CWGI Ćwiczenie 1

Ćwiczenia 1. Bryły i przekroje w rzucie aksonometrycznym Zadanie1.1. Narysować rurę stożkową o danych wymiarach w układzie dimetrii kawalerskiej Układ dimetrii kawalerskiej pozwala przedstawiać elementy płaskie, bez zniekształceń, znajdujące się w płaszczyźnie $0yz$. Przekrojem poprzecznym rury będą okręgi. Należy, zatem przyjąć takie usytuowanie rury w układzie dimetrii kawalerskiej, aby oś rury pokrywała się z kierunkiem osi x (przekrój poprzeczny rury będzie wówczas znajdował się na rzucie $0yz$. Rozpoczynając rysowanie dokonujemy analizy skrótów aksonometrycznych w poszczególnych osiach. W kierunku osi $x$ skrót aksonometryczny wynosi 1:2, a więc wymiary rury w tym kierunku będą zmniejszone o połowę. Mając takie informacje można rozpocząć konstruowanie rury. Dla pokazania przelotowości rury i jej wnętrza wyznaczamy widok z wycięta ćwiartka na całej długości (rys.C1.1).

---

Zadanie1.2. Narysować czworościan foremny o danym boku a, w układzie dimetrii kawalerskiej Czworościan foremny jest bryłą, której wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi (przyjmujemy wielkość boku a = 50 mm). Na rysunku C1.2. przedstawiono, po prawej stronie, trójkąt ABC, który jest podstawą tego czworościanu. Wyznaczając wysokości trójkąta, można wyznaczyć spodek wysokości czworościanu, a następnie budując trójkąt prostokątny w oparciu o znaną przyprostokątną (2/3 wysokości trójkąta - $AS$) oraz przeciwprostokątną $AW$ - krawędź $a$ czworościanu) otrzymamy wszystkie jego wielkości geometryczne, niezbędne do budowy bryły w układzie aksonometrycznym, a w szczególności wysokość $h$ czworościanu będącą rzeczywista wielkością odcinka $SW$. Rozwiązanie zadania rozpoczynamy od wykreślenia układu aksonometrycznego - perspektywy kawalerskiej. Przypominając, w osiach $y$ i $z$, skrót aksonometryczny wynosi 1:1, natomiast w osi $x$ wynosi 1:2. Podstawę czworościanu wykreślimy przyjmując w niezmienionej wielkości wysokość $AD$ podstawy i umieszczając ją równolegle do osi $y$, przyjmując w pierwszej kolejności spodek wysokości $S$ w dowolnym punkcie na osi $y$. Bok $BC$, prostopadły do wysokości $AD$, przyjmie kierunek osi $x$. Wielkość boku $BC$ będzie oczywiście o połowę mniejsza od rzeczywistej, ponieważ skrót aksonometryczny w kierunku tej osi wynosi 1:2. Ze spodka wysokości w niezmienionej wielkości wykreślamy wysokość czworościanu, wyznaczając wierzchołek $W$ czworościanu. Łącząc wierzchołek $W$ czworościanu z wierzchołkami $A,B,C$ wyznaczymy zarys bryły. Na zakończenie należy uwzględnić widoczność krawędzi obserwując bryłę z kierunku prostopadłego do płaszczyzny określonej osiami $y,z$. Krawędzie widoczne rysuje się linią grubą ciągłą, krawędzie niewidoczne linią

---

Zadanie1.3. Narysować sześcian o danym boku w dowolnym rzucie aksonometrycznym. Wyznaczyć przekrój sześcianu płaszczyzna określona przez trzy punkty $(P,Q,R)$, leżące na ścianach bocznych sześcianu Korzystając z niezmienników rzutowania równoległego i twierdzenia o punkcie wspólnym trójki płaszczyzn, rysujemy rzut sześcianu o boku $a=30mm$ w układzie perspektywy kawalerskiej. Obieramy dowolną trójkę punktów $P,Q,R,$ leżących na jego ścianach bocznych (rys.C1.3a). Zadanie rozwiążemy wykorzystując twierdzenie "o punkcie wspólnym trójki płaszczyzn". W tym celu przyjmijmy symboliczny opis trzech wybranych płaszczyzn, z których jedna jest płaszczyzną $\alpha (PQR)$, krojącą poszczególne ściany sześcianu. Dla ściślejszego zdefiniowania poszczególnych punktów $PQR$, w założeniach podano rzuty prostopadłe tych punktów na płaszczyznę podstawy $ABCD$, którą opiszemy symbolicznie literą $\beta$. Jako trzecią z płaszczyzn, biorących udział w konstrukcji przyjmijmy ścianę $BCFG$ jako $\gamma$. Zadaniem naszym jest wyznaczenie krawędzi przecięcia się płaszczyzny $\alpha (PQR)$ ze ścianami sześcianu.

---

Krawędzie poszczególnych par płaszczyzn oznaczymy kolejno: $k_1=\alpha \cap \beta$, $k_2=\beta \cap \gamma$, $k_3=\alpha \cap \gamma$ Wyznaczając konstrukcyjnie krawędzie $k_1$ i $k_2$, możemy następnie, korzystając z twierdzenia o punkcie wspólnym trójki płaszczyzn, wyznaczyć poszukiwaną w zadaniu krawędź $k_3$. Wyznaczanie krawędzi $k_1$ Poprowadźmy dwie proste należące do płaszczyzny $\alpha (PQR)$: prostą $a$ przechodzącą przez punkty $Q$, $R$ oraz prostą b przechodzącą przez punkty $Q$, $P$. Proste te przecinają się w punkcie $Q$. Rzuty $a_{xy}$ i $b_{xy}$ tych prostych na płaszczyznę podstawy $\beta (ABCD)$, będą przecinały się w punkcie $Q_{xy}$. Proste $a$ i $a_{xy}$ przecinają się w punkcie oznaczonym cyfrą $I$. Punkt $I$ jest, zatem wspólnym dla płaszczyzn $\alpha$ i $\beta$, ponieważ należy do prostych $a$ i $a_{xy}$, a te z kolei należą odpowiednio do płaszczyzn $\alpha$ i $\beta$. Drugi punkt $II$ wspólny płaszczyzn $\alpha$ i $\beta$ wyznaczymy prowadząc dwie, należące odpowiednio do płaszczyzn $\alpha \cap \beta$, kolejne proste $b$ i $b_{xy}$ które przetną się właśnie w tym punkcie. Łącząc punkty $I$ i $II$ wyznaczymy pierwsza z poszukiwanych krawędzi $k_1=\alpha \cap \beta$. Jak widać na rysunku C1.3b krawędź $k_1$ leży na płaszczyźnie $\beta (ABCD)$, lecz nie przecina ściany $ABCD$ sześcianu.

---

Wyznaczanie kolejnych krawędzi przedstawiono na rysunku C1.3c. Wyznaczanie krawędzi $k_2$ Krawędź $k_2$ wyznaczymy w sposób natychmiastowy, albowiem stanowi ona wspólną krawędź ścian $ABCD$ oraz $BCFG$ sześcianu. Wyznaczanie krawędzi $k_3$ Krawędź $k_2$ przecina krawędź $k_1$ w punkcie oznaczonym cyfrą $III$. Punkt $III$ jest, zatem punktem wspólnym trójki płaszczyzn $\alpha$, $\beta$ i $\gamma$. Przez ten punkt, zgodnie z cytowanym wcześniej twierdzeniem, będzie przechodziła trzecia krawędź $k_3=\alpha \cap \gamma$. Drugi punkt wspólny tych płaszczyzn jest punktem $R$ (z założenia punkt należący do płaszczyzny $\alpha$ i $\beta$). Punkty $III$ i $R$ wyznaczą nam poszukiwaną krawędź $k_3$, która jest krawędzią przekroju płaszczyzny $\alpha$ z jedną ze ścian sześcianu. Krawędź $k_3$ przecina krawędzie sześcianu: $BF$ w punkcie $1$ oraz $CG$ w punkcie $2$. Punkty te wyznaczają odcinek będący krawędzią przekroju ściany $BCGF$ sześcianu płaszczyzną $\alpha$.

---

Kolejne krawędzie przekroju sześcianu płaszczyzną $\alpha$ można wyznaczyć powtarzając nasze rozumowanie, przy założeniu, że w miejsce jednej z płaszczyzn, np. $\gamma$ wprowadzimy kolejną płaszczyznę przechodzącą przez inną ścianę sześcianu. Możemy jednak wyznaczyć następne boki przekroju korzystając z niezmienników rzutowania równoległego (rys.c1.3d). Wyznaczony wcześniej punkt $2$ należy do krawędzi $k_3$, a wiec należy do płaszczyzny $\alpha$Punkt ten należy również do ściany $EFGH$ sześcianu. Drugim punktem wspólnym płaszczyzny $\alpha$ i górnej podstawy $EFGH$ jest punkt $Q$ z założenia należący do tych płaszczyzn. Zatem Kolejna krawędź $k_4$ będzie przechodziła przez punkty $Q$ i $2$. Krawędź $k_4$, jak wynika z niezmienników rzutowania równoległego (płaszczyzna kroi dwie równoległe do siebie płaszczyzny wzdłuż dwóch prostych równoległych) będzie równoległa do krawędzi $k_1$. Kolejna krawędź $k_5$, należąca do przekroju, będzie przechodziła przez punkt $3$ znajdujący się na krawędzi $k_4$ oraz boku $EH$ sześcianu. Krawędź ta będzie również równoległa do krawędzi $k_3$. Zamykająca przekrój krawędź $k_6$ będzie przechodziła przez punkty $4$, $P$, i $1$.

---

Kończąc zadanie: usuwamy części krawędzi sześcianu, które zostały odcięte płaszczyzną $\alpha$ oraz kreskujemy figurę w płaszczyźnie przekroju, zgodnie z zasadami zapisu konstrukcji.

---