Analiza matematyczna 1/Wykład 10: Wzór Taylora. Ekstrema

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Wzór Taylora. Ekstrema

Definiujemy pochodne wyższych rzędów oraz funkcje klasy . Twierdzenie Taylora pozwala nam na sformułowanie warunku wystarczającego istnienia ekstremum funkcji klasy . Pokazujemy, jak można za pomocą wielomianów Taylora przybliżać funkcje klasy , . Formułujemy twierdzenie Weierstrassa o przybliżaniu wielomianami funkcji ciągłych na przedziale domkniętym.

Pochodne wyższych rzędów

Niech będzie funkcją różniczkowalną w przedziale otwartym . Rozważmy funkcję pochodną

Definicja 10.1.

Jeśli funkcja jest różniczkowalna w punkcie , to znaczy, jeśli istnieje granica ilorazu różnicowego:

to mówimy, że funkcja jest dwukrotnie różniczkowalna w punkcie , a granicę tę nazywamy pochodną rzędu drugiego (lub krótko: drugą pochodną) funkcji w punkcie i oznaczamy symbolem lub albo , bądź też .

Przykład 10.2.

Znanym ze szkoły przykładem pochodnej rzędu drugiego jest przyśpieszenie, równe pochodnej prędkości :

gdzie oznacza położenie punktu materialnego w chwili .

Definicję pochodnej rzędu możemy podać dla kolejnych liczb naturalnych . Często - aby uprościć wypowiedzi twierdzeń - terminem pochodna rzędu zerowego (albo krócej: zerowa pochodna) funkcji będziemy nazywać samą funkcję . Symbol pochodnej rzędu zerowego będzie oznaczać funkcję .

Niech będzie funkcją krotnie różniczkowalną, .

Definicja 10.3.

Jeśli pochodna rzędu funkcji jest różniczkowalna w punkcie , to znaczy, jeśli istnieje granica ilorazu różnicowego:

to mówimy, że funkcja jest krotnie różniczkowalna w punkcie , a granicę tę nazywamy pochodną rzędu (lub krótko: -tą pochodną) funkcji w punkcie i oznaczamy symbolem lub , bądź .

Jeśli , na oznaczenie pochodnej rzędu funkcji w punkcie używamy raczej symboli:

albo

niż

Kolejne twierdzenie stanowi uogólnienie twierdzenia o pochodnej iloczynu dwóch funkcji na przypadek pochodnej rzędu .

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)
Zobacz biografię

Twierdzenie 10.4. [wzór Leibniza]

Niech będą funkcjami krotnie różniczkowalnymi, . Zachodzi równość

Dowód 10.4.

Zwróćmy przede wszystkim uwagę na podobieństwo wzoru Leibniza do wzoru dwumianowego Newtona. Dowody obu twierdzeń są analogiczne. Zauważmy wpierw, że twierdzenie zachodzi dla mamy bowiem . Następnie, korzystając z równości , pokazujemy, że dla dowolnej liczby zachodzi implikacja

End of proof.gif

Niech będzie liczbą całkowitą nieujemną.

Definicja 10.5.

Mówimy, że funkcja jest klasy w przedziale , jeśli jest krotnie różniczkowalna w przedziale i pochodna rzędu funkcji jest ciągła. Jeśli dla dowolnej liczby funkcja jest klasy w przedziale , to mówimy, że jest klasy w tym przedziale.

Przykład 10.6.

Dowolna funkcja wielomianowa, funkcje sinus, cosinus i wykładnicza są przykładami funkcji klasy w całym zbiorze liczb rzeczywistych. Ogólnie: dowolna funkcja dana za pomocą szeregu potęgowego jest klasy w

przedziale otwartym , gdzie jest promieniem zbieżności szeregu potęgowego.

Przykład 10.7.

Funkcja jest ciągła, ale nie ma ciągłej pochodnej w dowolnym przedziale , do którego należy zero, tj. gdy . Jest więc klasy i nie jest klasy w takim przedziale. Jeśli zero nie należy do przedziału , czyli gdy lub , to restrykcja do przedziału jest wielomianem, czyli funkcją klasy .

<flash>file=am1m10.0010.swf|width=375|height=360</flash>

<div.thumbcaption>Rysunek do przykładu 10.8.

<flash>file=am1m10.0020.swf|width=375|height=360</flash>

<div.thumbcaption>Rysunek do przykładu 10.8.
Plik:Am1m10.0030.mp4
Rysunek do przykładu 10.8.

Przykład 10.8.

Funkcja



jest różniczkowalna i jej pochodna . Stąd jeśli , to jest klasy w przedziale , ale nie jest klasy .

Przykład ten możemy łatwo dalej modyfikować. Na przykład funkcja



ma pierwszą pochodną równą , a jej drugą pochodną jest . Funkcja jest więc klasy , ale nie jest klasy w dowolnym przedziale otwartym zawierającym zero. Ogólnie

(gdzie , bądź też jest dowolną inną stałą różną od zera) jest funkcją klasy i nie jest klasy w dowolnym przedziale otwartym zawierającym zero.

Wzór Taylora

Niech będzie wielomianem. Zauważmy, że wartości pochodnych rzędu w punkcie wyrażają się prosto za pomocą współczynników tego wielomianu:

Każda następna pochodna rzędu wyższego niż stopień wielomianu jest równa zeru, i to nie tylko w punkcie zero, ale w każdym punkcie .

Uogólnieniem tej obserwacji jest następujące twierdzenie Taylora:

Twierdzenie 10.9.

Niech będzie funkcją krotnie różniczkowalną w przedziale . Wówczas dla dowolnych punktów , takich, że istnieje punkt taki, że

gdzie

Definicja 10.10.

Wielomian

nazywamy wielomianem Taylora rzędu funkcji o środku w punkcie .

Nim wykażemy twierdzenie Taylora, zauważmy, że z założenia o istnieniu pochodnej rzędu funkcji w przedziale wynika, że funkcja i wszystkie jej pochodne aż do rzędu włącznie, istnieją i są ciągłe w tym przedziale.

Zauważmy też, że w przypadku twierdzenie Taylora sprowadza się do twierdzenia Lagrange'a:

Dowód 10.9.

(twierdzenia Taylora) Niech będzie stałą określoną tak, że zachodzi równość

Aby dowieść twierdzenia, wystarczy pokazać, że istnieje punkt taki, że . Rozważmy dla funkcję

Zauważmy, że i z określenia stałej mamy również: . Z twierdzenia Rolle'a wynika więc, że istnieje taki, że . Zauważmy następnie, że nie tylko funkcja , ale również kolejne jej pochodne dla zerują się w punkcie . Wobec tego, że i , z twierdzenia Rolle'a, wnioskujemy o istnieniu kolejnego punktu , w którym zeruje się druga pochodna funkcji , tj. . Powtarzając rozumowanie dla kolejnych pochodnych , na podstawie twierdzenia Rolle'a wnioskujemy o istnieniu punktów takich, że . Zwróćmy uwagę, iż ostatni ze znalezionych punktów jest tym punktem, którego istnienie postulujemy w tezie twierdzenia. Zauważmy, że pochodna rzędu funkcji wynosi

(Pochodna rzędu wielomianu jest w każdym punkcie równa zeru, gdyż wielomian ten jest stopnia co najwyżej .) Stąd .

End of proof.gif

Jednym z ważniejszych wniosków z wykazanego twierdzenia jest warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji dwukrotnie różniczkowalnej.

Plik:Am1m10.0035a.mp4
Rysunek do przykładu 10.12.

Twierdzenie 10.11.

Niech będzie funkcją klasy w przedziale (czyli funkcją dwukrotnie różniczkowalną o ciągłej drugiej pochodnej w przedziale ). Załóżmy, że w punkcie pochodna zeruje się.

a) Jeśli , to osiąga minimum lokalne w punkcie .

b) Jeśli , to osiąga maksimum lokalne w punkcie .

Dowód 10.11.

a) Załóżmy, że . Ze wzoru Taylora i z założenia o zerowaniu się pierwszej pochodnej danej funkcji mamy



gdzie jest pewną liczbą z przedziału . Stąd znak różnicy jest taki sam jak znak drugiej pochodnej w pewnym punkcie pośrednim między punktem a . Z założenia o ciągłości drugiej pochodnej na mocy własności Darboux wnioskujemy, że nie tylko w samym punkcie druga pochodna jest dodatnia, ale również w pewnym otoczeniu tego punktu. Biorąc więc na tyle mały przyrost , aby zarówno jak i należały do przedziału, w którym jest dodatnia i nie zeruje się, otrzymamy nierówność również w punkcie pośrednim. Stąd osiąga minimum lokalne w punkcie , gdyż w pewnym otoczeniu punktu .

Dowód implikacji b) przebiega podobnie.

End of proof.gif

Zauważmy, że podane twierdzenie nie rozstrzyga o istnieniu ani o typie ekstremum w przypadku, gdy oraz .


<flash>file=am1m10.0035b.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Rysunek do przykładu 10.12.

<flash>file=am1m10.0035c.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Rysunek do przykładu 10.12.


Przykład 10.12.

Rozważmy funkcje , , . Łatwo zauważyć, że zarówno pierwsza jak i druga pochodna każdej z tych trzech funkcji w punkcie zerują się, podczas gdy osiąga maksimum w tym punkcie, a minimum. Natomiast funkcja w ogóle nie osiąga ekstremum w punkcie .
Uwaga 10.13.

Wzór, który występuje w tezie twierdzenia Taylora:

nazywamy wzorem Taylora z resztą Lagrange'a
Jeśli oznaczymy przyrost argument funkcji przez , to wzór ten przyjmie postać

dla pewnej liczby dobranej tak, aby . Tę postać nazywamy wzorem Taylora z resztą Cauchy'ego

Augustin Louis Cauchy (1789-1857)
Zobacz biografię
Colin Maclaurin (1698-1746)
Zobacz biografię
W szczególnym przypadku, gdy otrzymamy wzór

który nazywamy wzorem Maclaurina z resztą

Uwaga 10.14.

Jeśli jest wielomianem stopnia , to dla dowolnej liczby wielomian Taylora rzędu o środku w punkcie jest dokładnie równy wielomianowi , to znaczy

  przy czym  

Powstaje naturalne pytanie, czy dla innych funkcji (niekoniecznie wielomianów) wzór Taylora pozwala na przedstawienie funkcji za pomocą wielomianu Taylora tak, aby reszta była jak najmniejsza i zmierzała do zera, gdy rośnie , czyli gdy rośnie stopień wielomianu Taylora funkcji .

Odpowiedź na pytanie uzyskamy, stosując np. wzór Taylora z resztą Cauchy'ego.

Twierdzenie 10.15.

Niech będzie funkcją krotnie różniczkowalną i niech . Jeśli







(czyli wartość bezwzględna pochodnej rzędu funkcji jest ograniczona przez stałą , która nie zależy od wyboru punktu z przedziału ), to dla dowolnej liczby takiej, że , zachodzi oszacowanie:

Dowód 10.15.

Szacując resztę we wzorze Taylora (z resztą Cauchy'ego), otrzymamy:

End of proof.gif

Wniosek 10.16.

Jeśli pochodna rzędu funkcji jest ograniczona w przedziale , to dla dowolnych punktów oraz z tego przedziału mamy oszacowanie



gdzie .

Dowód 10.16.

Jeśli , wniosek sprowadza się do poprzedniego twierdzenia. Jeśli , należy powtórzyć poprzednie rozumowanie

w przedziale . End of proof.gif

<flash>file=am1m10.0050.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Rysunek do przykładu 10.18.

<flash>file=am1m10.0040.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Rysunek do przykładu 10.17.

Przykład 10.17.

Oszacowanie reszty we wzorze Maclaurina funkcji sinus jest wyjątkowo proste

gdzie

gdyż wartość bezwzględna pochodnych dowolnie wysokiego rzędu funkcji sinus jest ograniczona z góry przez 1. Wzór ten pozwala wyznaczyć wartość z zadaną z góry dokładnością. Na przykład, chcąc wyznaczyć z dokładnością do , wystarczy wskazać taką liczbę , aby zachodziła nierówność , czyli . Na mocy wykazanego powyżej wniosku mamy oszacowania:

natomiast

a więc suma różni się (a dokładniej: jest większa) o nie więcej niż jedną dziesięciomilionową od .


Przykład 10.18.

Równie łatwo można oszacować resztę we wzorze Maclaurina funkcji cosinus

gdyż wartość bezwzględna pochodnych dowolnie wysokiego rzędu funkcji cosinus jest ograniczona z góry przez 1, więc

Przybliżanie funkcji ciągłych wielomianami

Plik:Am1m10.0060.mp4
Rysunek do przykładu 10.19.

Powstaje naturalne pytanie, czy reszta we wzorze Maclaurina stanowi ciąg zbieżny do zera, jeśli funkcja jest klasy w przedziale zawierającym punkt ? Negatywna odpowiedź na to pytanie zawarta jest w kolejnym przykładzie.


Przykład 10.19.

Funkcja



jest różniczkowalna w każdym punkcie . W szczególności zerują się wszystkie pochodne w punkcie zero, tj.



(fakt ten wykażemy w kolejnym module), czyli wszystkie współczynniki wielomianu Taylora o środku w zerze są zerowe. Z twierdzenia Taylora mamy równość: . Zwróćmy uwagę, że dla dowolnej liczby funkcja przyjmuje wartość dodatnią, więc reszta nie stanowi ciągu zbieżnego do zera.

Twierdzenie Taylora nie jest optymalnym narzędziem do przybliżania dowolnych funkcji różniczkowalnych za pomocą wielomianów, gdyż - jak pokazaliśmy w powyższym przykładzie - istnieją funkcje klasy (czyli takie, które mają ciągłe pochodne dowolnie wysokiego rzędu), których nie da się w rozsądny sposób przybliżyć za pomocą wielomianów Taylora .

Prawdziwe jest jednak twierdzenie, które gwarantuje możliwość przybliżania funkcji ciągłych na przedziale domkniętym wielomianami.

Karl Weierstrass (1815-1897)
Zobacz biografię

Twierdzenie 10.20. [twierdzenie Weierstrassa]

Funkcję ciągłą na przedziale domkniętym można przybliżać jednostajnie za pomocą wielomianów, tzn. jeśli jest funkcją ciągłą, to istnieje ciąg wielomianów taki, że

Dowód tego ważnego twierdzenia wykracza poza ramy tego kursu. Można natomiast łatwo podać efektywną konstrukcję ciągu wielomianów, które przybliżają jednostajnie daną funkcję ciągłą na przedziale .

Plik:Am1m10.0070.mp4
Wielomian Bersteina

Definicja 10.21.

Niech będzie funkcją ciągłą. Dla dowolnej liczby całkowitej nieujemnej definiujemy wielomian Bernsteina rzędu funkcji wzorem

Uwaga 10.22.

Podobieństwo wzoru definiującego wielomian Bernsteina do wzoru dwumianowego Newtona nie jest przypadkowe. Weźmy np. funkcję , stałą w przedziale . Wówczas na mocy wzoru Newtona

Zauważmy, że wielomian Bernsteina rzędu jest wielomianem stopnia nie wyższego niż . Można wykazać, że jeśli jest wielomianem stopnia nie wyższego niż , to dla dowolnej liczby . Przypomnijmy, że analogiczną własność mają również wielomiany Taylora (zob. uwaga 10.14.).

Najciekawszą własność ciągu wielomianów Bernsteina podaje

Twierdzenie 10.23. [twierdzenie Bernsteina]

Jeśli jest dowolną funkcją ciągłą, to ciąg wielomianów Bernsteina zmierza do jednostajnie na przedziale , to znaczy

Krótki, szczegółowy dowód tego faktu przeprowadzony w oparciu o nierówność Czebyszewa (zob. wykład z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki) można znaleźć na przykład w podręczniku P.Billingsleya, Prawdopodobieństwo i miara, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1987, str. 91-92. Zwróćmy uwagę, że twierdzenie Weierstrassa zachodzi nawet dla funkcji klasy , tj. takich, od których nie wymagamy, aby były różniczkowalne w którymkolwiek punkcie. Przykład takiej funkcji, która jest tylko ciągła i nie jest różniczkowalna w żadnym punkcie, podaliśmy w poprzednim module.