Algebra liniowa z geometrią analityczną/Ćwiczenia 11: Formy kwadratowe: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
m Zastępowanie tekstu – „<math> ” na „<math>”
m Zastępowanie tekstu – „.↵</math>” na „</math>”
Linia 60: Linia 60:


<center><math>\varphi \colon V \times V \ni (v,w) \to \frac {1}{4}(f(v+w) - f(v-w)
<center><math>\varphi \colon V \times V \ni (v,w) \to \frac {1}{4}(f(v+w) - f(v-w)
)\in \mathbb{R} .
)\in \mathbb{R} </math></center>
</math></center>




Linia 114: Linia 113:




<center><math>f \colon \mathbb{R}^2 \ni (x_1,x_2) \to x_1^2 + 3x_2^2 -2x_1x_2 \in \mathbb{R}.
<center><math>f \colon \mathbb{R}^2 \ni (x_1,x_2) \to x_1^2 + 3x_2^2 -2x_1x_2 \in \mathbb{R}</math></center>
</math></center>




Linia 127: Linia 125:




<center><math>\varphi (v,w) =\frac {1}{4}(f(v+w) - f(v-w) ), \quad u,v\in\mathbb{R}^2.
<center><math>\varphi (v,w) =\frac {1}{4}(f(v+w) - f(v-w) ), \quad u,v\in\mathbb{R}^2</math></center>
</math></center>




Linia 167: Linia 164:




<center><math>f \colon \mathbb{R}^3 \ni (x_1,x_2,x_3) \to 2x_1^2 - x_2x_3 +3x_3^2\in\mathbb{R}.
<center><math>f \colon \mathbb{R}^3 \ni (x_1,x_2,x_3) \to 2x_1^2 - x_2x_3 +3x_3^2\in\mathbb{R}</math></center>
</math></center>




Linia 184: Linia 180:




<center><math>\varphi (v,w) =\frac {1}{4}(f(v+w) - f(v-w) ), \quad u,v\in\mathbb{R}^3.
<center><math>\varphi (v,w) =\frac {1}{4}(f(v+w) - f(v-w) ), \quad u,v\in\mathbb{R}^3</math></center>
</math></center>




Linia 211: Linia 206:


<center><math>\varphi ((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3))
<center><math>\varphi ((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3))
=2x_1y_1-\frac{1}{2}x_2y_3-\frac{1}{2}x_3y_2+3x_3y_3.
=2x_1y_1-\frac{1}{2}x_2y_3-\frac{1}{2}x_3y_2+3x_3y_3</math></center>
</math></center>




Linia 219: Linia 213:




<center><math>[a_{ij}]_{n\times n}=[\varphi(e_i,e_j)]_{n\times n}.
<center><math>[a_{ij}]_{n\times n}=[\varphi(e_i,e_j)]_{n\times n}</math></center>
</math></center>




Linia 232: Linia 225:
0 & -\frac{1}{2} &  3
0 & -\frac{1}{2} &  3
\end{array}  
\end{array}  
\right].
\right]</math></center>
</math></center>




Linia 280: Linia 272:
\frac{1}{2} & 0
\frac{1}{2} & 0
\end{array}  
\end{array}  
\right].
\right]</math></center>
</math></center>




Linia 312: Linia 303:




<center><math>\xi^2-\eta^2.
<center><math>\xi^2-\eta^2</math></center>
</math></center>




Linia 388: Linia 378:


<center><math>f(x_1,\ldots,x_n)=\frac{1}{\Delta_1}x_1^2+
<center><math>f(x_1,\ldots,x_n)=\frac{1}{\Delta_1}x_1^2+
\frac{\Delta_1}{\Delta_2}x_2^2+\ldots+\frac{\Delta_{m-1}}{\Delta_m}x_m^2.
\frac{\Delta_1}{\Delta_2}x_2^2+\ldots+\frac{\Delta_{m-1}}{\Delta_m}x_m^2</math></center>
</math></center>




Linia 397: Linia 386:
;i) Niech
;i) Niech


<center><math>f(x_1,x_2,x_3) = x_1^2 + 3 x_1x_2 + 2x_2^2 +4x_2x_3 +x_3^2.
<center><math>f(x_1,x_2,x_3) = x_1^2 + 3 x_1x_2 + 2x_2^2 +4x_2x_3 +x_3^2</math></center>
</math></center>




Linia 409: Linia 397:
0 & 2 & 1
0 & 2 & 1
\end{array}  
\end{array}  
\right].
\right]</math></center>
</math></center>




Linia 435: Linia 422:
;ii) Niech
;ii) Niech


<center><math>g(x_1,x_2,x_3) = 2x_1^2 + x_2^2 + 2x_1x_3 +4x_2x_3 +3x_3^2.
<center><math>g(x_1,x_2,x_3) = 2x_1^2 + x_2^2 + 2x_1x_3 +4x_2x_3 +3x_3^2</math></center>
</math></center>




Linia 447: Linia 433:
1 & 2 & 3
1 & 2 & 3
\end{array}  
\end{array}  
\right].
\right]</math></center>
</math></center>




Linia 478: Linia 463:


<center><math>f \colon \mathbb{R}^3 \ni (x_1,x_2,x_3) \to (x_1-x_2+2x_3, -x_1+3x_2,
<center><math>f \colon \mathbb{R}^3 \ni (x_1,x_2,x_3) \to (x_1-x_2+2x_3, -x_1+3x_2,
2x_1-x_3) \in \mathbb{R}^3.
2x_1-x_3) \in \mathbb{R}^3</math></center>
</math></center>




Linia 504: Linia 488:
\end{array} \right]\left[\begin{array} {c} y_1\\y_2\\y_3
\end{array} \right]\left[\begin{array} {c} y_1\\y_2\\y_3
\end{array}  
\end{array}  
\right].
\right]</math></center>
</math></center>




Linia 511: Linia 494:




<center><math>(A\mathbf{x})^*\mathbf{y}=\mathbf{x}^*(A\mathbf{y}).
<center><math>(A\mathbf{x})^*\mathbf{y}=\mathbf{x}^*(A\mathbf{y})</math></center>
</math></center>





Wersja z 21:31, 11 wrz 2023

Zadanie 11.1

Niech U,V,W będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem 𝕂 i niech


Φ:U×VW


będzie odwzorowaniem dwuliniowym. Niech


F:Uufu(V,W),


gdzie fu(v):=Φ(u,v). Wykazać, że F jest odwzorowaniem liniowym.

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 11.2

Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem i niech f:V będzie formą kwadratową. Definiujemy


φ:V×V(v,w)14(f(v+w)f(vw))


Wykazać, że φ jest formą dwuliniową symetryczną, skojarzoną z f.

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 11.3

Dana jest forma kwadratowa


f:2(x1,x2)x12+3x222x1x2


Znaleźć odwzorowanie dwuliniowe symetryczne skojarzone z f.

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 11.4

Dana jest forma kwadratowa


f:3(x1,x2,x3)2x12x2x3+3x32


Wyznaczyć macierz f w bazie kanonicznej oraz rząd f.

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 11.5

Niech f:2(x1,x2)x1x2. Wykazać, że f jest formą kwadratową. Wyznaczyć macierz f przy bazie kanonicznej. Znaleźć bazę 2, przy której macierz f ma postać blokową występującą w tezie twierdzenia Sylvestera. Wyznaczyć sygnaturę f.

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 11.6

Sprowadzić do postaci kanonicznej następujące formy kwadratowe:


f(x1,x2,x3)=x12+3x1x2+2x22+4x2x3+x32,g(x1,x2,x3)=2x12+x22+2x1x3+4x2x3+3x32.


Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 11.7

Dane jest odwzorowanie liniowe


f:3(x1,x2,x3)(x1x2+2x3,x1+3x2,2x1x3)3


Zbadać, czy f jest odwzorowaniem symetrycznym.

Wskazówka
Rozwiązanie