|
|
Linia 60: |
Linia 60: |
|
| |
|
| <center><math>\varphi \colon V \times V \ni (v,w) \to \frac {1}{4}(f(v+w) - f(v-w) | | <center><math>\varphi \colon V \times V \ni (v,w) \to \frac {1}{4}(f(v+w) - f(v-w) |
| )\in \mathbb{R} . | | )\in \mathbb{R} </math></center> |
| </math></center> | |
|
| |
|
|
| |
|
Linia 114: |
Linia 113: |
|
| |
|
|
| |
|
| <center><math>f \colon \mathbb{R}^2 \ni (x_1,x_2) \to x_1^2 + 3x_2^2 -2x_1x_2 \in \mathbb{R}. | | <center><math>f \colon \mathbb{R}^2 \ni (x_1,x_2) \to x_1^2 + 3x_2^2 -2x_1x_2 \in \mathbb{R}</math></center> |
| </math></center> | |
|
| |
|
|
| |
|
Linia 127: |
Linia 125: |
|
| |
|
|
| |
|
| <center><math>\varphi (v,w) =\frac {1}{4}(f(v+w) - f(v-w) ), \quad u,v\in\mathbb{R}^2. | | <center><math>\varphi (v,w) =\frac {1}{4}(f(v+w) - f(v-w) ), \quad u,v\in\mathbb{R}^2</math></center> |
| </math></center> | |
|
| |
|
|
| |
|
Linia 167: |
Linia 164: |
|
| |
|
|
| |
|
| <center><math>f \colon \mathbb{R}^3 \ni (x_1,x_2,x_3) \to 2x_1^2 - x_2x_3 +3x_3^2\in\mathbb{R}. | | <center><math>f \colon \mathbb{R}^3 \ni (x_1,x_2,x_3) \to 2x_1^2 - x_2x_3 +3x_3^2\in\mathbb{R}</math></center> |
| </math></center> | |
|
| |
|
|
| |
|
Linia 184: |
Linia 180: |
|
| |
|
|
| |
|
| <center><math>\varphi (v,w) =\frac {1}{4}(f(v+w) - f(v-w) ), \quad u,v\in\mathbb{R}^3. | | <center><math>\varphi (v,w) =\frac {1}{4}(f(v+w) - f(v-w) ), \quad u,v\in\mathbb{R}^3</math></center> |
| </math></center> | |
|
| |
|
|
| |
|
Linia 211: |
Linia 206: |
|
| |
|
| <center><math>\varphi ((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3)) | | <center><math>\varphi ((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3)) |
| =2x_1y_1-\frac{1}{2}x_2y_3-\frac{1}{2}x_3y_2+3x_3y_3. | | =2x_1y_1-\frac{1}{2}x_2y_3-\frac{1}{2}x_3y_2+3x_3y_3</math></center> |
| </math></center> | |
|
| |
|
|
| |
|
Linia 219: |
Linia 213: |
|
| |
|
|
| |
|
| <center><math>[a_{ij}]_{n\times n}=[\varphi(e_i,e_j)]_{n\times n}. | | <center><math>[a_{ij}]_{n\times n}=[\varphi(e_i,e_j)]_{n\times n}</math></center> |
| </math></center> | |
|
| |
|
|
| |
|
Linia 232: |
Linia 225: |
| 0 & -\frac{1}{2} & 3 | | 0 & -\frac{1}{2} & 3 |
| \end{array} | | \end{array} |
| \right]. | | \right]</math></center> |
| </math></center> | |
|
| |
|
|
| |
|
Linia 280: |
Linia 272: |
| \frac{1}{2} & 0 | | \frac{1}{2} & 0 |
| \end{array} | | \end{array} |
| \right]. | | \right]</math></center> |
| </math></center> | |
|
| |
|
|
| |
|
Linia 312: |
Linia 303: |
|
| |
|
|
| |
|
| <center><math>\xi^2-\eta^2. | | <center><math>\xi^2-\eta^2</math></center> |
| </math></center> | |
|
| |
|
|
| |
|
Linia 388: |
Linia 378: |
|
| |
|
| <center><math>f(x_1,\ldots,x_n)=\frac{1}{\Delta_1}x_1^2+ | | <center><math>f(x_1,\ldots,x_n)=\frac{1}{\Delta_1}x_1^2+ |
| \frac{\Delta_1}{\Delta_2}x_2^2+\ldots+\frac{\Delta_{m-1}}{\Delta_m}x_m^2. | | \frac{\Delta_1}{\Delta_2}x_2^2+\ldots+\frac{\Delta_{m-1}}{\Delta_m}x_m^2</math></center> |
| </math></center> | |
|
| |
|
|
| |
|
Linia 397: |
Linia 386: |
| ;i) Niech | | ;i) Niech |
|
| |
|
| <center><math>f(x_1,x_2,x_3) = x_1^2 + 3 x_1x_2 + 2x_2^2 +4x_2x_3 +x_3^2. | | <center><math>f(x_1,x_2,x_3) = x_1^2 + 3 x_1x_2 + 2x_2^2 +4x_2x_3 +x_3^2</math></center> |
| </math></center> | |
|
| |
|
|
| |
|
Linia 409: |
Linia 397: |
| 0 & 2 & 1 | | 0 & 2 & 1 |
| \end{array} | | \end{array} |
| \right]. | | \right]</math></center> |
| </math></center> | |
|
| |
|
|
| |
|
Linia 435: |
Linia 422: |
| ;ii) Niech | | ;ii) Niech |
|
| |
|
| <center><math>g(x_1,x_2,x_3) = 2x_1^2 + x_2^2 + 2x_1x_3 +4x_2x_3 +3x_3^2. | | <center><math>g(x_1,x_2,x_3) = 2x_1^2 + x_2^2 + 2x_1x_3 +4x_2x_3 +3x_3^2</math></center> |
| </math></center> | |
|
| |
|
|
| |
|
Linia 447: |
Linia 433: |
| 1 & 2 & 3 | | 1 & 2 & 3 |
| \end{array} | | \end{array} |
| \right]. | | \right]</math></center> |
| </math></center> | |
|
| |
|
|
| |
|
Linia 478: |
Linia 463: |
|
| |
|
| <center><math>f \colon \mathbb{R}^3 \ni (x_1,x_2,x_3) \to (x_1-x_2+2x_3, -x_1+3x_2, | | <center><math>f \colon \mathbb{R}^3 \ni (x_1,x_2,x_3) \to (x_1-x_2+2x_3, -x_1+3x_2, |
| 2x_1-x_3) \in \mathbb{R}^3. | | 2x_1-x_3) \in \mathbb{R}^3</math></center> |
| </math></center> | |
|
| |
|
|
| |
|
Linia 504: |
Linia 488: |
| \end{array} \right]\left[\begin{array} {c} y_1\\y_2\\y_3 | | \end{array} \right]\left[\begin{array} {c} y_1\\y_2\\y_3 |
| \end{array} | | \end{array} |
| \right]. | | \right]</math></center> |
| </math></center> | |
|
| |
|
|
| |
|
Linia 511: |
Linia 494: |
|
| |
|
|
| |
|
| <center><math>(A\mathbf{x})^*\mathbf{y}=\mathbf{x}^*(A\mathbf{y}). | | <center><math>(A\mathbf{x})^*\mathbf{y}=\mathbf{x}^*(A\mathbf{y})</math></center> |
| </math></center> | |
|
| |
|
|
| |
|
Zadanie 11.1
Niech będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem i niech
będzie odwzorowaniem dwuliniowym. Niech
gdzie . Wykazać, że jest odwzorowaniem
liniowym.
Wskazówka Trzeba skorzystać z definicji odwzorowania liniowego.
Rozwiązanie Ustalmy dowolne wektory
,
należące do przestrzeni wektorowej
oraz dowolne skalary
,
z ciała
. Mamy wykazać, że
co oznacza, że mamy sprawdzić, czy odwzorowania
są równe. W tym celu wybierzmy dowolny wektor i policzmy
Oznacza to, że zachodzi wymagana równość odwzorowań
i dowód liniowości odwzorowania jest zakończony.
Zadanie 11.2
Niech będzie przestrzenią wektorową nad ciałem
i niech będzie formą kwadratową.
Definiujemy
Wykazać, że jest formą dwuliniową symetryczną,
skojarzoną z .
Wskazówka Trzeba wziąć dowolne dwuliniowe odwzorowanie
indukujące
i skorzystać z tego, że
Rozwiązanie Niech
będzie odwzorowaniem dwuliniowym indukującym formę
. Oznacza to, że dla dowolnego wektora
zachodzi
w szczególności dla dowolnych wektorów mamy:
co oznacza, że
Wynika stąd, że jako kombinacja liniowa odwzorowań
dwuliniowych jest odwzorowaniem dwuliniowym, a ponadto jest
odwzorowaniem symetrycznym, co było do okazania.
Zadanie 11.3
Dana jest forma kwadratowa
Znaleźć odwzorowanie dwuliniowe symetryczne skojarzone z .
Wskazówka
Można skorzystać ze wzoru podanego w zadaniu 11.2.
Rozwiązanie Z zadania
11.2 wynika, że odwzorowanie dwuliniowe symetryczne
skojarzone z
jest dane wzorem
Podstawiając oraz , otrzymujemy
Odejmując od siebie powyższe równości stronami, otrzymujemy
co na mocy zadania 11.2 oznacza, że odwzorowanie
dwuliniowe symetryczne
skojarzone z jest dane wzorem
Zadanie 11.4
Dana jest forma kwadratowa
Wyznaczyć macierz w bazie kanonicznej oraz rząd .
Wskazówka
Trzeba znaleźć macierz odwzorowania dwuliniowego skojarzonego z .
Rząd tej macierzy będzie równocześnie rzędem formy .
Rozwiązanie
Z zadania 11.2 wynika, że odwzorowanie dwuliniowe
symetryczne skojarzone
z jest dane wzorem
Podstawiając oraz , otrzymujemy
Odejmując od siebie powyższe równości stronami, otrzymujemy
co na mocy zadania 11.2 oznacza, że odwzorowanie
dwuliniowe symetryczne
skojarzone z jest dane wzorem
Zgodnie z definicją macierz jest macierzą odwzorowania
dwuliniowego w bazie kanonicznej jeżeli jest dana wzorem
Po wykonaniu odpowiednich obliczeń widzimy, że
Widać też, że rząd macierzy jest równy .
Zadanie 11.5
Niech . Wykazać,
że jest formą kwadratową. Wyznaczyć macierz przy bazie
kanonicznej. Znaleźć bazę , przy której macierz ma postać
blokową występującą w tezie twierdzenia Sylvestera. Wyznaczyć
sygnaturę .
Wskazówka Trzeba zacząć od znalezienia odwzorowania dwuliniowego symetrycznego indukującego , a następnie spróbować sprowadzić do postaci kanonicznej. Związki między współrzędnymi względem szukanej bazy a współrzędnymi względem bazy kanonicznej pozwolą wyliczyć potrzebne nam wektory bazowe.
Rozwiązanie Można zauważyć (lub obliczyć korzystając z metody podanej w zadaniu
11.2), że jeżeli
jest symetryczną formą dwuliniową daną wzorem
to dla dowolnego zachodzi
co oznacza, że jest formą kwadratową, a jest symetryczną
formą dwuliniową skojarzoną z . Co więcej, macierzą w bazie
kanonicznej jest macierz
Aby wyznaczyć bazę , przy której macierz ma postać
blokową występującą w tezie twierdzenia Sylvestera zauważmy, że
Wprowadzając teraz nowe zmienne
lub równoważnie
widzimy, że w nowych zmiennych wzór na przyjmuje postać
Naszej zmianie zmiennych odpowiada macierz przejścia
która z kolei oznacza zmianę bazy z kanonicznej na bazę złożoną
z wektorów oraz . Macierzą w tej bazie jest
macierz
czyli
w szczególności otrzymaliśmy, że sygnaturą formy jest
para .
Zadanie 11.6
Sprowadzić do postaci kanonicznej następujące formy kwadratowe:
Wskazówka
Można skorzystać z metody Lagrange'a lub metody Jacobiego (
literatura: H. Guściora, M. Sadowski, Repetytorium z algebry
liniowej, PWN, Warszawa 1977). Korzystając z metody Jacobiego, należy wyznaczyć macierz
formy kwadratowej w dowolnej bazie np. w bazie kanonicznej. Niech
tą macierzą będzie . Teraz, jeżeli wyznaczniki
są różne od zera i lub (gdy ) , to
istnieje baza, w której forma kwadratowa przyjmuje postać kanoniczną
Rozwiązanie
- i) Niech
Macierzą formy w bazie kanonicznej jest, jak łatwo sprawdzić, macierz
Obliczamy wyznaczniki
które podstawiamy do wzoru na postać kanoniczną naszej formy
- ii) Niech
Macierzą formy w bazie kanonicznej jest, jak łatwo sprawdzić, macierz
Obliczamy wyznaczniki
które podstawiamy do wzoru na postać kanoniczną naszej formy
Zadanie 11.7
Dane jest odwzorowanie liniowe
Zbadać, czy jest odwzorowaniem symetrycznym.
Wskazówka Wystarczy sprawdzić warunek z definicji odwzorowania symetrycznego.
Rozwiązanie Będziemy utożsamiać przestrzeń
z przestrzenią macierzy o trzech wierszach i jednej kolumnie. Wówczas działaniu odwzorowania
odpowiada mnożenie takiego wektora kolumnowego
przez macierz odwzorowania
w bazach kanonicznych, którą oznaczamy dalej przez
, to jest
możemy utożsamiać z
. Przy tych oznaczeniach standardowy iloczyn skalarny dla wektorów
dany jest wzorem
Zgodnie z definicją odwzorowania symetrycznego musimy sprawdzić, czy
Zauważmy jeszcze, że
zatem jest macierzą symetryczną (). Wynika stąd, że
co było do okazania.