcji w punkcie i oznaczamy symbolem lub , bądź .
Jeśli , na oznaczenie pochodnej rzędu funkcji w punkcie używamy raczej symboli:
albo
niż Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle f'''(x_0), \ f''''(x_0), \dots.}
Kolejne twierdzenie stanowi uogólnienie twierdzenia o pochodnej iloczynu dwóch funkcji na przypadek pochodnej rzędu .
Twierdzenie 10.4.
(wzór Leibniza) Niech będą funkcjami krotnie różniczkowalnymi, . Zachodzi równość
Dowód twierdzenia 10.4.
Zwróćmy przede wszystkim uwagę na podobieństwo wzoru Leibniza do wzoru dwumianowego Newtona. Dowody obu twierdzeń są analogiczne. Zauważmy wpierw, że twierdzenie zachodzi dla mamy bowiem . Następnie, korzystając z równości , pokazujemy, że dla dowolnej liczby zachodzi implikacja

{black}
Niech będzie liczbą całkowitą nieujemną.
Definicja 10.5.
Mówimy, że funkcja jest klasy w przedziale , jeśli jest krotnie różniczkowalna w przedziale i pochodna rzędu funkcji jest ciągła. Jeśli dla dowolnej liczby funkcja jest klasy w przedziale , to mówimy, że jest klasy
w tym przedziale.Przykład 10.6.
Dowolna funkcja wielomianowa, funkcje sinus, cosinus i wykładnicza są przykładami funkcji klasy w całym zbiorze liczb rzeczywistych. Ogólnie: dowolna funkcja dana za pomocą szeregu potęgowego jest klasy w przedziale otwartym , gdzie jest promieniem
zbieżności szeregu potęgowego.Przykład 10.7.
Funkcja jest ciągła, ale nie ma ciągłej pochodnej w dowolnym przedziale , do którego należy zero, tj. gdy . Jest więc klasy i nie jest klasy w takim przedziale. Jeśli zero nie należy do przedziału , czyli gdy lub , to restrykcja do przedziału jest wielomianem, czyli funkcją
klasy .{{red}Rysunek am1w10.0010}
{{przyklad|10.8.||
Funkcja
jest różniczkowalna i jej pochodna
. Stąd jeśli , to jest klasy w przedziale , ale nie jest klasy .
{{red}Rysunek am1w10.0020}
Przykład ten możemy łatwo dalej modyfikować. Na przykład funkcja
ma
pierwszą pochodną równą , a jej drugą pochodną jest . Funkcja jest więc klasy , ale nie jest klasy w dowolnym przedziale otwartym zawierającym zero. Ogólnie
(gdzie
, bądź też jest dowolną inną stałą różną od zera) jest funkcją klasy
i nie jest klasy
w dowolnym przedziale otwartym zawierającym zero. }}
{{red}Rysunek animacja am1w10.0030}
10.3. Wzór Taylora
Niech będzie wielomianem. Zauważmy, że wartości pochodnych rzędu w punkcie wyrażają się prosto za pomocą współczynników tego wielomianu:
Każda
następna pochodna rzędu wyższego niż stopień wielomianu jest równa zeru, i to nie tylko w punkcie zero, ale w każdym punkcie .
Uogólnieniem tej obserwacji jest następujące twierdzenie Taylora:
Twierdzenie 10.9.
Niech będzie funkcją krotnie różniczkowalną w przedziale . Wówczas dla dowolnych punktów , takich, że istnieje punkt taki, że
gdzie
Definicja 10.10.
nazywamy wielomianem Taylora rzędu funkcji o środku w punkcie .
Nim wykażemy twierdzenie Taylora zauważmy, że z założenia o istnieniu pochodnej rzędu funkcji w przedziale wynika, że funkcja i wszystkie jej pochodne Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle f', \ f'', \ f^{(3)}, \dots, f^{(n-1)}, f^{(n)}} aż do rzędu włącznie, istnieją i są ciągłe w tym przedziale.
Zauważmy też, że w przypadku twierdzenie Taylora sprowadza się do twierdzenia Lagrange'a:
Dowód twierdzenia 10.10.
(twierdzenia Taylora) Niech będzie stałą określoną tak,
że zachodzi równośćdowieść twierdzenia wystarczy pokazać, że istnieje punkt taki, że . Rozważmy dla funkcję
Zauważmy, że i z określenia stałej mamy również: . Z twierdzenia Rolle'a wynika więc, że istnieje taki, że . Zauważmy następnie, że nie tylko funkcja ale również kolejne jej pochodne dla zerują się w punkcie . Wobec tego, że i , z twierdzenia Rolle'a wnioskujemy o istnieniu kolejnego punktu , w którym zeruje się druga pochodna funkcji , tj. . Powtarzając rozumowanie dla kolejnych pochodnych , na podstawie twierdzenia Rolle'a wnioskujemy o istnieniu punktów takich, że . Zwróćmy uwagę, że ostatni ze znalezionych punktów jest tym punktem, którego istnienie postulujemy w tezie twierdzenia. Zauważmy, że pochodna rzędu funkcji wynosi
(Pochodna rzędu wielomianu jest w każdym punkcie równa zeru, gdyż wielomian ten jest stopnia co najwyżej .) Stąd .

{black}
Jednym z ważniejszych wniosków z wykazanego twierdzenia jest warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji dwukrotnie różniczkowalnej.
Twierdzenie 10.11.
Niech będzie funkcją klasy w przedziale (czyli funkcją dwukrotnie różniczkowalną o ciągłej drugiej pochodnej w przedziale ). Załóżmy, że w punkcie pochodna zeruje się.
a) Jeśli , to osiąga minimum lokalne w punkcie .
b) Jeśli , to osiąga maksimum lokalne w punkcie .
Dowód twierdzenia 10.11.
a) Załóżmy, że . Ze wzoru Taylora i z założenia o zerowaniu się pierwszej pochodnej danej funkcji mamy
jest pewną liczbą z przedziału . Stąd znak różnicy jest taki sam jak znak drugiej pochodnej w pewnym punkcie pośrednim między punktem a . Z założenia o ciągłości drugiej pochodnej na mocy własności Darboux wnioskujemy, że nie tylko w samym punkcie druga pochodna jest dodatnia, ale również w pewnym otoczeniu tego punktu. Biorąc więc na tyle mały przyrost , aby zarówno jak i należały do przedziału, w którym jest dodatnia i nie zeruje się, otrzymamy nierówność również w punkcie pośrednim. Stąd osiąga minimum lokalne w punkcie , gdyż w pewnym otoczeniu punktu .
Dowód implikacji b) przebiega podobnie.
{black}
Zauważmy, że podane twierdzenie nie rozstrzyga o istnieniu, ani o typie ekstremum w przypadku, gdy oraz .
{{red}Rysunek am1w10.0035 a, b, c}
Przykład 10.12.
Rozważmy funkcje , , . Łatwo zauważyć, że zarówno pierwsza jak i druga pochodna każdej z tych trzech funkcji w punkcie zerują się, podczas gdy osiąga maksimum w tym punkcie a minimum. Natomiast funkcja w ogóle nie
osiąga ekstremum w punkcie .Wzór, który występuje w tezie twierdzenia Taylora:
oznaczymy przyrost argument funkcji przez , to wzór ten przyjmie postać
dla pewnej liczby dobranej tak, aby . Tę postać nazywamy wzorem Taylora z resztą
Cauchy'egowzór
Jeśli jest wielomianem stopnia , to dla dowolnej liczby wielomian Taylora rzędu o środku w punkcie jest dokładnie równy wielomianowi , to znaczy
Powstaje naturalne pytanie, czy dla innych funkcji (niekoniecznie wielomianów) wzór Taylora pozwala na przedstawienie funkcji za pomocą wielomianu Taylora tak, aby reszta była jak najmniejsza i zmierzała do zera, gdy rośnie , czyli gdy rośnie stopień wielomianu Taylora funkcji .
Odpowiedź na pytanie uzyskamy stosując np. wzór Taylora z resztą Cauchy'ego.
Twierdzenie 10.15.
Niech będzie funkcją krotnie różniczkowalną i niech
. Jeślifunkcji jest ograniczona przez stałą , która nie zależy od wyboru punktu z przedziału ), to dla dowolnej liczby takiej, że , zachodzi oszacowanie:
Dowód twierdzenia 10.15.
Szacując resztę we wzorze Taylora (z resztą Cauchy'ego) otrzymamy:

{black}
Wniosek 10.16.
Jeśli pochodna rzędu funkcji jest ograniczona w przedziale , to dla dowolnych punktów oraz z tego przedziału mamy oszacowanie
Dowód wniosku 10.16.
Jeśli , wniosek sprowadza się do poprzedniego twierdzenia. Jeśli , należy powtórzyć poprzednie rozumowanie
w przedziale .
Przykład 10.17.
Oszacowanie reszty we wzorze Maclaurina funkcji sinus jest wyjątkowo proste
pochodnych dowolnie wysokiego rzędu funkcji sinus jest ograniczona z góry przez 1. Wzór ten pozwala wyznaczyć wartość z zadaną z góry dokładnością. Na przykład, chcąc wyznaczyć z dokładnością do wystarczy wskazać taką liczbę , aby zachodziła nierówność , czyli . Na mocy wykazanego powyżej wniosku mamy oszacowania:
więc suma różni się (a dokładniej: jest większa) o nie więcej niż jedną dziesięciomilionową od .
{{red}Rysunek, animacja am1w10.0050}
Przykład [Uzupelnij]
Równie łatwo można oszacować resztę we wzorze Maclaurina funkcji cosinus
pochodnych dowolnie wysokiego rzędu funkcji cosinus jest
ograniczona z góry przez 1, więcPrzybliżanie funkcji ciągłych wielomianami
Powstaje naturalne pytanie, czy reszta we wzorze Maclaurina stanowi ciąg zbieżny do zera, jeśli funkcja jest klasy w przedziale zawierającym punkt ? Negatywna odpowiedź na to pytanie zawarta jest w kolejnym przykładzie.
{{red}Rysunek am1w10.0060 }
Przykład [Uzupelnij]
jest różniczkowalna w każdym punkcie . W szczególności
zerują się wszystkie pochodne w punkcie zero, tj.module) czyli wszystkie współczynniki wielomianu Taylora o środku w zerze są zerowe. Z twierdzenia Taylora mamy równość: . Zwróćmy uwagę, że dla dowolnej liczby funkcja przyjmuje wartość dodatnią, więc reszta nie stanowi ciągu
zbieżnego do zera.Twierdzenie Taylora nie jest optymalnym narzędziem do przybliżania dowolnych funkcji różniczkowalnych za pomocą wielomianów, gdyż -- jak pokazaliśmy w powyższym przykładzie -- istnieją funkcje klasy (czyli takie, które mają ciągłe pochodne dowolnie wysokiego rzędu), których nie da się w rozsądny sposób przybliżyć za pomocą wielomianów Taylora .
Prawdziwe jest jednak twierdzenie, które gwarantuje możliwość przybliżania funkcji ciągłych na przedziale domkniętym wielomianami.
Twierdzenie [Uzupelnij]
(twierdzenie Weierstrassa) Funkcję ciągłą na przedziale domkniętym można przybliżać jednostajnie za pomocą wielomianów, tzn. jeśli jest funkcją ciągłą, to istnieje ciąg wielomianów taki, że
Dowód tego ważnego twierdzenia wykracza poza ramy tego kursu. Można natomiast łatwo podać efektywną konstrukcję ciągu wielomianów, które przybliżają jednostajnie daną funkcję ciągłą na przedziale .
Definicja [Uzupelnij]
Niech będzie funkcją ciągłą. Dla dowolnej liczby całkowitej nieujemnej definiujemy wielomian Bernsteina rzędu funkcji wzorem
{{red}Rysunek, animacja am1w10.0070}
Podobieństwo wzoru definiującego wielomian Bernsteina do wzoru dwumianowego Newtona nie jest przypadkowe. Weźmy np. funkcję , stałą w przedziale . Wówczas na mocy wzoru Newtona
wielomian Bernsteina rzędu jest wielomianem stopnia nie wyższego niż . Można wykazać, że jeśli jest wielomianem stopnia nie wyższego niż , to dla dowolnej liczby . Przypomnijmy, że analogiczną własność mają również wielomiany Taylora (zob. uwaga Uzupelnic u.am1.10.120|).
Najciekawszą własność ciągu wielomianów Bernsteina podaje
Twierdzenie [Uzupelnij]
(twierdzenie Bernsteina) Jeśli jest dowolną funkcją ciągłą, to ciąg wielomianów Bernsteina zmierza do jednostajnie na przedziale , to znaczy
Krótki, szczegółowy dowód tego faktu przeprowadzony w oparciu o nierówność Czebyszewa (zob. wykład z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki) można znaleźć na przykład w podręczniku P.Billingsleya, Prawdopodobieństwo i miara, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1987, str. 91-92. Zwróćmy uwagę, że twierdzenie Weierstrassa zachodzi nawet dla funkcji klasy , tj. takich, od których nie wymagamy, aby były różniczkowalne w którymkolwiek punkcie. Przykład takiej funkcji, która jest tylko ciągła i nie jest różniczkowalna w żadnym punkcie, podaliśmy w poprzednim module.