SW wykład 9 - Slajd5
Dziedziny podstawowe Suma i produkt Suma spłaszczona i produkt spłaszczony Przestrzeń funkcji ciągłych Izomorfizm dziedzin Konstruowanie funkcji ciągłych Złożenie funkcji i indeksowanie Inne konstrukcje Operator punktu stałego Równania stałopunktowe Równania dziedzinowe Rekurencyjne równania dziedzinowe Rekurencyjne równania dziedzinowe Problemy Dziedziny refleksywne Rozwiązanie naiwne dziedziny Scotta
Zwróćmy jeszcze uwagę, że nawet niektóre z powyższych konstrukcji nie były definiowane naprawdę jednoznacznie, a z dokładnością do "prawdziwej natury" dokładanych niekiedy nowych elementów. Jak zwykle, najłatwiej to sformalizować wprowadzając odpowiednie pojęcie izomorfizmu zbiorów łańcuchowo zupełnych. Dwa zbiory łańcuchowo zupełne nazwiemy izomorficznymi, gdy istnieją między nimi wzajemnie odwrotne funkcje, które zachowują porządek. Równoważnie: gdy istnieje między nimi bijekcja, która zachowuje i odbija porządek. Wynika już z tego, że bijekcja ta zachowuje (i odbija) element najmniejszy oraz zachowuje (i odbija) kresy przeliczalnych łańcuchów (nawet więcej: wszystkie kresy, które w tych rozważanych zbiorach łańcuchowo zupełnych istnieją).
Izomorficzne zbiory łańcuchowo zupełne można dla naszych celów utożsamiać --- zatem tak naprawdę, dziedziny semantyczne będziemy zawsze rozważać i definiować z dokładnością do ich izomorfizmu, nie przejmując się na przykład tym, jak dokładnie urozłączniamy zbiory konstruując ich sumę rozłączną, czy jaki dokładnie najmniejszy element dodajemy do danego zbioru.
Często pozwoli to nam na przykład na ograniczenie niezbędnych w konstrukcjach dziedzin semantycznych zbiorów bazowych. Na przykład, (podniesiony o element najmniejszy) zbiór wartości logicznych to, z dokładnością do izomorfizmu, suma spłaszczona dwóch (podniesionych o element najmniejszy) zbiorów jednoelementowych. Można też, choć w nieco bardziej skomplikowany sposób (wykorzystując rekurencyjne definicje dziedzin semantycznych, patrz poniżej) zdefiniować (podniesiony o element najmniejszy) płaski zbiór liczb naturalnych. I tak dalej.
Kluczowy też jest izomorfizm, który uzasadnia fakt, że podając konstrukcje zbiorów łańcuchowo zupełnych mówiliśmy tylko o zbiorze funkcji całkowitych ze zbioru w zbiór łańcuchowo zupełny, a pominęliśmy tak ważne w dotychczasowych motywacjach funkcje częściowe. Izomorfizm ten utożsamia funkcje częściowe z jednego zbioru w drugi z funkcjami całkowitymi w ten drugi zbiór z dodanym elementem najmniejszym. Nieokreśloność funkcji częściowej na jakimś argumencie reprezentowana jest przez przypisanie temu argumentu dodanego elementu najmniejszego ("nieokreślonego"). Łatwo się przekonać, że taka dopowiedniość to w istocie izomorfizm łańcuchowo zupełnego zbioru funkcji częściowych uporządkowanych przez inkluzję grafów funkcji i łańcuchowo zupełnego zbioru funkcji całkowitych w zbiór z dodanym elementem najmniejszym, uporządkowanych zgodnie z definicją porządku na funkcjach w zbiór łańcuchowo zupełny. Pozwala nam to niejako "zapomnieć" o funkcjach częściowych, reprezentując je adekwatnie (z dokładnością do izomorfizmu) jako funkcje, które mogą przyjmować dodatkowy element "nieokreślony" jako swoją wartość.
