Test Arka

Problemy ze wzorami na osiłku

$M$ $M^{\prime }$ $M^{\prime }$ Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\large”): {\displaystyle {\large a^{\sum_{i=1}^{10}i}}}

Konwersja Arka Konwersja Arka 2 Konwersja Arka 3

---

Ciągi liczbowe. Ćwiczenia

Obliczyć następujące granice ciągów:
(1) Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\limn”): {\displaystyle \displaystyle \limn\frac{2n^2+1}{3n^2-1}}
(2) Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\limn”): {\displaystyle \displaystyle \limn\frac{2n^2+n+2}{n\sqrt{n}}}
(3) Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\limn”): {\displaystyle \displaystyle \limn\frac{-n+1}{n^2+2}.}

(1) Podzielić licznik i mianownik przez $n^2$ i skorzystać z twierdzeń o arytmetyce granic.
(2) Wykorzystać twierdzenie o dwóch ciągach.
(3) Sposób I. Wykorzystać twierdzenie o trzech ciągach.
Sposób II. Podzielić licznik i mianownik przez $n^2$ oraz skorzystać z twierdzeń o arytmetyce granic.

(1) Dzielimy licznik i mianownik przez $n^2$ i dostajemy:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\limn”): {\displaystyle \limn\frac{2n^2+1}{3n^2-1} \ =\ \limn \frac{\displaystyle 2+\overbrace{\frac{1}{n^2}}^{\ra 0}}{\displaystyle 3-\underbrace{\frac{1}{n^2}}_{\ra 0}} \ =\ \frac{2}{3}, }

przy czym w ostatniej równości wykorzystujemy twierdzenia o arytmetyce granic (dla sumy i iloczynu; patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am1.w.04.080|) oraz fakt, że Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\limn”): {\displaystyle \displaystyle\limn \frac{1}{n^2}=0} (patrz Przykład Uzupelnic p.new.am1.w.03.210| i Twierdzenie Uzupelnic t.new.am1.w.04.080|).

(2) Zauważmy, że

$\begin{array}{ccc}\frac{2n^2}{n\sqrt{n}}& \le & \frac{2n^2+n+2}{n\sqrt{n}}\\ \parallel & & \\ 2\sqrt{n}& & \\ \downarrow & & \\ +\mathrm{\infty }& & \end{array}$

(przy czym ostatnią zbieżność Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\limn”): {\displaystyle \displaystyle\limn \sqrt{n}=+\infty} łatwo pokazać z definicji granicy niewłaściwej). Zatem korzystając z twierdzenia o dwóch ciągach (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am1.w.04.120|(a)) wnioskujemy, że Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\limn”): {\displaystyle \displaystyle\limn \frac{2n^2+n+2}{n\sqrt{n}}=+\infty}
(3) Sposób I. Zauważmy, że

$\begin{array}{ccccc}-\frac{n}{n^2}& \le & \frac{-n+1}{n^2+2}& \le & 0\\ \parallel & & & & \downarrow \\ -\frac{1}{n}& & & & 0\\ \downarrow & & & & \\ 0& & & & \\ \end{array}$

Zatem korzystając z twierdzenia a trzech ciągach wnioskujemy, że Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\limn”): {\displaystyle \displaystyle\limn \frac{-n+1}{n^2+2}=0.}
Sposób II. Dzieląc licznik i mianownik przez $n^2$ oraz korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic, mamy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\limn”): {\displaystyle \limn \frac{-n+1}{n^2+2} \ =\ \limn\frac{\displaystyle \overbrace{-\frac{1}{n}}^{\ra 0}+\overbrace{\frac{1}{n^2}}^{\ra 0}}{\displaystyle 1+\underbrace{\frac{2}{n^2}}_{\ra 0}} \ =\ 0. }

Obliczyć następujące granice ciągów:
(1) Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\limn”): {\displaystyle \displaystyle \limn \frac{\binom{n+2}{n}}{n^2}}
(2) Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\limn”): {\displaystyle \displaystyle \limn \frac{\binom{n+3}{n}}{n^3}.}

(1) Rozpisać symbol Newtona. Podzielić licznik i mianownik przez $n^2.$
(2) Rozwiązać analogicznie do przykładu (1).

(1) Rozpiszmy symbol Newtona występujący w wyrazach ciągu

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \binom{n+2}{n} \ =\ \frac{(n+2)!}{n!\cdot 2!} \ =\ \frac{(n+1)(n+2)}{2} }

Zatem liczymy:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \aligned \graph \displaystyle \limn \frac{\binom{n+2}{n}}{n^2} & = & \displaystyle \limn \frac{(n+1)(n+2)}{2n^2} \ =\ \limn\frac{n^2+3n+2}{2n^2}\\ & = & \displaystyle \limn\frac{1}{2} +\underbrace{\limn\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{n}}_{=0} +\underbrace{\limn\frac{1}{n^2}}_{=0} \ =\ \frac{1}{2}. \endaligned}

(2) Rozpiszmy symbol Newtona występujący w wyrazach ciągu

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \binom{n+3}{n} \ =\ \frac{(n+3)!}{n!\cdot 3!} \ =\ \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{6} }

Zatem liczymy:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \aligned \graph \displaystyle \limn \frac{\binom{n+3}{n}}{n^3} & = & \displaystyle \limn \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{6n^3} \ =\ \limn\frac{n^3+6n^2+11n+6}{6n^3}\\ & = & \displaystyle \limn\frac{1}{6} +\underbrace{\limn\frac{1}{n}}_{=0} +\underbrace{\limn\frac{11}{6}\cdot\frac{1}{n^2}}_{=0} +\underbrace{\limn\frac{1}{n^3}}_{=0} \ =\ \frac{1}{6}. \endaligned}

Obliczyć następujące granice ciągów:
(1) Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\limn”): {\displaystyle \displaystyle \limn\frac{5^{n+1}+1+6^{n+1}}{3\cdot 6^n}}
(2) Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\limn”): {\displaystyle \displaystyle \limn\frac{2^{n+1}+3^n}{3^{2n}+2}}
(3) Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\limn”): {\displaystyle \displaystyle \limn\frac{1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\ldots+\frac{1}{4^n}}{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\ldots+\frac{1}{3^n}}.}

(1) Wykonać dzielenie $6^n.$
(2) Sposób I. Wykorzystać twierdzenie o trzech ciągach.
Sposób II. Podzielić licznik i mianownik przez $3^{2n}$ i skorzystać z twierdzeń o arytmetyce granic.
(3) Wykorzystać wzór na sumę skończonego ciągu geometrycznego (patrz Uwaga Uzupelnic u.1.0100|).

(1) Wykonując dzielenie przez $6^n$ dostajemy:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\limn”): {\displaystyle \limn\frac{5^{n+1}+1+6^{n+1}}{3\cdot 6^n} \ =\ \limn\frac{5}{3}\bigg(\frac{5}{6}\bigg)^n +\limn \frac{1}{3}\bigg(\frac{1}{6}\bigg)^n +\limn 2 \ =\ 2, }

gdzie wykorzystaliśmy znajomość ciągu geometrycznego (patrz Przykład Uzupelnic p.new.am1.w.03.220|).

(2) Sposób I. Zauważmy, że

$\begin{array}{ccccc}0& \le & \frac{2^{n+1}+3^n}{3^{2n}+2}& \le & \frac{2^{n+1}+3^n}{3^{2n}}\\ \downarrow & & & & \parallel \\ 0& & & & 2(\frac{2}{9}{)}^n+(\frac{1}{3}{)}^n\\ & & & & \downarrow \\ & & & & 0\\ \end{array}$

gdzie wykorzystaliśmy znajomość ciągu geometrycznego. Zatem korzystając z twierdzenie a trzech ciągach wnioskujemy, że Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\limn”): {\displaystyle \displaystyle\limn \frac{2^{n+1}+3^n}{3^{2n}+2}=0.}

Sposób II. Dzieląc licznik i mianownik przez $3^{2n}$ oraz korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic, mamy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\limn”): {\displaystyle \limn\frac{2^{n+1}+3^n}{3^{2n}+2} \ =\ \limn \frac{\displaystyle 2\cdot\bigg(\frac{2}{9}\bigg)^n+\bigg(\frac{1}{3}\bigg)^n}{\displaystyle 1+2\cdot\bigg(\frac{1}{9}\bigg)^n} \ =\ 0. }

(3) Korzystając ze wzoru na sumę skończonego ciągu geometrycznego (patrz Uwaga Uzupelnic u.1.0100|), mamy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\limn”): {\displaystyle \limn\frac{\displaystyle 1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\ldots+\frac{1}{4^n}}{\displaystyle 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\ldots+\frac{1}{3^n}} \ =\ \limn\frac{\displaystyle\frac{\displaystyle 1-\frac{1}{4^{n+1}}}{\displaystyle 1-\frac{1}{4}}}{\displaystyle\frac{\displaystyle 1-\frac{1}{3^{n+1}}}{\displaystyle 1-\frac{1}{3}}} \ =\ \frac{9}{8}\cdot \limn\frac{\displaystyle 1-\overbrace{\bigg(\frac{1}{4}\bigg)^{n+1}}^{\ra 0}}{\displaystyle 1-\underbrace{\bigg(\frac{1}{3}\bigg)^{n+1}}_{\ra 0}} \ =\ \frac{9}{8}\cdot 1 \ =\ \frac{9}{8}. }

Niech Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\rr”): {\displaystyle \displaystyle\{x_n\}\subseteq\rr} będzie ciągiem liczbowym takim, że Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\limn”): {\displaystyle \displaystyle\limn x_n=g.} Udowodnić, że jeśli $g\ne 0$ oraz $x_n\ne 0$ dla dowolnego Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\nn”): {\displaystyle n\in\nn,} to ciąg $\left\{\frac{1}{x_n}\right\}$ jest ograniczony oraz dodatkowo

$\mathrm{\exists }m>0:\left|\frac{1}{x_n}\right|\ge m.$

Skorzystać z definicji granicy ciągu z Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\eps”): {\displaystyle \displaystyle\eps=\frac{|g|}{2}.}

Niech Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\limn”): {\displaystyle \displaystyle\limn x_n=g\ne 0.} Niech Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\eps”): {\displaystyle \displaystyle\eps=\frac{|g|}{2}>0.} Z definicji granicy mamy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\nn”): {\displaystyle \exists N\in\nn\ \forall n\ge N:\ |x_n-g|<\frac{|g|}{2}, }

w szczególności dla tak dobranego Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\nn”): {\displaystyle N\in\nn,} mamy

$\mathrm{\forall }n\ge N:g-\frac{|g|}{2}<x_n<g+\frac{|g|}{2},$

zatem

$\mathrm{\forall }n\ge N:\frac{|g|}{2}<|x_n|<\frac{3|g|}{2},$

czyli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \forall n\ge N:\ \frac{2}{3|g|}<\frac{1}{|x_n|}<\frac{2}{|g|}. }

Zdefiniujmy teraz

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle m \ =\ \min\bigg\{\frac{2}{3|g|},\frac{1}{|x_1|},\ldots,\frac{1}{|x_n|}\bigg\},\qquad M \ =\ \max\bigg\{\frac{2}{|g|},\frac{1}{|x_1|},\ldots,\frac{1}{|x_n|}\bigg\}. }

Oczywiście $0<m<M$ oraz

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\nn”): {\displaystyle \forall n\in\nn:\ m\le \bigg|\frac{1}{x_n}\bigg|\le M, }

co należało dowieść.

Niech Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\rr”): {\displaystyle \displaystyle\{a_n\},\{b_n\}\subseteq\rr} będą ciągami liczbowymi zbieżnymi, Udowodnić następujące stwierdzenia:
(1) Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\limn”): {\displaystyle \displaystyle \limn (a_nb_n) =\bigg(\limn a_n\bigg)\bigg(\limn b_n\bigg)} ;
(2) Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\limn”): {\displaystyle \displaystyle \limn \frac{a_n}{b_n} =\frac{\limn a_n}{\limn b_n}} (o ile $b_n\ne 0$ dla Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\nn”): {\displaystyle n\in\nn} oraz Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\limn”): {\displaystyle \displaystyle\limn b_n\ne 0} ).

(1) Skorzystać z faktu, że ciąg zbieżny jest ograniczony. Przy liczeniu granicy ciągu $\{a_n{b}_n\}$ wykorzystać oszacowanie

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \big|a_nb_n-ab\big| \ \le\ \big|a_nb_n-a_nb\big| +\big|a_nb-ab\big|. }

(2) Najpierw udowodnić, że Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\limn”): {\displaystyle \displaystyle \limn \frac{1}{b_n} =\frac{1}{\limn b_n}.} W tym celu skorzystać z Zadania Uzupelnic z.new.am1.c.04.0040|. Następnie wykorzystać punkt (1).

(1) Niech Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\limn”): {\displaystyle \displaystyle\limn a_n=a} i Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\limn”): {\displaystyle \displaystyle\limn b_n=b.} Należy pokazać, że

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\eps”): {\displaystyle \forall \eps>0\ \exists N\in\nn\ \forall n\ge N: \big|a_nb_n-ab\big|<\eps. }

Ustalmy dowolne Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\eps”): {\displaystyle \displaystyle\eps>0.}

Ciąg $\{a_n\}$ jako zbieżny, jest ograniczony, to znaczy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\nn”): {\displaystyle \exists A>0\ \forall n\in\nn:\ |a_n|\le A. }

Z definicji granicy mamy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \aligned \graph && \exists N_1\in\nn:\ |b_n-b|<\frac{\eps}{2A},\\ && \exists N_2\in\nn:\ |a_n-a|<\frac{\eps}{2|b|} \endaligned}

(przy czym jeśli $b=0,$ to ostatnie wyrażenie Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\eps”): {\displaystyle \displaystyle\frac{\eps}{2|b|}} zastąpmy przez Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\eps”): {\displaystyle \displaystyle\eps} ).

Niech $N=\max \{N_1,N_2\}.$ Wówczas dla dowolnego $n\ge N,$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \aligned \graph \big|a_nb_n-ab\big| & \le & \big|a_nb_n-a_nb\big| +\big|a_nb-ab\big| \ =\ |a_n||b_n-b|+|a_n-a||b|\\ & < & A\cdot\frac{\eps}{2A} +\frac{\eps}{2|b|}\cdot |b| \ =\ \eps, \endaligned}

zatem

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\limn”): {\displaystyle \limn (a_nb_n) \ =\ a\cdot b \ =\ \bigg(\limn a_n\bigg)\cdot\bigg(\limn b_n\bigg). }

(2) Niech Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\limn”): {\displaystyle \displaystyle\limn a_n=a} i Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\limn”): {\displaystyle \displaystyle\limn b_n=b} (gdzie $b_n\ne 0$ dla Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\nn”): {\displaystyle n\in\nn} oraz $b\ne 0$). Pokażemy najpierw, że

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\limn”): {\displaystyle \limn \frac{1}{b_n} =\frac{1}{b}. }

Ustalmy dowolne Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\eps”): {\displaystyle \displaystyle\eps>0.} Z Zadania Uzupelnic z.new.am1.c.04.0040| wynika, że

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\nn”): {\displaystyle \exists M>0\ \forall n\in\nn:\ \bigg|\frac{1}{b_n}\bigg|\le M. }

Z definicji granicy, zastosowanej do Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\wt”): {\displaystyle \displaystyle\wt{\eps}=\frac{|b|\eps}{M}} , mamy także

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\nn”): {\displaystyle \exists N\in\nn\ \forall n\ge N:\ |b_n-b|<\frac{|b|\eps}{M}. }

Wówczas dla $n\ge N,$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \bigg|\frac{1}{b_n}-\frac{1}{b}\bigg| \ =\ \bigg|\frac{b-b_n}{bb_n}\bigg| \ =\ |b_n-b|\cdot\bigg|\frac{1}{b}\bigg|\cdot\bigg|\frac{1}{b_n}\bigg| \ \le\ \frac{|b|\eps}{M}\cdot\frac{1}{|b|}\cdot M \ =\ \eps, }

pokazaliśmy więc, że Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\limn”): {\displaystyle \displaystyle\limn \frac{1}{b_n}=\frac{1}{b}.}

Możemy teraz skorzystać z udowodnionego już punktu (2), a mianowicie

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\limn”): {\displaystyle \limn \frac{a_n}{b_n} \ =\ \limn \bigg(a_n\cdot\frac{1}{b_n}\bigg) \ =\ a\cdot\frac{1}{b} \ =\ \frac{a}{b}. }

Niech Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\rr”): {\displaystyle \displaystyle\{a_n\},\{b_n\}\subseteq\rr} będą ciągami liczbowymi zbieżnymi. Udowodnić następujące stwierdzenia:
(1) Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\limn”): {\displaystyle \displaystyle\limn a_n =a\quad \Lra\quad \limn |a_n|=|a|} ;
(2) Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\limn”): {\displaystyle \displaystyle\limn a_n =0\quad \Llra\quad \limn |a_n|=0} ;

(1) Udowodnić najpierw prostą nierówność:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\rr”): {\displaystyle \forall x,y\in\rr:\ \big| |x|-|y|\big| \ \le\ |x-y|. }

(2) Wykorzystać jedynie definicję granicy ciągu.

(1) Udowodnimy najpierw, że

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\rr”): {\displaystyle \forall x,y\in\rr:\ \big| |x|-|y|\big| \ \le\ |x-y|. }

Korzystając z nierówności trójkąta dla wartości bezwzględnej (metryki euklidesowej w Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\rr”): {\displaystyle \displaystyle\rr} ), mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle |x| \ =\ |x-y+y| \ \le\ |x-y|+|y|, }

stąd

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle |x|-|y| \ \le\ |x-y|. }

Analogicznie dostajemy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle |y|-|x| \ \le\ |y-x| \ =\ |x-y|. }

Dwie ostatnie nierówności oznaczają, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \big| |x|-|y|\big| \ \le\ |x-y|, }

co należało dowieść.

Załóżmy teraz, że Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\limn”): {\displaystyle \displaystyle\limn a_n=a.} Należy pokazać, że Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\limn”): {\displaystyle \displaystyle\limn |a_n|=|a|.} Ustalmy dowolne Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\eps”): {\displaystyle \displaystyle\eps>0.} Z definicji granicy mamy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\nn”): {\displaystyle \exists N\in\nn\ \forall n\ge N:\ |a_n-a|<\eps. }

Wówczas, korzystając z udowodnionej nierówności, dla $n\ge N,$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \big||a_n|-|a|\big| \ \le\ |a_n-a| \ <\ \eps. }

Zatem pokazaliśmy, że Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\limn”): {\displaystyle \displaystyle\limn |a_n|=|a|.}

Zauważmy w tym miejscu, że nie jest ogólnie prawdziwa implikacja w drugą stronę. Rozważmy bowiem ciąg $a_n=(-1{)}^n$. Wówczas Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\limn”): {\displaystyle \limn |a_n|=\limn 1=1=|1|} , , ale ciąg $\{a_n\}$ nie ma granicy.

(2) "$⟹$":
Wynika wprost z punktu (4).
"$⟸$":
Niech Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\limn”): {\displaystyle \displaystyle\limn |a_n|=0.} Należy pokazać, że Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\limn”): {\displaystyle \displaystyle\limn a_n=0.} Ustalmy dowolne Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\eps”): {\displaystyle \displaystyle\eps>0.} Z definicji granicy ciągu mamy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\nn”): {\displaystyle \exists N\in\nn\ \forall n\ge N:\ \big||a_n|-0\big|<\eps. }

Zatem dla $n\ge N,$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle |a_n-0| \ =\ |a_n| \ =\ \big||a_n|\big| \ =\ \big||a_n|-0\big| \ <\ \eps, }

co oznacza, że Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\limn”): {\displaystyle \displaystyle\limn a_n=0.}