PEE Moduł 9

Wykład 9. Transmitancja operatorowa i charakterystyki częstotliwościowe obwodów

---

Definicja transmitancji operatorowej Weźmy pod uwagę obwód złożony z dowolnych elementów pasywnych RLCM i źródeł sterowanych nie zawierających wewnątrz żadnych źródeł niezależnych. Wyróżnijmy w tym obwodzie jedną parę zacisków uważanych za wejściowe, do których przykładamy źródło wymuszające oraz drugą parę zacisków wyjściowych, z których zbieramy prąd (zaciski zwarte) lub napięcie (zaciski rozwarte). Transmitancja operatorowa określa związek między transformatą operatorową sygnału wyjściowego (odpowiedzi), którą tutaj oznaczymy w ogólności przez Y(s) oraz transformatą operatorową wymuszenia (sygnału wejściowego), oznaczoną ogólnie przez X(s). Transmitancją operatorową nazywać będziemy stosunek transformaty sygnału wyjściowego (prądu lub napięcia) do transformaty sygnału wejściowego układu (źródła napięciowego lub prądowego) przy zerowych warunkach początkowych $T(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}$ W zależności od sygnału wejściowego i wyjściowego układu wyróżnić można cztery rodzaje transmitancji operatorowych: transmitancja napięciowa, prądowa, napięciowo-prądowa i prądowo-napięciowa.

---

Przyjmijmy oznaczenie bramy wejściowej cyfrą 1 a bramy wyjściowej cyfrą 2 jak to pokazano na slajdzie 3. Transmitancja napięciowa (napięciowo-napięciowa) Transmitancja napięciowa dotyczy stosunku dwu napięć zewnętrznych układu. Sygnałem wejściowym jest źródło napięciowe, a sygnałem wyjściowym napięcie na dowolnym elemencie uznane za napięcie wyjściowe. Jest ona definiowana w postaci $T_u(s)=\frac{U_2(s)}{U_1(s)}$ W definicji transmitancji napięciowej zakłada się, że napięcie wyjściowe układu mierzone jest w stanie jałowym tzn. przy $Z_0=\mathrm{\infty }$ (bez obciążenia zacisków wyjściowych, $I_2=0$). Transmitancja prądowa (prądowo-prądowa) Transmitancja prądowa dotyczy stosunku dwu prądów zewnętrznych układu, z których jeden jest prądem wymuszającym a drugi prądem gałęzi uznanym za prąd wyjściowy i jest definiowana w postaci $T_i(s)=\frac{I_2(s)}{I_1(s)}$

---

Transmitancja napięciowo-prądowa Transmitancja napięciowo-prądowa przyjmuje napięcie na dowolnym elemencie obwodu jako sygnał wyjściowy Y(s). Sygnałem wejściowym X(s) jest wymuszenie prądowe. Jest zatem zdefiniowana w postaci $T_{ui}(s)=\frac{U_2(s)}{I_1(s)}$ Napięcie $U_2$ mierzone jest w stanie jałowym $(Z_0=\mathrm{\infty })$ obwodu. Transmitancja prądowo-napięciowa Transmitancję prądowo-napięciową definiuje się jako stosunek prądu wyjściowego do napięcia wejściowego (sygnałem wejściowym X(s) jest napięcie wymuszające a sygnałem wyjściowym Y(s) prąd dowolnego elementu w obwodzie) $T_{iu}(s)=\frac{I_2(s)}{U_1(s)}$ Szczególnym przypadkiem transmitancji napięciowo-prądowej jest impedancja wejściowa układu, w definicji której przyjmuje się, że prąd i napięcie dotyczą tej samej bramy wejściowej. Jej definicja jest przyjmowana w postaci $Z_{we}(s)=\frac{U_1(s)}{I_1(s)}$ Definicja impedancji wejściowej układu zakłada dowolny stan obciążenia $Z_0$. Należy jednak zwrócić uwagę, że każda zmiana impedancji obciążenia zmienia impedancję wejściową. Stąd definiując impedancję wejściową należy sprecyzować, przy jakim obciążeniu jest ona wyznaczana. W identyczny sposób można zdefiniować impedancję wyjściową, w której prąd i napięcie dotyczą bramy wyjściowej układu Odwrotność impedancji wejściowej (lub wyjściowej) nazywana jest admitancją wejściową (wyjściową), która może być zinterpretowana jako szczególny przypadek transmitancji prądowo-napięciowej.

---

Transmitancja operatorowa obwodów RLC Przy wyznaczaniu transmitancji operatorowej obwodu zawierającego rezystancje, indukcyjności, indukcyjności sprzężone i pojemności wykorzystuje się model operatorowy poszczególnych elementów R, L, C i M wprowadzony w lekcji poprzedniej. Przy założeniu zerowych warunków początkowych dla indukcyjności i pojemności modele tych elementów nie zawierają źródeł a jedynie impedancje operatorowe Z(s). Zestaw impedancji operatorowych dla elementów pasywnych przedstawiono na slajdzie 5. Dla obwodów pasywnych zawierających elementy R, L, C i M obliczenie transmitancji operatorowej polega na zastąpieniu elementu rzeczywistego poprzez ich impedancje operatorowe a następnie wykorzystując dowolną metodę analizy (metoda praw Kirchhoffa, węzłowa, oczkowa, Thevenina, Nortona) należy wyznaczyć odpowiedź operatorową w funkcji wymuszenia. Wobec liniowości obwodu każda jego odpowiedź (dowolny prąd i dowolne napięcie) jest liniową funkcją wymuszenia. Obliczając transmitancję dzieli się odpowiedź przez wymuszenie, w wyniku czego zmienna będąca wymuszeniem ulega redukcji i w efekcie transmitancja zależy wyłącznie od parametrów RLC obwodu oraz źródeł sterowanych, będąc jednocześnie funkcją zmiennej zespolonej s. Metodę wyznaczania transmitancji operatorowej zilustrujemy na przykładzie obwodu LC przedstawionego na slajdzie 8. W ogólnym przypadku obwodu elektrycznego liniowego zawierającego rezystory, cewki i kondensatory oraz źródła sterowane dowolna transmitancja operatorowa ma postać funkcji wymiernej o stopniu licznika równym m i stopniu mianownika równym n $T(s)=\frac{L(s)}{M(s)}=\frac{b_m{s}^m+b_{m-1}{s}^{m-1}+\cdots +b_{1}s+b_0}{s^n+a_{n-1}{s}^{n-1}+\cdots +a_{1}s+a_0}$ Współczynniki $a_i$ mianownika oraz $b_i$ licznika są funkcjami parametrów elementów obwodu i dla ich konkretnych wartości przyjmują wartości rzeczywiste. Najwyższy stopień wielomianu jest równy (w szczególnych przypadkach mniejszy) liczbie elementów reaktancyjnych (cewek i kondensatorów) obwodu. Najczęściej w obwodach występujących w praktyce stopień mianownika jest nie mniejszy niż stopień licznika. Pojęcie impedancji operatorowej jest uogólnieniem impedancji zespolonej elementów stosowanej w metodzie symbolicznej przy analizie stanów ustalonych w obwodzie zawierającym wymuszenia sinusoidalne. Łatwo pokazać to zakładając $s=j\omega$ we wzorach określających odpowiednie impedancje operatorowe. Dla elementów indukcyjnych i pojemnościowych przy założeniu $s=j\omega$ otrzymuje się następujące zależności $Z_L(s){|}_{s=j\omega }=j\omega L=Z_L(j\omega )$ $Z_M(s){|}_{s=j\omega }=\pm j\omega M=Z_M(j\omega )$ $Z_C(s){|}_{s=j\omega }=\frac{1}{j\omega C}=Z_C(j\omega )$ Impedancje $Z(j\omega )$ reprezentują impedancje symboliczne elementów RLC, obowiązujące w analizie stanów ustalonych przy wymuszeniach sinusoidalnych. Założenie $s=j\omega$ upraszcza zatem opis obwodu w stanie nieustalonym do opisu obwodu w stanie ustalonym przy założeniu wymuszenia sinusoidalnego.

---

Odpowiedź impulsowa i skokowa układu Opis obwodu w dziedzinie zmiennej zespolonej s pozwala badać jego zachowanie przy pobudzeniu dowolnym wymuszeniem. Szczególnie ważne są właściwości dynamiczne obwodów (stan nieustalony) przy pobudzeniu za pomocą pewnych wymuszeń standardowych. Do takich wymuszeń należy impuls Diraca $\delta (t)$ oraz funkcja skoku jednostkowego $1(t)$. Odpowiedź impulsowa Odpowiedzią impulsową układu nazywamy jego odpowiedź czasową na wymuszenie w postaci impulsu Diraca przy zerowych warunkach początkowych obwodu. Dla wyznaczenia odpowiedzi impulsowej wykorzystuje się pojęcie transmitancji operatorowej T(s). Transformata funkcji impulsowej Diraca jest równa 1, zatem obliczając odpowiedź obwodu przyjmiemy wymuszenie X(s)=1. Bezpośrednio z definicji transmitancji wynika $T(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{Y(s)}{1}\to Y(s)=T(s)$ Odpowiedź impulsowa układu jest transformatą odwrotną Laplace’a sygnału Y(s). Stąd $y(t)=L^{-1}[Y(s)]=L^{-1}[T(s)]$ Z powyższej zależności wynika, że odpowiedź impulsowa jest transformatą odwrotną Laplace’a transmitancji operatorowej T(s) układu. Odpowiedź skokowa Odpowiedzią skokową układu nazywamy odpowiedź czasową tego układu na wymuszenie w postaci skoku jednostkowego $1(t)$ przy zerowych warunkach początkowych obwodu. Biorąc pod uwagę, że transformata Laplace’a funkcji jednostkowej $1(t)$ jest równa $1/s$ otrzymuje się $T(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{Y(s)}{1/s}\to Y(s)=\frac{1}{s}T(s)$ Odpowiedź skokowa jest transformatą odwrotną Laplace’a sygnału Y(s). Stąd $y(t)=L^{-1}[Y(s)]=L^{-1}[\frac{1}{s}T(s)]$ Odpowiedź skokowa układu jest więc transformatą odwrotną Laplace’a transmitancji operatorowej T(s) tego układu, podzielonej przez zmienną zespoloną s. Podobnie jak odpowiedź impulsowa odpowiedź skokowa jest określona w pełni przez transmitancję operatorową T(s) układu.

---

Przykład Dla zilustrowania rozważań teoretycznych obliczmy odpowiedź impulsową i skokową układu o zadanej transmitancji operatorowej $T(s)=\frac{1}{(s+1)(s+5)}$ Rozwiązanie Stosując metodę residuów dla zadanej postaci transmitancji T(s) otrzymujemy: odpowiedź impulsową $h(t)=L^{-1}\left[\frac{1}{(s+1)(s+5)}\right]=$ $=li{m}_{s\to -1}\frac{1}{s+5}{e}^{st}+li{m}_{s\to -5}\frac{1}{s+1}{e}^{st}=$ $=\frac{1}{4}{e}^{-t}-\frac{1}{4}{e}^{-5t}$ odpowiedź skokową $y(t)=L^{-1}\left[\frac{1}{s(s+1)(s+5)}\right]=$ $=li{m}_{s\to 0}\frac{1}{(s+1)(s+5)}{e}^{st}+li{m}_{s\to -1}\frac{1}{s(s+5)}{e}^{st}+$ $+li{m}_{s\to -5}\frac{1}{s(s+1)}{e}^{st}=$ $=0,2-0,25e^{-t}+0,05e^{-5t}$

---