Analiza matematyczna 1/Wykład 4: Ciągi liczbowe: Różnice pomiędzy wersjami

Wersja z 12:51, 2 sie 2006

Ciągi liczbowe

W tym wykładzie zajmujemy się ciągami w zbiorze liczb rzeczywistych. Definiujemy ciąg monotoniczny, ciąg ograniczony, granice niewłaściwe. Poznajemy twierdzenia o granicach ciągów, twierdzenie o związkach granicy z działaniami i porządkiem w $ℝ,$ twierdzenie o trzech ciągach, twierdzenie o ciągu monotonicznym i ograniczonym, twierdzenie Bolzano-Weierstrassa.

Definicja [Uzupelnij]

Przez ciągi liczbowe będziemy rozumieli ciągi o wartościach w $ℝ$ (to znaczy w zbiorze liczbowym $ℝ$ traktowanym jako przestrzeń metryczna z metryką euklidesową). Piszemy krótko ${x_{n}} \subseteq ℝ .$

{{red}Rysunek AM1.M04.W.R01 (stary numer AM1.4.9)}

Ponieważ w zbiorze liczbowym $ℝ$ mamy liniowy porządek, więc można porównywać ze sobą elementy ciągu. Pozwala to na wprowadzenie pojęcia monotoniczności ciągu.

{{definicja|[Uzupelnij]||

Mówimy, że ciąg ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest "'"malejący""', jeśli $\forall n \in ℕ : a_{n} \geq a_{n + 1} .$
{{red}Rysunek AM1.M04.W.R02 (stary numer AM1.4.10)}
Mówimy, że ciąg ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest "'"silnie malejący""', jeśli $\forall n \in ℕ : a_{n} > a_{n + 1} .$
{{red}Rysunek AM1.M04.W.R03 (stary numer AM1.4.11)}
Mówimy, że ciąg ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest "'"rosnący""', jeśli $\forall n \in ℕ : a_{n} \leq a_{n + 1} .$
{{red}Rysunek AM1.M04.W.R04 (stary numer AM1.4.12)}
Mówimy, że ciąg ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest "'"silnie rosnący""', jeśli $\forall n \in ℕ : a_{n} < a_{n + 1} .$
{{red}Rysunek AM1.M04.W.R05 (stary numer AM1.4.13)}
Mówimy, że ciąg ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest "'"monotoniczny""', jeśli jest on malejący lub rosnący.
Mówimy, że ciąg ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest "'"silnie monotoniczny""', jeśli jest on silnie malejący lub silnie rosnący. }}

W przypadku ciągów liczbowych można mówić nie tylko o ograniczoności ciągu (jak to ma miejsce w dowolnej przestrzeni metrycznej), ale także o ograniczeniu ciągu od dołu i od góry (ponownie jest to konsekwencja faktu, że zbiór liczbowy $ℝ$ jest liniowo uporządkowany). Mamy zatem następujące definicje.

Definicja [Uzupelnij]

Mówimy, że ciąg ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest "'"ograniczony""', jeśli $\exists M \in ℝ \forall n \in ℕ : | a_{n} | \leq M .$
Mówimy, że ciąg ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest "'"ograniczony z dołu""', jeśli $\exists M \in ℝ \forall n \in ℕ : a_{n} \geq M .$
Mówimy, że ciąg ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest "'"ograniczony z góry""', jeśli $\exists M \in ℝ \forall n \in ℕ : a_{n} \leq M .$

Natychmiastową konsekwencją powyższych definicji jest następujący związek między ograniczonością a ograniczonością z góry i z dołu.

Stwierdzenie [Uzupelnij]

"'(O ciągu ograniczonym w $ℝ$ )"'
Jeśli ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest ciągiem to ${a_{n}}$ jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy ${a_{n}}$ jest ograniczony z dołu i z góry.

Pojęcie granicy ciągu pozostaje takie samo jak dla ciągów w dowolnych przestrzeniach metrycznych. Powtórzmy je tutaj dla wygody, przyjmując, że w $ℝ$ mamy metrykę euklidesową.

Definicja [Uzupelnij]

Mówimy, że liczba $g$ jest "'"granicą""' ciągu ${x_{n}} \subseteq ℝ,$ jeśli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ |x_n-g|<\varepsilon }

i piszemy

\lim_{n \to + \infty} x_{n} = g lub x_{n} \overset{ℝ}{⟶} g lub x_{n} \to_{n \to + \infty}^{} g lub x_{n} ⟶ g .

Mówimy, że ciąg ${x_{n}}$ jest "'"zbieżny""', jeśli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \exists g\in \mathbb{R}:\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n=g. }

{{red}Rysunek AM1.M04.W.R06 (stary numer AM1.4.14)}

W przypadku ciągów liczbowych wprowadza się także pojęcie granicy niewłaściwej (o której nie ma sensu mówić w dowolnej przestrzeni metrycznej).

{{definicja|[Uzupelnij]||

Mówimy, że ciąg liczbowy ${a_{n}} \subseteq ℝ$ ma "'"granicę niewłaściwą""' $+ \infty,$ jeśli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \forall M\in\mathbb{R}\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ \ a_n\ge M. }

{{red}Rysunek AM1.M04.W.R07 (stary numer AM1.4.15)}
Mówimy wówczas, że ciąg ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest "'"rozbieżny""' do $+ \infty$ i piszemy $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = + \infty .$
Mówimy, że ciąg liczbowy ${a_{n}} \subseteq ℝ$ ma "'"granicę niewłaściwą""' $- \infty,$ jeśli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \forall M\in\mathbb{R}\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ \ a_n\le M. }

Mówimy wówczas, że ciąg ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest "'"rozbieżny""' do $- \infty$ i piszemy $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = - \infty .$ }}

{{red}Rysunek AM1.M04.W.R08 (stary numer AM1.4.16)}

Zwróćmy uwagę na to, że granica niewłaściwa nie jest granicą (w sensie Definicji Uzupelnic d.new.am1.w.04.050|), gdyż nie jest to element $ℝ$ (nie jest to liczba rzeczywista). Należy tu również zwrócić uwagę na pewną niekonsekwencję w terminologii.

Mówiąc o granicy, czasem będziemy dodawać "granica właściwa" lub "granica skończona", aby wyraźnie zaznaczyć, że nie mówimy o granicy niewłaściwej. O ciągu, który ma granicę (właściwą) mówimy, że jest "'"zbieżny""'. O ciągu, który ma granicę niewłaściwą mówimy, że jest "'"rozbieżny""' do $+ \infty$ lub $- \infty .$ O ciągu który nie ma granicy właściwej mówimy, że jest "'"rozbieżny""'.

Twierdzenie [Uzupelnij]

"'(O granicy iloczynu ciągów ograniczonego i zbieżnego do zera)"'
Jeśli ${a_{n}}, {b_{n}} \subseteq ℝ$ są ciągami takimi, że $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = 0$ oraz ${b_{n}}$ jest ograniczony, to $\lim_{n \to + \infty} a_{n} b_{n} = 0 .$

Dowód [Uzupelnij]

Niech $M > 0$ będzie stałą ograniczającą ciąg ${b_{n}}$ (która istnieje z założenia), to znaczy

\forall n \in ℕ : | b_{n} | \leq M .

Ustalmy $ε > 0 .$ Ponieważ $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = 0,$ więc

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ |a_n|\le\frac{\varepsilon}{M}. }

Zatem dla $n \geq N$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle |a_nb_n| \ \le\ \frac{\varepsilon}{M}\cdot M \ =\ \varepsilon. }

Ponieważ $ε > 0$ było dowolne, więc pokazaliśmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}:\ |a_nb_n|\le\varepsilon, }

czyli udowodniliśmy, że $\lim_{n \to + \infty} a_{n} b_{n} = 0 .$

{black}

Przykład [Uzupelnij]

Obliczyć granicę $\lim_{n \to + \infty} \frac{\sin n}{n}$ .

Rozwiązanie

Jeśli zdefiniujemy $a_{n} = \frac{1}{n}$ oraz $b_{n} = \sin n$ dla $n \in ℕ$ , to $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = 0$ oraz ciąg ${b_{n}}$ jest ograniczony, gdyż

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \forall n\in\mathbb{N}:\ |\sin n| \ \le\ 1. }

Zatem z Twierdzenia Uzupelnic t.new.am1.w.04.070| wnioskujemy, że $\lim_{n \to + \infty} \frac{\sin n}{n} = \lim_{n \to + \infty} a_{n} b_{n} = 0$ .

{}

◻

Dla ciągów liczbowych możliwe jest wykonywanie działań na elementach tych ciągów oraz na ich granicach. Poniższe twierdzenie podaje związki jakie zachodzą między tymi działaniami.

Twierdzenie [Uzupelnij]

"'(O "arytmetyce" granic ciągów)"'
Jeśli ${a_{n}}, {b_{n}} \subseteq ℝ$ są ciągami liczbowymi zbieżnymi oraz $c \in ℝ,$ to
"'(1)"' $\lim_{n \to + \infty} (a_{n} \pm b_{n}) = \lim_{n \to + \infty} a_{n} \pm \lim_{n \to + \infty} b_{n}$ ;
"'(2)"' $\lim_{n \to + \infty} (c \cdot a_{n}) = c \cdot \lim_{n \to + \infty} a_{n}$ ;
"'(3)"' $\lim_{n \to + \infty} (a_{n} b_{n}) = (\lim_{n \to + \infty} a_{n}) (\lim_{n \to + \infty} b_{n})$ ;
"'(4)"' $\lim_{n \to + \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = \frac{\lim_{n \to + \infty} a_{n}}{\lim_{n \to + \infty} b_{n}}$ (o ile $b_{n} \neq 0$ dla $n \in ℕ$ oraz $\lim_{n \to + \infty} b_{n} \neq 0$ );
"'(5)"' $\lim_{n \to + \infty} a_{n}^{b^{n}} = (\lim_{n \to + \infty} a_{n})^{\lim_{n \to + \infty} b_{n}}$ (o ile działania po obu stronach są wykonalne);
"'(6)"' $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = a ⟹ \lim_{n \to + \infty} | a_{n} | = | a |$ ;
"'(7)"' $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = 0 ⟺ \lim_{n \to + \infty} | a_{n} | = 0 .$

Dowód [Uzupelnij]

"'(Ad 1)"' Niech $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = a$ oraz $\lim_{n \to + \infty} b_{n} = b .$ Pokażemy, że $\lim_{n \to + \infty} (a_{n} + b_{n}) = a + b .$
W tym celu ustalmy $ε > 0 .$ Z definicji granicy ciągu zastosowanej do ciągów ${a_{n}}$ i ${b_{n}}$ wiemy, że

\exists N_{1} \in ℕ \forall n \geq N_{1} : | a_{n} - a | < \frac{ε}{2}

oraz

\exists N_{2} \in ℕ \forall n \geq N_{2} : | b_{n} - b | < \frac{ε}{2} .

Niech $N = \max {N_{1}, N_{2}} .$ Wówczas dla dowolnego $n \geq N,$ mamy:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \big|(a_n+b_n)-(a+b)\big| \ \le\ |a_n-a|+|b_n-b| \ <\ \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} \ =\ \varepsilon. }

Ponieważ $ε > 0$ było dowolnie wybrane, więc pokazaliśmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \forall \varepsilon>0\ \exists N\in \mathbb{N}:\ \big|(a_n+b_n)-(a+b)\big| \ <\ \varepsilon, }

czyli $\lim_{n \to + \infty} (a_{n} + b_{n}) = a + b .$
Analogicznie pokazuje się, że $\lim_{n \to + \infty} (a_{n} - b_{n}) = a - b .$
"'(Ad (3)--(4), (6)--(7))"' Dowody tych części są pozostawione na ćwiczenia (patrz Zadania Uzupelnic z.new.am1.c.04.0050| i Uzupelnic z.new.am1.c.04.0060|).
"'(Ad (2))"' Wynika to od razu z punktu (3) (dlaczego?).
"'(Ad (5))"' Pozostawiamy to bez dowodu.

{black}

Przykład [Uzupelnij]

Obliczyć granice ciągów:
"'(1)"' $\lim_{n \to + \infty} (- 1)^{n} \frac{2 n + 1}{3 n^{2}}$ ;
"'(2)"' $\lim_{n \to + \infty} (2 + \frac{1}{n})^{\frac{1}{2^{n}}}$

Rozwiązanie

"'(Ad (1))"' Niech $a_{n} = (- 1)^{n} \frac{2 n + 1}{3 n^{2}} .$ Policzmy najpierw granice modułów:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \aligned \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} |a_n| & = & \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{2n+1}{3n^2} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\bigg(\frac{2n}{3n^2}+\frac{1}{3n^2}\bigg) \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\bigg(\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{n}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{n}\bigg)\\ & = & \frac{2}{3}\cdot\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{n}+ \frac{1}{3}\cdot\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{n}\cdot\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{n} \ =\ \frac{2}{3}\cdot 0+\frac{1}{3}\cdot 0\cdot 0 \ =\ 0. \endaligned}

W powyższych rachunkach korzystaliśmy z arytmetyki granic (patrz Twierdzenia Uzupelnic t.new.am1.w.04.080|(1)--(3)) oraz ze znajomości granicy $\lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n}$ (patrz Przykład Uzupelnic p.new.am1.w.03.210|). Ponieważ otrzymaliśmy $\lim_{n \to + \infty} | a_{n} | = 0,$ więc korzystając z Twierdzenia Uzupelnic t.new.am1.w.04.080|(7) wnioskujemy, że także $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = 0 .$

"'(2)"' Ponieważ

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \bigg(2+\frac{1}{n}\bigg) \ =\ 2 }

oraz

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{1}{2^n} \ =\ 0 }

(patrz Przykład Uzupelnic p.new.am1.w.03.220|), zatem korzystając z Twierdzenia Uzupelnic t.new.am1.w.04.080|(5) dostajemy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \bigg(2+\frac{1}{n}\bigg)^{\frac{1}{2^n}} \ =\ 2^0 \ =\ 1. } {}

◻

Poniższe twierdzenie mówi, że jeśli wyrazy pewnego ciągu ${b_{n}}$ leżą pomiędzy wyrazami dwóch innych ciągów ${a_{n}}$ i ${b_{n}}$ (przynajmniej od pewnego miejsca) mających tę samą granicę $g$ (właściwą lub niewłaściwą), to ciąg ${b_{n}}$ ma tę samą granicę $g .$
{{red}Rysunek AM1.M04.W.R09 (stary numer AM1.4.17)}

Twierdzenie [Uzupelnij]

"'(O trzech ciągach)"'
Jeśli ${a_{n}}, {b_{n}}, {c_{n}} \subseteq ℝ$ są ciągami takimi, że

\lim_{n \to + \infty} a_{n} = \lim_{n \to + \infty} c_{n} = g \in \overline{ℝ} oraz \exists N \in ℕ \forall n \geq N : a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n},

to $\lim_{n \to + \infty} b_{n} = g .$

Dowód [Uzupelnij]

Dowód podamy jedynie w przypadku, gdy $g \in ℝ$ . Załóżmy, że $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = \lim_{n \to + \infty} c_{n} = g$ oraz $\exists N \in N \forall n \geq N : a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n} .$ Należy pokazać, że $\lim_{n \to + \infty} b_{n} = g .$ W tym celu ustalmy dowolne $ε > 0 .$ Z definicji granicy ciągu, mamy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \aligned && \exists N_1\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ |a_n-g|<\varepsilon,\\ && \exists N_2\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ |c_n-g|<\varepsilon. \endaligned}

Niech $N_{3} = \max {N, N_{1}, N_{2}} .$ Z powyższych nierówności wynika w szczególności, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \forall n\ge N_3:\ g-\varepsilon\ <\ a_n \ \le\ b_n\ \le\ c_n\ <\ g+\varepsilon, }

zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \forall n\ge N_3:\ |b_n-g|<\varepsilon, }

co dowodzi, że $\lim_{n \to + \infty} b_{n} = g .$

{black}

Przykład [Uzupelnij]

Obliczyć granicę ciągu $\lim_{n \to + \infty} [2 + (- 1)^{n}] \frac{3 n^{2} + 2 n}{4 n^{4} + 3 n + 1} .$

Rozwiązanie

Niech $x_{n} = [2 + (- 1)^{n}] \frac{3 n^{2} + 2 n}{4 n^{4} + 3 n + 1} .$

Zauważmy, że $x_{n} = y_{n} b_{n},$ gdzie $y_{n} = 2 + (- 1)^{n}$ oraz $b_{n} = \frac{3 n^{2} + 2 n}{4 n^{4} + 3 n + 1} .$ W celu obliczenia $\lim_{n \to + \infty} b_{n}$ zauważmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\beginarray”): {\displaystyle \beginarray {ccccc} \displaystyle\frac{3n^2}{4n^4+3n^4+n^4} & \le & \displaystyle\frac{3n^2+2n}{4n^4+3n+1} & \le & \displaystyle\frac{3n^2+2n^2}{4n^4}\\ \shortparallel & & & & \shortparallel\\ \displaystyle\frac{3n^2}{8n^4} & & & & \displaystyle\frac{5n^2}{4n^4}\\ \shortparallel & & & & \shortparallel\\ \displaystyle\frac{3}{8}\frac{1}{n^2} & & & & \displaystyle\frac{5}{4}\frac{1}{n^2}\\ \downarrow & & & & \downarrow\\ 0 & & & & 0\\ \endarray }

przy czym ostatnie zbieżności do zera, wynikają z twierdzenia o granicy iloczynu ciągu (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am1.w.04.080|(3)), to znaczy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{3}{8}\cdot\frac{1}{n^2} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{3}{8}\cdot\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{n}\cdot\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{n} \ =\ \frac{3}{8}\cdot 0\cdot 0 \ =\ 0 }

i podobnie $\lim_{n \to + \infty} \frac{5}{4} \frac{1}{n^{2}} = 0 .$

Teraz korzystając z twierdzenia o trzech ciągach (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am1.w.04.100|) dostajemy $\lim_{n \to + \infty} b_{n} = 0 .$

Odnośnie ciągu ${y_{n}}$ zauważmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \forall n\in\mathbb{N}:\ 1 \ \le\ y_n \ \le\ 3, }

a zatem ciąg ${y_{n}}$ jest ograniczony.

W końcu korzystając z twierdzenia o iloczynie ciągu zbieżnego do zera i ograniczonego (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am1.w.04.070|) dostajemy $\lim_{n \to + \infty} x_{n} = 0 .$

{}

◻

Kolejne twierdzenie mówi w jaki sposób nierówności między wyrazami dwóch ciągów przenoszą się na nierówności między granicami tych ciągów i na odwrót. Mianowicie, jeśli ${a_{n}}$ i ${b_{n}}$ są dwoma ciągami mającymi granice (właściwe lub niewłaściwe) oraz wyrazy ciągu ${b_{n}}$ są większe lub równe od wyrazów ciągu ${a_{n}}$ to nierówność ta zachowuje się w granicy. Na odwrót, jeśli granica ciągu ${b_{n}}$ jest silnie większa od granicy ciągu ${a_{n}}$ , to nierówność ta zachodzi także dla wyrazów ciągów ${a_{n}}$ i ${b_{n}}$ , przynajmniej od pewnego miejsca.

Twierdzenie [Uzupelnij]

"'(O dwóch ciągach)"'
Jeśli ${a_{n}}, {b_{n}} \subseteq ℝ$ są ciągami takimi, że $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = a \in \overline{ℝ}$ oraz $\lim_{n \to + \infty} b_{n} = b \in \overline{ℝ},$ to prawdziwe są implikacje:
"'(1)"' Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle\bigg[a=+\infty\ \wedge\ \forall n\in\mathbb{N}:\ a_n\le b_n\bigg]\ \Longrightarrow\ \bigg[b=+\infty\bigg]} ;
"'(2)"' Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle\bigg[b=-\infty\ \wedge\ \forall n\in\mathbb{N}:\ a_n\le b_n\bigg]\ \Longrightarrow\ \bigg[a=-\infty\bigg]} ;
"'(3)"' $[\forall n \in ℕ : a_{n} \leq b_{n}] ⟹ [a \leq b]$ ;
"'(4)"' Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle\bigg[a<b\bigg]\ \Longrightarrow\ \bigg[\exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ a_n< b_n\bigg].}

{blue}

Dowód [Uzupelnij]

{blue}(Dowód nadobowiązkowy.)
"'(Ad (1))"' Zakładamy, że $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = + \infty$ oraz $\forall n \in ℕ : a_{n} \leq b_{n} .$
Ustalmy dowolne $M > 0 .$ Ponieważ $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = + \infty,$ więc

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ a_n\ge M. }

Zatem dla dowolnego $n \geq N$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle b_n \ \ge\ a_n \ \ge\ M. }

Ponieważ $M > 0$ było dowolne, więc pokazaliśmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \forall M>0\ \exists N\in N\ \forall n\ge N:\ b_n\ge M, }

a to oznacza, że $\lim_{n \to + \infty} b_{n} = + \infty .$
"'(Ad (2))"' Dowód analogiczny do dowodu "'(1)"'.
"'(Ad (3)"' Niech $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = a \in \overline{ℝ}, \lim_{n \to + \infty} b_{n} = b \in \overline{ℝ}$ oraz $\forall n \in ℕ : a_{n} \leq b_{n} .$
"Przypadek $1^{o} .$ " Niech $a, b \in ℝ .$

Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że $a > b .$ Ustalmy $ε = \frac{a - b}{2} > 0 .$ Z definicji granicy ciągu mamy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \aligned && \displaystyle \exists N_1>0\ \forall n\ge N_1:\ |a_n-a|<\frac{a-b}{2},\\ && \displaystyle \exists N_2>0\ \forall n\ge N_2:\ |b_n-b|<\frac{a-b}{2}, \endaligned}

i w szczególności

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \aligned && \displaystyle \exists N_1\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N_1:\ a_n>\frac{a+b}{2},\\ && \displaystyle \exists N_2\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N_2:\ b_n<\frac{a+b}{2}, \endaligned}

Niech $k = \max {N_{1}, N_{2}} .$ Wówczas dla wyrazów $a_{k}$ i $b_{k}$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle a_k \ >\ \frac{a+b}{2} \ >\ b_k, }

co jest sprzeczne z założeniem. Zatem pokazaliśmy, że $a \leq b .$

"Przypadek $2^{o} .$ " $a = + \infty$ lub $b = - \infty .$ Wówczas teza wynika z (1) lub (2).

"Przypadek $3^{o} .$ " $a = - \infty$ lub $b = + \infty .$ Wówczas zawsze zachodzi nierówność $a \leq b .$

"'(Ad (4))"' "Przypadek $1^{o} .$ " Niech $a, b \in ℝ .$ Ustalmy $ε = \frac{b - a}{2} .$ Ponieważ $b > a$ , więc $ε > 0$ . Z definicji granicy ciągu i granicy niewłaściwej, mamy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \aligned && \displaystyle \exists N_1\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N_1:\ |a_n-a|<\frac{b-a}{2},\\ && \displaystyle \exists N_2\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N_2:\ |b_n-b|<\frac{b-a}{2}. \endaligned}

Niech $N = \max {N_{1}, N_{2}} .$ W szczególności mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \forall n\ge N:\ a_n \ <\ \frac{a+b}{2} \ <\ b_n, }

co należało pokazać.

"Przypadek $2^{o} .$ " $a = - \infty .$ Niech $ε = 1$ i $M = b - 1 .$ Z definicji granicy ciągu mamy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \aligned && \displaystyle \exists N_1\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N_1: a_n<b-1,\\ && \displaystyle \exists N_2\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N_2: |b_n-b|<1. \endaligned}

Niech $N = \max {N_{1}, N_{2}} .$ W szczególności mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \forall n\ge N:\ a_n \ <\ b-1 \ <\ b_n, }

co należało pokazać.

"Przypadek $3^{o} .$ " $b = + \infty .$ Dowód jest analogiczny jak w przypadku $2^{o} .$

{black}

Kolejne twierdzenie mówi, iż dla ciągów monotonicznych pojęcie granicy pokrywa się z pojęciem kresu górnego (ewentualnie kresu dolnego) zbioru wartości ciągu.

Twierdzenie [Uzupelnij]

Jeśli ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest ciągiem, to
"'(1)"' jeśli ${a_{n}}$ jest rosnący to ${a_{n}}$ ma granicę (właściwą lub niewłaściwą) oraz

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n \ =\ \sup\big\{a_n:\ n\in\mathbb{N}\big\}; }

"'(2)"' jeśli ${a_{n}}$ jest malejący to ${a_{n}}$ ma granicę (właściwą lub niewłaściwą) oraz

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n \ =\ \inf\big\{a_n:\ n\in\mathbb{N}\big\}. }

{blue}

Dowód [Uzupelnij]

{blue}(Dowód nadobowiązkowy.)
"'(Ad (1))"' Załóżmy, że ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest ciągiem rosnącym oraz niech

g \overset{d f}{=} \sup {a_{n} : n \in ℕ}

(supremum zbioru liczbowego zawsze istnieje i jest elementem $ℝ$ lub wynosi $+ \infty,$ gdyż zbiór jest niepusty). Pokażemy, że $g$ jest granicą ciągu ${a_{n}} .$
Rozważmy dwa przypadki:
Przypadek $1^{o} .$ Niech $g \in ℝ .$ Ustalmy dowolne $ε > 0 .$ Z własności supremum mamy, że

\exists N \in ℕ : g - ε < a_{N}

("de facto" z własności supremum wynika, że takich indeksów $N$ istnieje nieskończenie wiele, ale nam wystarczy wybór jednego z nich). Ponieważ ciąg ${a_{n}}$ jest rosnący oraz $\forall n \in N : a_{n} \leq g$ (z definicji supremum), więc

\forall n \geq N : g - ε < a_{N} \leq a_{n} \leq g .

Ponieważ $ε > 0$ był dowolnie wybrany, więc pokazaliśmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ |a_n-g|\ <\ \varepsilon. }

zatem pokazaliśmy, że $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = g .$
Przypadek $2^{o} .$ Niech $g = + \infty .$ Ustalmy $M \in ℝ .$ Z definicji supremum mamy, że

\exists N \in ℕ : M < a_{N} .

Ponieważ ciąg ${a_{n}}$ jest rosnący, więc

\forall n \geq N : M < a_{N} \leq a_{n} .

Ponieważ $M \in ℝ$ był dowolnie wybrane, więc pokazaliśmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \forall M\in\mathbb{R}\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ M\ <\ a_n. }

Zatem w obu przypadkach pokazaliśmy, że $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = g .$
"'(Ad (2))"' Dowód jest analogiczny jak dla (1).

{black}

{{twierdzenie|[Uzupelnij]|| "'(O ciągu monotonicznym i ograniczonym)"'
"'(1)"' Jeśli ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest ciągiem rosnącym i ograniczonym z góry, to jest on zbieżny.
{{red}Rysunek AM1.M04.W.R10 (stary numer AM1.4.18)} "'(2)"' Jeśli ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest ciągiem malejącym i ograniczonym z dołu, to jest on zbieżny.
"'(3)"' Ciąg monotoniczny jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony. }}

Dowód [Uzupelnij]

"'(Ad (1))"' Jeśli ciąg ${a_{n}}$ jest rosnący, to z Twierdzenia Uzupelnic t.new.am1.w.04.130|(1) wynika, że ma granicę (właściwą lub niewłaściwą) oraz

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n \ =\ \sup\big\{a_n:\ n\in\mathbb{N}\big\}. }

Ponieważ jest on dodatkowo ograniczony, więc

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \sup\big\{a_n:\ n\in\mathbb{N}\big\} \ <\ +\infty, }

zatem granica jest właściwa, czyli ciąg jest zbieżny.
"'(Ad (2))"' Dowód analogiczny jak w (1).
"'(Ad (3))"' Jeśli ciąg jest monotoniczny i ograniczony, to zachodzi założenie jednego z punktów (1) lub (2) (to znaczy jest on malejący i ograniczony lub rosnący i ograniczony). W obu przypadkach wiemy, że ciąg jest zbieżny.
Implikacja w drugą stronę jest zawsze prawdziwa (to znaczy ciąg zbieżny jest ograniczony, nawet bez założenia monotoniczności). Wynika to z Twierdzenia Uzupelnic t.new.am1.w.03.250|.

{black}

Twierdzenie [Uzupelnij]

"'(Bolzano-Weierstrassa)"'
Każdy ciąg ograniczony ${a_{n}} \subseteq ℝ$ zawiera podciąg zbieżny.

W dowodzie powyższego twierdzenia wykorzystamy następujący lemat:

{{lemat|[Uzupelnij]||

Każdy ciąg liczbowy ${a_{n}} \subseteq ℝ$ zawiera podciąg monotoniczny.
{{red}Rysunek AM1.M04.W.R11 (stary numer AM1.4.19)} }}

Dowód [Uzupelnij]

"'(Szkic)"' Dla ciągu ${a_{n}}$ zdefiniujmy następujący zbiór:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle Z \ \stackrel{df}{=}\ \bigg\{ n\in\mathbb{N}:\ \forall m\in\mathbb{N} \ \big[m>n\Longrightarrow a_m>a_n\big] \bigg\}. }

Możliwe są dwa przypadki.
Jeśli $# Z = \infty$ (to znaczy zbiór $Z$ jest nieskończony), to możemy z ciągu ${a_{n}}$ wybrać podciąg rosnący (wystarczy, aby podciąg zawierał tylko te elementy ciągu ${a_{n}},$ których indeksy należą do zbioru $Z$ ).
Jeśli $# Z < \infty$ (to znaczy zbiór $Z$ jest skończony), to możemy skonstruować podciąg malejący w następujący sposób. Niech $n_{1} \in ℕ$ będzie liczbą większą od wszystkich liczb ze zbioru $Z .$ Ponieważ $n_{1} \in̸ Z,$ więc

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \exists n_2>n_1:\ a_{n_2}\le a_{n_1}. }

Dalej konstrukcja ciągu indeksów przebiega indukcyjnie w ten sam sposób. Jeśli wybraliśmy już indeksy $n_{1} < \dots < n_{k},$ to z definicji zbioru $Z$ i faktu, że $n_{k} \in̸ Z$ wynika, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \exists n_{k+1}>n_k:\ a_{n_{k+1}}\le a_{n_k}. }

Skonstruowany w ten sposób podciąg ${a_{n_{k}}}_{k \in ℕ}$ jest malejący.

{black}

Możemy teraz powrócić do dowodu Twierdzenia Bolzano-Weierstrassa:

Dowód [Uzupelnij]

Twierdzenia Uzupelnic t.new.am1.w.04.150|
Niech ${a_{n}} \in ℝ$ będzie ciągiem ograniczonym. Z Lematu Uzupelnic l.new.am1.w.04.160| wynika, że możemy z niego wybrać podciąg monotoniczny ${a_{n_{k}}}_{k \in ℕ} .$ Oczywiście podciąg ${a_{n_{k}}}_{k \in ℕ}$ jest także ograniczony, zatem z Twierdzenia Uzupelnic t.new.am1.w.04.140|(3) wynika, że podciąg ${a_{n_{k}}}_{k \in ℕ}$ jest zbieżny.

{black}

Wniosek [Uzupelnij]

Z każdego ciągu liczbowego ${a_{n}} \subseteq ℝ$ można wybrać podciąg posiadający granicę (właściwą lub niewłaściwą).

Dowód [Uzupelnij]

Z Lematu Uzupelnic l.new.am1.w.04.160| wiemy, że z ciągu ${a_{n}}$ można wybrać podciąg monotoniczny. Jeśli jest on ograniczony, to z Twierdzenia Uzupelnic t.new.am1.w.04.140| wynika, że jest on zbieżny (ma granicę właściwą). Jeśli zaś jest nieograniczony, to skoro jest monotoniczny, to granicą jest $+ \infty$ lub $- \infty$ .

{black}

Analiza matematyczna 1/Wykład 4: Ciągi liczbowe: Różnice pomiędzy wersjami

Wersja z 12:51, 2 sie 2006

Ciągi liczbowe

Menu nawigacyjne

Działania na stronie

Opcje strony

Narzędzia osobiste

Nawigacja

Szukaj

Narzędzia

@@ Linia 1: / Linia 1: @@
+==Ciągi liczbowe==
+W tym wykładzie zajmujemy się ciągami w zbiorze liczb rzeczywistych.
+Definiujemy ciąg monotoniczny, ciąg ograniczony,  granice
+niewłaściwe.
+Poznajemy twierdzenia o granicach ciągów,
+twierdzenie o związkach granicy z działaniami i porządkiem w <math>\mathbb{R},</math>
+twierdzenie o trzech ciągach,
+twierdzenie o ciągu monotonicznym i ograniczonym,
+twierdzenie Bolzano-Weierstrassa.
+{{definicja|[Uzupelnij]||
+Przez ciągi liczbowe będziemy rozumieli ciągi o wartościach w
+<math>\mathbb{R}</math>
+(to znaczy w zbiorze liczbowym <math>\displaystyle\mathbb{R}</math> traktowanym jako
+przestrzeń metryczna z metryką euklidesową).
+Piszemy krótko <math>\displaystyle\{x_n\}\subseteq \mathbb{R}.</math>
+}}
+{{red}[[Rysunek AM1.M04.W.R01 (stary numer AM1.4.9)]]}
+Ponieważ w zbiorze liczbowym <math>\displaystyle\mathbb{R}</math> mamy liniowy porządek,
+więc można porównywać ze sobą elementy ciągu. Pozwala to na
+wprowadzenie pojęcia monotoniczności ciągu.
+{{definicja|[Uzupelnij]||
+Mówimy, że ciąg
+<math>\displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R}</math> jest
+"'"malejący""',
+jeśli
+<math>\displaystyle\forall n\in\mathbb{N}:\ a_n\ge a_{n+1}.</math><br>
+{{red}[[Rysunek AM1.M04.W.R02 (stary numer AM1.4.10)]]}<br>
+Mówimy, że ciąg
+<math>\displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R}</math> jest
+"'"silnie malejący""',
+jeśli
+<math>\displaystyle\forall n\in\mathbb{N}:\ a_n>   a_{n+1}.</math><br>
+{{red}[[Rysunek AM1.M04.W.R03 (stary numer AM1.4.11)]]}<br>
+Mówimy, że ciąg
+<math>\displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R}</math> jest
+"'"rosnący""',
+jeśli
+<math>\displaystyle\forall n\in\mathbb{N}:\ a_n\le a_{n+1}.</math><br>
+{{red}[[Rysunek AM1.M04.W.R04 (stary numer AM1.4.12)]]}<br>
+Mówimy, że ciąg
+<math>\displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R}</math> jest
+"'"silnie rosnący""',
+jeśli
+<math>\displaystyle\forall n\in\mathbb{N}:\ a_n< a_{n+1}.</math><br>
+{{red}[[Rysunek AM1.M04.W.R05 (stary numer AM1.4.13)]]}<br>
+Mówimy, że ciąg <math>\displaystyle\{a_n\}\subseteq \mathbb{R}</math> jest
+"'"monotoniczny""',
+jeśli jest on
+malejący lub rosnący.<br>
+Mówimy, że ciąg <math>\displaystyle\{a_n\}\subseteq \mathbb{R}</math> jest
+"'"silnie monotoniczny""',
+jeśli jest on
+silnie malejący lub silnie rosnący.
+}}
+W przypadku ciągów liczbowych można mówić nie tylko o
+ograniczoności ciągu (jak to ma miejsce w dowolnej przestrzeni
+metrycznej), ale także o ograniczeniu ciągu od dołu i od góry
+(ponownie jest to konsekwencja faktu, że zbiór liczbowy
+<math>\displaystyle\mathbb{R}</math> jest liniowo uporządkowany). Mamy zatem następujące
+definicje.
+{{definicja|[Uzupelnij]||
+Mówimy, że ciąg <math>\displaystyle\{a_n\}\subseteq \mathbb{R}</math> jest
+"'"ograniczony""',
+jeśli
+<math>\displaystyle\exists M\in\mathbb{R}\ \forall n\in\mathbb{N}:\ |a_n|\le M.</math><br>
+Mówimy, że ciąg <math>\displaystyle\{a_n\}\subseteq \mathbb{R}</math> jest
+"'"ograniczony z dołu""',
+jeśli
+<math>\displaystyle\exists M\in\mathbb{R}\ \forall n\in\mathbb{N}:\ a_n\ge M.</math><br>
+Mówimy, że ciąg <math>\displaystyle\{a_n\}\subseteq \mathbb{R}</math> jest
+"'"ograniczony z góry""',
+jeśli
+<math>\displaystyle\exists M\in\mathbb{R}\ \forall n\in\mathbb{N}:\ a_n\le M.</math><br>
+}}
+Natychmiastową konsekwencją powyższych definicji jest
+następujący związek między ograniczonością a
+ograniczonością z góry i z dołu.
+{{stwierdzenie|[Uzupelnij]||
+"'(O ciągu ograniczonym w <math>\displaystyle\mathbb{R}</math>)"'<br>
+Jeśli
+<math>\displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R}</math> jest ciągiem
+to
+<math>\displaystyle\{a_n\}</math> jest ograniczony wtedy i tylko wtedy,
+gdy
+<math>\displaystyle\{a_n\}</math> jest ograniczony z dołu i z góry.
+}}
+Pojęcie granicy ciągu pozostaje takie samo jak dla ciągów w
+dowolnych przestrzeniach metrycznych.
+Powtórzmy je tutaj dla wygody, przyjmując, że w
+<math>\displaystyle\mathbb{R}</math> mamy metrykę euklidesową.
+{{definicja|[Uzupelnij]||
+Mówimy, że liczba <math>g</math> jest
+"'"granicą""' ciągu
+<math>\displaystyle\{x_n\}\subseteq\mathbb{R},</math> jeśli
+<center><math>
+\forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\
+|x_n-g|<\varepsilon
+</math></center>
+i piszemy
+<center><math>
+\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n=g
+\quad\textrm{lub}\quad
+x_n\stackrel{\mathbb{R}}{\longrightarrow} g
+\quad\textrm{lub}\quad
+x_n\xrightarrow[n\rightarrow+\infty]{} g
+\quad\textrm{lub}\quad
+x_n\longrightarrow g.
+</math></center>
+Mówimy, że ciąg <math>\displaystyle\{x_n\}</math> jest
+"'"zbieżny""', jeśli
+<center><math>
+\exists g\in \mathbb{R}:\
+\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n=g.
+</math></center>
+}}
+{{red}[[Rysunek AM1.M04.W.R06 (stary numer AM1.4.14)]]}
+W przypadku ciągów liczbowych wprowadza się także pojęcie
+granicy niewłaściwej (o której nie ma sensu mówić w dowolnej
+przestrzeni metrycznej).
+{{definicja|[Uzupelnij]||
+Mówimy, że ciąg liczbowy <math>\displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R}</math>
+ma
+"'"granicę niewłaściwą""'
+<math>+\infty,</math>
+jeśli
+<center><math>
+\forall M\in\mathbb{R}\
+\exists N\in\mathbb{N}\
+\forall n\ge N:\
+\
+a_n\ge M.
+</math></center>
+{{red}[[Rysunek AM1.M04.W.R07 (stary numer AM1.4.15)]]}<br>
+Mówimy wówczas, że ciąg <math>\displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R}</math> jest
+"'"rozbieżny""' do
+<math>+\infty</math>
+i piszemy
+<math>\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=+\infty.</math><br>
+Mówimy, że ciąg liczbowy <math>\displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R}</math>
+ma
+"'"granicę niewłaściwą""'
+<math>-\infty,</math>
+jeśli
+<center><math>
+\forall M\in\mathbb{R}\
+\exists N\in\mathbb{N}\
+\forall n\ge N:\
+\
+a_n\le M.
+</math></center>
+Mówimy wówczas, że ciąg <math>\displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R}</math> jest
+"'"rozbieżny""' do
+<math>-\infty</math>
+i piszemy
+<math>\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=-\infty.</math>
+}}
+{{red}[[Rysunek AM1.M04.W.R08 (stary numer AM1.4.16)]]}
+Zwróćmy uwagę na to, że granica niewłaściwa nie jest granicą
+(w sensie Definicji [[##d.new.am1.w.04.050|Uzupelnic d.new.am1.w.04.050|]]), gdyż nie jest to
+element <math>\displaystyle\mathbb{R}</math> (nie jest to liczba rzeczywista).
+Należy tu również zwrócić uwagę na pewną niekonsekwencję w
+terminologii.
+Mówiąc o granicy, czasem będziemy dodawać
+"granica właściwa" lub
+"granica skończona", aby wyraźnie zaznaczyć, że nie mówimy
+o granicy niewłaściwej.
+O ciągu, który ma granicę (właściwą) mówimy, że jest "'"zbieżny""'.
+O ciągu, który ma granicę niewłaściwą mówimy, że jest
+"'"rozbieżny""' do <math>+\infty</math> lub <math>-\infty.</math>
+O ciągu który nie ma granicy
+właściwej mówimy, że jest
+"'"rozbieżny""'.
+{{twierdzenie|[Uzupelnij]||
+"'(O granicy iloczynu ciągów ograniczonego i zbieżnego do zera)"'<br>
+Jeśli
+<math>\displaystyle\{a_n\},\{b_n\}\subseteq\mathbb{R}</math> są ciągami takimi, że
+<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=0</math> oraz <math>\displaystyle\{b_n\}</math> jest ograniczony,
+to
+<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_nb_n=0.</math>
+}}
+{{dowod|[Uzupelnij]||
+Niech <math>M>0</math> będzie stałą ograniczającą ciąg <math>\displaystyle\{b_n\}</math>
+(która istnieje z założenia), to znaczy
+<center><math>
+\forall n\in \mathbb{N}:\ |b_n|\le M.
+</math></center>
+Ustalmy <math>\displaystyle\varepsilon>0.</math>
+Ponieważ <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=0,</math> więc
+<center><math>
+\exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\
+|a_n|\le\frac{\varepsilon}{M}.
+</math></center>
+Zatem dla <math>n\ge N</math> mamy
+<center><math>
+|a_nb_n|
+\ \le\
+\frac{\varepsilon}{M}\cdot M
+\ =\
+\varepsilon.
+</math></center>
+Ponieważ <math>\displaystyle\varepsilon>0</math> było dowolne, więc pokazaliśmy, że
+<center><math>
+\forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}:\
+|a_nb_n|\le\varepsilon,
+</math></center>
+czyli udowodniliśmy, że
+<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_nb_n=0.</math>
+}}
+{black}
+{{przyklad|[Uzupelnij]||
+Obliczyć granicę
+<math>\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{\sin n}{n}</math>.
+}}
+<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
+Jeśli zdefiniujemy
+<math>\displaystyle a_n=\frac{1}{n}</math> oraz <math>\displaystyle b_n=\sin n</math> dla <math>n\in\mathbb{N}</math>,
+to <math>\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=0</math> oraz ciąg <math>\{b_n\}</math> jest ograniczony,
+gdyż
+<center><math>
+\forall n\in\mathbb{N}:\
+|\sin n|
+\ \le\
+.
+</math></center>
+Zatem z Twierdzenia [[##t.new.am1.w.04.070|Uzupelnic t.new.am1.w.04.070|]]
+wnioskujemy, że
+<math>\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{\sin n}{n}= \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_nb_n=0</math>.
+{}<math>\Box</math></div></div>
+Dla ciągów liczbowych możliwe jest wykonywanie działań na
+elementach tych ciągów oraz na ich granicach.
+Poniższe twierdzenie podaje związki jakie zachodzą między tymi
+działaniami.
+{{twierdzenie|[Uzupelnij]||
+"'(O "arytmetyce" granic ciągów)"'<br>
+Jeśli
+<math>\displaystyle\{a_n\},\{b_n\}\subseteq\mathbb{R}</math>
+są ciągami liczbowymi zbieżnymi oraz <math>c\in\mathbb{R},</math>
+to<br>
+"'(1)"'
+<math>\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} (a_n\pm b_n)
+=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n \pm \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n</math>;<br>
+"'(2)"'
+<math>\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} (c\cdot a_n)
+=c\cdot\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n</math>;<br>
+"'(3)"'
+<math>\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} (a_nb_n)
+=\bigg(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n\bigg)\bigg(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n\bigg)</math>;<br>
+"'(4)"'
+<math>\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{a_n}{b_n}
+=\frac{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n}{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n}</math>
+(o ile
+<math>b_n\ne 0</math> dla <math>n\in\mathbb{N}</math> oraz <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n\ne 0</math>);<br>
+"'(5)"'
+<math>\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n^{b^n}
+=\bigg(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n\bigg)^{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n}</math>
+(o ile działania po obu stronach są wykonalne);<br>
+"'(6)"'
+<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n =a\quad
+\Longrightarrow\quad
+\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} |a_n|=|a|</math>;<br>
+"'(7)"'
+<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n =0\quad
+\Longleftrightarrow\quad
+\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} |a_n|=0.</math>
+}}
+{{dowod|[Uzupelnij]||
+"'(Ad 1)"'
+Niech <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=a</math> oraz <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=b.</math>
+Pokażemy, że <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} (a_n+b_n)=a+b.</math><br>
+W tym celu ustalmy <math>\displaystyle\varepsilon>0.</math>
+Z definicji granicy ciągu zastosowanej do ciągów
+<math>\displaystyle\{a_n\}</math> i <math>\displaystyle\{b_n\}</math> wiemy, że
+<center><math>
+\exists N_1\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N_1:\ |a_n-a|<\frac{\varepsilon}{2}
+</math></center>
+oraz
+<center><math>
+\exists N_2\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N_2:\ |b_n-b|<\frac{\varepsilon}{2}.
+</math></center>
+Niech <math>N=\max\{N_1,N_2\}.</math>
+Wówczas dla dowolnego <math>n\ge N,</math> mamy:
+<center><math>
+\big|(a_n+b_n)-(a+b)\big|
+\ \le\
+|a_n-a|+|b_n-b|
+\ <\
+\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}
+\ =\
+\varepsilon.
+</math></center>
+Ponieważ <math>\displaystyle\varepsilon>0</math> było dowolnie wybrane, więc pokazaliśmy, że
+<center><math>
+\forall \varepsilon>0\ \exists N\in \mathbb{N}:\
+\big|(a_n+b_n)-(a+b)\big|
+\ <\
+\varepsilon,
+</math></center>
+czyli
+<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}(a_n+b_n)=a+b.</math><br>
+Analogicznie pokazuje się, że
+<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} (a_n-b_n)=a-b.</math><br>
+"'(Ad (3)--(4), (6)--(7))"' Dowody tych części są
+pozostawione na ćwiczenia
+(patrz Zadania [[##z.new.am1.c.04.0050|Uzupelnic z.new.am1.c.04.0050|]] i
+[[##z.new.am1.c.04.0060|Uzupelnic z.new.am1.c.04.0060|]]).<br>
+"'(Ad (2))"' Wynika to od razu z punktu (3) (dlaczego?).<br>
+"'(Ad (5))"' Pozostawiamy to bez dowodu.
+}}
+{black}
+{{przyklad|[Uzupelnij]||
+Obliczyć granice ciągów:<br>
+"'(1)"' <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} (-1)^n\frac{2n+1}{3n^2}</math>;<br>
+"'(2)"' <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \bigg(2+\frac{1}{n}\bigg)^{\frac{1}{2^n}}</math>
+}}
+<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
+"'(Ad (1))"'
+Niech <math>\displaystyle a_n=(-1)^n\frac{2n+1}{3n^2}.</math>
+Policzmy najpierw granice modułów:
+<center><math>\aligned
+\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} |a_n|
+& = &
+\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{2n+1}{3n^2}
+\ =\
+\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\bigg(\frac{2n}{3n^2}+\frac{1}{3n^2}\bigg)
+\ =\
+\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\bigg(\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{n}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{n}\bigg)\\
+& = &
+\frac{2}{3}\cdot\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{n}+
+\frac{1}{3}\cdot\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{n}\cdot\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{n}
+\ =\
+\frac{2}{3}\cdot 0+\frac{1}{3}\cdot 0\cdot 0
+\ =\
+.
+\endaligned</math></center>
+W powyższych rachunkach korzystaliśmy z arytmetyki granic
+(patrz Twierdzenia [[##t.new.am1.w.04.080|Uzupelnic t.new.am1.w.04.080|]](1)--(3)) oraz ze znajomości
+granicy <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{n}</math>
+(patrz Przykład [[##p.new.am1.w.03.210|Uzupelnic p.new.am1.w.03.210|]]).
+Ponieważ otrzymaliśmy <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} |a_n|=0,</math>
+więc korzystając z Twierdzenia [[##t.new.am1.w.04.080|Uzupelnic t.new.am1.w.04.080|]](7)
+wnioskujemy, że także <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=0.</math><br>
+<br>
+"'(2)"'
+Ponieważ
+<center><math>
+\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \bigg(2+\frac{1}{n}\bigg)
+\ =\
+</math></center>
+oraz
+<center><math>
+\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{1}{2^n}
+\ =\
+</math></center>
+(patrz Przykład [[##p.new.am1.w.03.220|Uzupelnic p.new.am1.w.03.220|]]),
+zatem korzystając z Twierdzenia [[##t.new.am1.w.04.080|Uzupelnic t.new.am1.w.04.080|]](5) dostajemy
+<center><math>
+\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \bigg(2+\frac{1}{n}\bigg)^{\frac{1}{2^n}}
+\ =\
+^0
+\ =\
+.
+</math></center>
+{}<math>\Box</math></div></div>
+Poniższe twierdzenie mówi, że jeśli wyrazy pewnego ciągu <math>\displaystyle\{b_n\}</math> leżą
+pomiędzy wyrazami dwóch innych ciągów <math>\displaystyle\{a_n\}</math> i <math>\displaystyle\{b_n\}</math>
+(przynajmniej od pewnego miejsca) mających tę samą granicę <math>g</math>
+(właściwą lub niewłaściwą),
+to ciąg <math>\displaystyle\{b_n\}</math> ma tę samą granicę <math>g.</math><br>
+{{red}[[Rysunek AM1.M04.W.R09 (stary numer AM1.4.17)]]}
+{{twierdzenie|[Uzupelnij]||
+"'(O trzech ciągach)"'<br>
+Jeśli
+<math>\displaystyle\{a_n\},\{b_n\},\{c_n\}\subseteq\mathbb{R}</math> są ciągami takimi, że
+<center><math>
+\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} c_n=g\in\overline{\mathbb{R}}
+\quad\textrm{oraz}\quad
+\exists N\in \mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ a_n\le b_n\le c_n,
+</math></center>
+to
+<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=g.</math>
+}}
+{{dowod|[Uzupelnij]||
+Dowód podamy jedynie w przypadku, gdy <math>g\in\mathbb{R}</math>.
+Załóżmy, że
+<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} c_n=g</math> oraz
+<math>\displaystyle\exists N\in N\ \forall n\ge N:\ a_n\le b_n\le c_n.</math>
+Należy pokazać, że <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=g.</math>
+W tym celu ustalmy dowolne <math>\displaystyle\varepsilon>0.</math>
+Z definicji granicy ciągu, mamy
+<center><math>\aligned
+&& \exists N_1\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ |a_n-g|<\varepsilon,\\
+&& \exists N_2\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ |c_n-g|<\varepsilon.
+\endaligned</math></center>
+Niech <math>N_3=\max\{N,N_1,N_2\}.</math>
+Z powyższych nierówności wynika w szczególności, że
+<center><math>
+\forall n\ge N_3:\
+g-\varepsilon\ <\ a_n
+\ \le\ b_n\ \le\
+c_n\ <\ g+\varepsilon,
+</math></center>
+zatem
+<center><math>
+\forall n\ge N_3:\
+|b_n-g|<\varepsilon,
+</math></center>
+co dowodzi, że <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=g.</math>
+}}
+{black}
+{{przyklad|[Uzupelnij]||
+Obliczyć granicę ciągu
+<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} [2+(-1)^n]\frac{3n^2+2n}{4n^4+3n+1}.</math>
+}}
+<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
+Niech
+<math>\displaystyle x_n=[2+(-1)^n]\frac{3n^2+2n}{4n^4+3n+1}.</math>
+Zauważmy, że <math>x_n=y_n b_n,</math>
+gdzie <math>y_n =2+(-1)^n</math> oraz
+<math>\displaystyle b_n=\frac{3n^2+2n}{4n^4+3n+1}.</math>
+W celu obliczenia <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n</math>
+zauważmy, że
+<center><math>
+\beginarray {ccccc}
+\displaystyle\frac{3n^2}{4n^4+3n^4+n^4} & \le & \displaystyle\frac{3n^2+2n}{4n^4+3n+1} & \le & \displaystyle\frac{3n^2+2n^2}{4n^4}\\
+\shortparallel                          &     &                                        &     & \shortparallel\\
+\displaystyle\frac{3n^2}{8n^4}          &     &                                        &     & \displaystyle\frac{5n^2}{4n^4}\\
+\shortparallel                          &     &                                        &     & \shortparallel\\
+\displaystyle\frac{3}{8}\frac{1}{n^2}   &     &                                        &     & \displaystyle\frac{5}{4}\frac{1}{n^2}\\
+\downarrow                              &     &                                        &     & \downarrow\\
+                                       &     &                                        &     & 0\\
+\endarray
+</math></center>
+przy czym ostatnie zbieżności do zera, wynikają z twierdzenia o
+granicy iloczynu ciągu
+(patrz Twierdzenie [[##t.new.am1.w.04.080|Uzupelnic t.new.am1.w.04.080|]](3)), to znaczy
+<center><math>
+\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{3}{8}\cdot\frac{1}{n^2}
+\ =\
+\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{3}{8}\cdot\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{n}\cdot\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{n}
+\ =\
+\frac{3}{8}\cdot 0\cdot  0
+\ =\
+</math></center>
+i podobnie
+<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{5}{4}\frac{1}{n^2}=0.</math>
+Teraz korzystając z twierdzenia o trzech ciągach
+(patrz Twierdzenie [[##t.new.am1.w.04.100|Uzupelnic t.new.am1.w.04.100|]])
+dostajemy
+<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=0.</math>
+Odnośnie ciągu <math>\displaystyle\{y_n\}</math> zauważmy, że
+<center><math>
+\forall n\in\mathbb{N}:\
+\ \le\
+y_n
+\ \le\
+,
+</math></center>
+a zatem ciąg <math>\displaystyle\{y_n\}</math> jest ograniczony.
+W końcu korzystając z twierdzenia o iloczynie ciągu zbieżnego do
+zera i ograniczonego
+(patrz Twierdzenie [[##t.new.am1.w.04.070|Uzupelnic t.new.am1.w.04.070|]])
+dostajemy
+<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n=0.</math>
+{}<math>\Box</math></div></div>
+Kolejne twierdzenie mówi w jaki sposób nierówności między
+wyrazami dwóch ciągów przenoszą się na nierówności między granicami tych
+ciągów i na odwrót.
+Mianowicie, jeśli
+<math>\{a_n\}</math> i <math>\{b_n\}</math> są dwoma ciągami mającymi granice
+(właściwe lub niewłaściwe) oraz
+wyrazy ciągu <math>\{b_n\}</math> są większe lub równe od wyrazów
+ciągu <math>\{a_n\}</math> to nierówność ta zachowuje się w granicy.
+Na odwrót, jeśli granica ciągu <math>\{b_n\}</math> jest silnie większa od
+granicy ciągu <math>\{a_n\}</math>, to nierówność ta zachodzi także dla
+wyrazów ciągów <math>\{a_n\}</math> i <math>\{b_n\}</math>, przynajmniej od pewnego
+miejsca.
+{{twierdzenie|[Uzupelnij]||
+"'(O dwóch ciągach)"'<br>
+Jeśli
+<math>\displaystyle\{a_n\},\{b_n\}\subseteq\mathbb{R}</math> są ciągami takimi, że
+<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=a\in\overline{\mathbb{R}}</math> oraz
+<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=b\in\overline{\mathbb{R}},</math>
+to
+prawdziwe są implikacje:<br>
+"'(1)"'
+<math>\displaystyle\bigg[a=+\infty\ \wedge\ \forall n\in\mathbb{N}:\ a_n\le b_n\bigg]\ \Longrightarrow\
+\bigg[b=+\infty\bigg]</math>;<br>
+"'(2)"'
+<math>\displaystyle\bigg[b=-\infty\ \wedge\ \forall n\in\mathbb{N}:\ a_n\le b_n\bigg]\ \Longrightarrow\
+\bigg[a=-\infty\bigg]</math>;<br>
+"'(3)"'
+<math>\displaystyle\bigg[\forall n\in\mathbb{N}:\ a_n\le b_n\bigg]\ \Longrightarrow\ \bigg[a\le
+b\bigg]</math>;<br>
+"'(4)"'
+<math>\displaystyle\bigg[a<b\bigg]\ \Longrightarrow\ \bigg[\exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\
+a_n<
+b_n\bigg].</math>
+}}
+{blue}
+{{dowod|[Uzupelnij]||
+{blue}(Dowód nadobowiązkowy.)<br>
+"'(Ad (1))"'
+Zakładamy, że <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=+\infty</math> oraz
+<math>\displaystyle\forall n\in\mathbb{N}:\ a_n\le b_n.</math><br>
+Ustalmy dowolne <math>M>0.</math>
+Ponieważ <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=+\infty,</math> więc
+<center><math>
+\exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\
+a_n\ge M.
+</math></center>
+Zatem dla dowolnego <math>n\ge N</math> mamy
+<center><math>
+b_n
+\ \ge\
+a_n
+\ \ge\
+M.
+</math></center>
+Ponieważ <math>M>0</math> było dowolne, więc
+pokazaliśmy, że
+<center><math>
+\forall M>0\
+\exists N\in N\
+\forall n\ge N:\
+b_n\ge M,
+</math></center>
+a to oznacza, że <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=+\infty.</math><br>
+"'(Ad (2))"' Dowód analogiczny do dowodu "'(1)"'.<br>
+"'(Ad (3)"'
+Niech <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=a\in\overline{\mathbb{R}},\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=b\in\overline{\mathbb{R}}</math>
+oraz <math>\displaystyle\forall n\in\mathbb{N}:\ a_n\le b_n.</math><br>
+"Przypadek <math>1^o.</math>" Niech <math>a,b\in\mathbb{R}.</math>
+Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że
+<math>a>b.</math>
+Ustalmy
+<math>\displaystyle\varepsilon=\frac{a-b}{2}>0.</math>
+Z definicji granicy ciągu mamy
+<center><math>\aligned
+&& \displaystyle
+\exists N_1>0\ \forall n\ge N_1:\ |a_n-a|<\frac{a-b}{2},\\
+&& \displaystyle
+\exists N_2>0\ \forall n\ge N_2:\ |b_n-b|<\frac{a-b}{2},
+\endaligned</math></center>
+i w szczególności
+<center><math>\aligned
+&& \displaystyle
+\exists N_1\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N_1:\ a_n>\frac{a+b}{2},\\
+&& \displaystyle
+\exists N_2\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N_2:\ b_n<\frac{a+b}{2},
+\endaligned</math></center>
+Niech <math>k=\max \{N_1,N_2\}.</math>
+Wówczas dla wyrazów <math>a_k</math> i <math>b_k</math> mamy
+<center><math>
+a_k
+\ >\
+\frac{a+b}{2}
+\ >\
+b_k,
+</math></center>
+co jest sprzeczne z założeniem.
+Zatem pokazaliśmy, że <math>a\le b.</math><br>
+<br>
+"Przypadek <math>2^o.</math>"
+<math>a=+\infty</math> lub <math>b=-\infty.</math>
+Wówczas teza wynika z (1) lub (2).<br>
+<br>
+"Przypadek <math>3^o.</math>"
+<math>a=-\infty</math> lub <math>b=+\infty.</math>
+Wówczas zawsze zachodzi nierówność <math>a\le b.</math><br>
+<br>
+"'(Ad (4))"'
+"Przypadek <math>1^o.</math>"
+Niech <math>a,b\in\mathbb{R}.</math>
+Ustalmy <math>\displaystyle \varepsilon=\frac{b-a}{2}.</math>
+Ponieważ <math>b>a</math>, więc <math>\varepsilon>0</math>.
+Z definicji granicy ciągu
+i granicy niewłaściwej, mamy
+<center><math>\aligned
+&& \displaystyle \exists N_1\in\mathbb{N}\
+\forall n\ge N_1:\ |a_n-a|<\frac{b-a}{2},\\
+&& \displaystyle \exists N_2\in\mathbb{N}\
+\forall n\ge N_2:\ |b_n-b|<\frac{b-a}{2}.
+\endaligned</math></center>
+Niech <math>N=\max\{N_1,N_2\}.</math>
+W szczególności mamy
+<center><math>
+\forall n\ge N:\ a_n
+\ <\
+\frac{a+b}{2}
+\ <\
+b_n,
+</math></center>
+co należało pokazać.<br>
+<br>
+"Przypadek <math>2^o.</math>"
+<math>a=-\infty.</math>
+Niech <math>\displaystyle\varepsilon=1</math> i <math>M=b-1.</math>
+Z definicji granicy ciągu mamy
+<center><math>\aligned
+&& \displaystyle \exists N_1\in\mathbb{N}\
+\forall n\ge N_1: a_n<b-1,\\
+&& \displaystyle \exists N_2\in\mathbb{N}\
+\forall n\ge N_2: |b_n-b|<1.
+\endaligned</math></center>
+Niech <math>N=\max\{N_1,N_2\}.</math>
+W szczególności mamy
+<center><math>
+\forall n\ge N:\ a_n
+\ <\
+b-1
+\ <\
+b_n,
+</math></center>
+co należało pokazać.<br>
+<br>
+"Przypadek <math>3^o.</math>"
+<math>b=+\infty.</math>
+Dowód jest analogiczny jak w przypadku <math>2^o.</math>
+}}
+{black}
+Kolejne twierdzenie mówi, iż dla ciągów monotonicznych pojęcie
+granicy pokrywa się z pojęciem kresu górnego
+(ewentualnie kresu dolnego) zbioru wartości ciągu.
+{{twierdzenie|[Uzupelnij]||
+Jeśli
+<math>\displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R}</math> jest ciągiem,
+to<br>
+"'(1)"'
+jeśli <math>\displaystyle\{a_n\}</math> jest rosnący to <math>\displaystyle\{a_n\}</math>
+ma granicę (właściwą lub niewłaściwą)
+oraz
+<center><math>
+\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n
+\ =\
+\sup\big\{a_n:\ n\in\mathbb{N}\big\};
+</math></center>
+"'(2)"'
+jeśli <math>\displaystyle\{a_n\}</math> jest malejący to <math>\displaystyle\{a_n\}</math>
+ma granicę (właściwą lub niewłaściwą)
+oraz
+<center><math>
+\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n
+\ =\
+\inf\big\{a_n:\ n\in\mathbb{N}\big\}.
+</math></center>
+}}
+{blue}
+{{dowod|[Uzupelnij]||
+{blue}(Dowód nadobowiązkowy.)<br>
+"'(Ad (1))"'
+Załóżmy, że <math>\displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R}</math> jest ciągiem rosnącym
+oraz niech
+<center><math>
+g\ \stackrel{df}{=}\ \sup\big\{a_n:\ n\in\mathbb{N}\big\}
+</math></center>
+(supremum zbioru liczbowego zawsze istnieje i jest elementem <math>\displaystyle\mathbb{R}</math> lub wynosi <math>+\infty,</math>
+gdyż zbiór jest niepusty).
+Pokażemy, że <math>g</math> jest granicą ciągu <math>\displaystyle\{a_n\}.</math><br>
+Rozważmy dwa przypadki:<br>
+Przypadek <math>1^o.</math>
+Niech <math>g\in\mathbb{R}.</math>
+Ustalmy dowolne <math>\displaystyle\varepsilon>0.</math>
+Z własności supremum mamy, że
+<center><math>
+\exists N\in\mathbb{N}:\ g-\varepsilon<a_N
+</math></center>
+("de facto" z własności supremum wynika, że
+takich indeksów <math>N</math> istnieje nieskończenie wiele, ale nam
+wystarczy wybór jednego z nich).
+Ponieważ ciąg <math>\displaystyle\{a_n\}</math> jest rosnący
+oraz <math>\displaystyle\forall n\in N:\ a_n\le g</math>
+(z definicji supremum), więc
+<center><math>
+\forall n\ge N:\ g-\varepsilon<a_N\le a_n\le g.
+</math></center>
+Ponieważ <math>\displaystyle\varepsilon>0</math> był dowolnie wybrany,
+więc pokazaliśmy, że
+<center><math>
+\forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\
+|a_n-g|\ <\ \varepsilon.
+</math></center>
+zatem pokazaliśmy, że
+<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=g.</math><br>
+Przypadek <math>2^o.</math>
+Niech <math>g=+\infty.</math>
+Ustalmy <math>M\in\mathbb{R}.</math>
+Z definicji supremum mamy, że
+<center><math>
+\exists N\in\mathbb{N}: M<a_N.
+</math></center>
+Ponieważ ciąg <math>\displaystyle\{a_n\}</math> jest rosnący, więc
+<center><math>
+\forall n\ge N:\ M<a_N\le a_n.
+</math></center>
+Ponieważ <math>M\in\mathbb{R}</math> był dowolnie wybrane,
+więc pokazaliśmy, że
+<center><math>
+\forall M\in\mathbb{R}\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\
+M\ <\ a_n.
+</math></center>
+Zatem w obu przypadkach pokazaliśmy, że
+<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=g.</math><br>
+"'(Ad (2))"' Dowód jest analogiczny jak dla (1).
+}}
+{black}
+{{twierdzenie|[Uzupelnij]||
+"'(O ciągu monotonicznym i ograniczonym)"'<br>
+"'(1)"'
+Jeśli <math>\displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R}</math> jest ciągiem rosnącym i
+ograniczonym z góry, to jest on zbieżny.<br>
+{{red}[[Rysunek AM1.M04.W.R10 (stary numer AM1.4.18)]]}
+"'(2)"'
+Jeśli <math>\displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R}</math> jest ciągiem malejącym i
+ograniczonym z dołu, to jest on zbieżny.<br>
+"'(3)"'
+Ciąg monotoniczny jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy
+jest ograniczony.
+}}
+{{dowod|[Uzupelnij]||
+"'(Ad (1))"'
+Jeśli ciąg <math>\displaystyle\{a_n\}</math> jest rosnący, to z Twierdzenia
+[[##t.new.am1.w.04.130|Uzupelnic t.new.am1.w.04.130|]](1) wynika, że ma granicę (właściwą lub
+niewłaściwą) oraz
+<center><math>
+\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n
+\ =\
+\sup\big\{a_n:\ n\in\mathbb{N}\big\}.
+</math></center>
+Ponieważ jest on dodatkowo ograniczony, więc
+<center><math>
+\sup\big\{a_n:\ n\in\mathbb{N}\big\}
+\ <\
++\infty,
+</math></center>
+zatem granica jest właściwa, czyli
+ciąg jest zbieżny.<br>
+"'(Ad (2))"'
+Dowód analogiczny jak w (1).<br>
+"'(Ad (3))"'
+Jeśli ciąg jest monotoniczny i ograniczony, to
+zachodzi założenie jednego z punktów (1) lub (2)
+(to znaczy jest on malejący i ograniczony lub rosnący i ograniczony).
+W obu przypadkach wiemy, że ciąg jest zbieżny.<br>
+Implikacja w drugą stronę jest zawsze prawdziwa (to znaczy
+ciąg zbieżny jest ograniczony, nawet bez
+założenia monotoniczności). Wynika to z Twierdzenia
+[[##t.new.am1.w.03.250|Uzupelnic t.new.am1.w.03.250|]].
+}}
+{black}
+{{twierdzenie|[Uzupelnij]||
+"'(Bolzano-Weierstrassa)"'<br>
+Każdy ciąg
+ograniczony
+<math>\displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R}</math>
+zawiera podciąg zbieżny.
+}}
+W dowodzie powyższego twierdzenia wykorzystamy następujący
+lemat:
+{{lemat|[Uzupelnij]||
+Każdy ciąg liczbowy
+<math>\displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R}</math> zawiera podciąg monotoniczny.<br>
+{{red}[[Rysunek AM1.M04.W.R11 (stary numer AM1.4.19)]]}
+}}
+{{dowod|[Uzupelnij]||
+"'(Szkic)"'
+Dla ciągu <math>\displaystyle\{a_n\}</math> zdefiniujmy następujący zbiór:
+<center><math>
+Z
+\ \stackrel{df}{=}\
+\bigg\{
+n\in\mathbb{N}:\
+\forall m\in\mathbb{N}
+\ \big[m>n\Longrightarrow a_m>a_n\big]
+\bigg\}.
+</math></center>
+Możliwe są dwa przypadki.<br>
+Jeśli
+<math>\displaystyle\# Z=\infty</math> (to znaczy zbiór <math>Z</math> jest nieskończony), to
+możemy z ciągu <math>\displaystyle\{a_n\}</math> wybrać podciąg rosnący
+(wystarczy, aby podciąg zawierał tylko te elementy ciągu <math>\displaystyle\{a_n\},</math>
+których indeksy należą do zbioru <math>Z</math>).<br>
+Jeśli
+<math>\displaystyle\# Z<\infty</math> (to znaczy zbiór <math>Z</math> jest skończony), to
+możemy skonstruować podciąg malejący w następujący sposób.
+Niech <math>n_1\in\mathbb{N}</math> będzie liczbą większą od wszystkich liczb ze
+zbioru <math>Z.</math> Ponieważ <math>n_1\not\in Z,</math>
+więc
+<center><math>
+\exists n_2>n_1:\
+a_{n_2}\le a_{n_1}.
+</math></center>
+Dalej konstrukcja ciągu indeksów przebiega indukcyjnie
+w ten sam sposób. Jeśli wybraliśmy już indeksy
+<math>n_1<\ldots <n_k,</math> to z definicji zbioru <math>Z</math> i faktu, że
+<math>n_k\not\in Z</math> wynika, że
+<center><math>
+\exists n_{k+1}>n_k:\
+a_{n_{k+1}}\le a_{n_k}.
+</math></center>
+Skonstruowany w ten sposób podciąg
+<math>\displaystyle\{a_{n_k}\}_{k\in\mathbb{N}}</math> jest malejący.
+}}
+{black}
+Możemy teraz powrócić do dowodu Twierdzenia
+Bolzano-Weierstrassa:
+{{dowod|[Uzupelnij]||
+Twierdzenia [[##t.new.am1.w.04.150|Uzupelnic t.new.am1.w.04.150|]]<br>
+Niech <math>\displaystyle\{a_n\}\in\mathbb{R}</math> będzie ciągiem ograniczonym.
+Z Lematu [[##l.new.am1.w.04.160|Uzupelnic l.new.am1.w.04.160|]] wynika, że możemy z niego wybrać
+podciąg monotoniczny <math>\displaystyle\{a_{n_k}\}_{k\in\mathbb{N}}.</math>
+Oczywiście podciąg <math>\displaystyle\{a_{n_k}\}_{k\in\mathbb{N}}</math> jest także ograniczony,
+zatem z Twierdzenia [[##t.new.am1.w.04.140|Uzupelnic t.new.am1.w.04.140|]](3) wynika, że
+podciąg <math>\displaystyle\{a_{n_k}\}_{k\in\mathbb{N}}</math> jest zbieżny.
+}}
+{black}
+{{wniosek|[Uzupelnij]||
+Z każdego ciągu liczbowego <math>\displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R}</math> można wybrać
+podciąg posiadający granicę
+(właściwą lub niewłaściwą).
+}}
+{{dowod|[Uzupelnij]||
+Z Lematu [[##l.new.am1.w.04.160|Uzupelnic l.new.am1.w.04.160|]] wiemy, że z ciągu <math>\displaystyle\{a_n\}</math> można wybrać
+podciąg monotoniczny.
+Jeśli jest on ograniczony, to z Twierdzenia [[##t.new.am1.w.04.140|Uzupelnic t.new.am1.w.04.140|]]
+wynika, że jest on zbieżny (ma granicę właściwą).
+Jeśli zaś jest nieograniczony, to
+skoro jest monotoniczny,
+to granicą jest
+<math>+\infty</math> lub <math>-\infty</math>.
+}}
+{black}