PS Moduł 1: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
← poprzednia edycjanastępna edycja →
WizualnieWikikod
m Zastępowanie tekstu – „ \</math>” na „</math>”
m Zastępowanie tekstu – „ </math>” na „</math>”
Linia 107: Linia 107:
*Sygnał pokazany na rys. a) jest symetrycznym unormowanym impulsem  prostokątnym o jednostkowym czasie trwania i jednostkowej amplitudzie. Jego wartość średnia  i energia są również równe jedności. Został on oznaczony specjalnym symbolem <math>\Pi(t)\</math>, . Posługując się tym symbolem, możemy zapisać dowolny impuls prostokątny o wysokości <math>a\</math>, , szerokości <math>b\</math>, i przesunięty względem zera o czas <math>c\</math>,  w postaci <math>a\Pi[(t-c)/b]\</math>, .Również inne standardowe sygnały będą oznaczane wygodnymi w użyciu symbolami specjalnym, np. symetryczny impuls trójkątny <math>\Lambda(t)\</math>, z rys. b. Podkreślmy, że w przeciwieństwie do impulsu prostokątnego <math>\Pi(t)\</math>,  czas trwania impulsu trójkątnego <math>\Lambda(t)\</math>, jest z definicji równy 2.
*Sygnał pokazany na rys. a) jest symetrycznym unormowanym impulsem  prostokątnym o jednostkowym czasie trwania i jednostkowej amplitudzie. Jego wartość średnia  i energia są również równe jedności. Został on oznaczony specjalnym symbolem <math>\Pi(t)\</math>, . Posługując się tym symbolem, możemy zapisać dowolny impuls prostokątny o wysokości <math>a\</math>, , szerokości <math>b\</math>, i przesunięty względem zera o czas <math>c\</math>,  w postaci <math>a\Pi[(t-c)/b]\</math>, .Również inne standardowe sygnały będą oznaczane wygodnymi w użyciu symbolami specjalnym, np. symetryczny impuls trójkątny <math>\Lambda(t)\</math>, z rys. b. Podkreślmy, że w przeciwieństwie do impulsu prostokątnego <math>\Pi(t)\</math>,  czas trwania impulsu trójkątnego <math>\Lambda(t)\</math>, jest z definicji równy 2.


*Impulsy radiowe (rys. c), spotyka się zwykle w radiokomunikacji, telekomunikacji oraz technice radarowej i sonarowej. Sygnał <math>x(t)\</math>, jest dowolnym sygnałem impulsowym (często prostokątnym) i jest nazywany ''obwiednią'' sygnału <math>y(t)\</math>, , a sygnał <math>cos(\omega_0 t+\varphi_0)\</math>,  – jego ''wypełnieniem''. Z reguły, czego siłą rzeczy nie oddaje rysunek, okres wypełnienia <math>T_0=2\pi/{\omega_0} </math>  jest dużo mniejszy od czasu trwania impulsu <math>y(t)\</math>, .
*Impulsy radiowe (rys. c), spotyka się zwykle w radiokomunikacji, telekomunikacji oraz technice radarowej i sonarowej. Sygnał <math>x(t)\</math>, jest dowolnym sygnałem impulsowym (często prostokątnym) i jest nazywany ''obwiednią'' sygnału <math>y(t)\</math>, , a sygnał <math>cos(\omega_0 t+\varphi_0)\</math>,  – jego ''wypełnieniem''. Z reguły, czego siłą rzeczy nie oddaje rysunek, okres wypełnienia <math>T_0=2\pi/{\omega_0}</math>  jest dużo mniejszy od czasu trwania impulsu <math>y(t)\</math>, .


|}
|}

Wersja z 10:09, 5 wrz 2023
  • Za pomocą sygnałów przekazywana jest informacja. Często mówi się, że sygnał jest nośnikiem informacji.
  • Modelami matematycznymi posługujemy się w wielu dziedzinach nauki i techniki. Operowanie modelami sygnałów ma szereg zalet, m.in. umożliwia:
    • formalną analizę sygnałów na różnym poziomie dokładności,
    • wprowadzenie jednoznacznych kryteriów podziału sygnałów i na tej podstawie dokonanie ich klasyfikacji,
    • abstrahowanie od natury fizycznej sygnałów (tj. traktowanie sygnałów jako wielkości bezwymiarowych).
  • Rozważania ograniczymy wyłącznie do sygnałów deterministycznych. Omówienie sygnałów losowych wymaga znajomości teorii procesów stochastycznych.
  • Sygnały dzielimy także ze względu na ich przeciwdziedzinę (zbiór wartości). Jeżeli zbiór ten jest ciągły, sygnał nazywamy ciągłym w amplitudzie. Jeżeli jest on dyskretny (w szczególności skończony) sygnał nazywamy dyskretnym w amplitudzie.


  • Łącząc kryteria podziału sygnałów ze względu na rodzaj ich dziedziny i przeciwdziedziny, można wyodrębnić cztery klasy sygnałów:
    • z czasem ciągłym i ciągłe w amplitudzie
    • z czasem ciągłym i dyskretne w amplitudzie
    • z czasem dyskretnym i ciągłe w amplitudzie
    • z czasem dyskretnym i dyskretne w amplitudzie (cyfrowe).
  • W klasie sygnałów dyskretnych wyróżniamy sygnały binarne, które przybierają w każdej chwili tylko dwie wartości binarne (np. 0 i 1 lub 1 i –1 ).
  • Zwróćmy uwagę, że sygnały przedstawione na rys. b) i d) otrzymujemy w wyniku próbkowania sygnałów z rys. a) i odpowiednio c). Z sygnałami powstałymi w wyniku próbkowania sygnałów analogowych mamy w praktyce do czynienia najczęściej. Sygnałami dyskretnymi mogą być jednak także sygnały nie mające pierwowzorów analogowych, np. ciąg notowań dziennych kursu złotówki do dolara. Podkreślmy, że sygnał dyskretny jest w istocie rzeczy ciągiem liczb.
  • Sygnały analogowe będziemy oznaczać Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x(t),\, y(t),\,...\} , ,zaś sygnały dyskretne - Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x(t_n),\, y(t_n),\,...\} , ,lub w przypadku próbkowania równomiernego w chwilach Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle nT_s-x(nT_s),\, y(nT_s),\,...\} , , W odniesieniu do tych ostatnich z reguły operuje się czasem bezwymiarowym, unormowanym względem okresu próbkowania Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle T_s\} , . Oznacza się je wówczas symbolami Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x[n],\,y[n],\,...\} , lub Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x(n),\, y(n),\,...\} , , gdzie Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle n\epsilon\Box\} , jest numerem próbki.
  • Podobnie jak w poprzednich przykładach, sygnały z rys. c) i d) są spróbkowanymi sygnałami z rys. a) i b).
  • Terminem impuls określamy zazwyczaj sygnały o krótkim czasie trwania. Zwróćmy uwagę, że w myśl przyjętej definicji sygnał impulsowy niekoniecznie musi trwać w czasie krótko. Istotne jest jedynie, aby jego czas trwania był skończony.
  • Reprezentację sygnału harmonicznego stanowi liczba zespolona Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle Ae^{j\varphi}\} , , nazywana amplitudą zespoloną, gdzie Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle A\} , jest amplitudą sygnału, a Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \varphi\} , – jego fazą.
  • W przypadku rozwinięcia sygnału okresowego o ustalonym okresie Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle T_0\} , w rzeczywisty trygonometryczny szereg Fouriera (1.1) jego reprezentacja jest zbiór liczb rzeczywistych {a0,ak,bk:kϵ◻}, (zbiór współczynników Fouriera), zaś w przypadku rozwinięcia w zespolony trygonometryczny szereg Fouriera (1.2) – zbiór liczb zespolonych Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \left \{X_k : k\epsilon\Box\right \}\} , .
  • Znanych jest wiele, czasami bardzo złożonych pod względem formalnym, reprezentacji sygnałów. Do najczęściej stosowanych należą:
    • transformata Fouriera (widmo sygnału)
    • transformata Laplace’a
    • szereg Kotielnikowa-Shannona
    • sygnał analityczny

Reprezentacje te będziemy omawiać na dalszych wykładach.

  • Parametry sygnałów są ich globalnymi charakterystykami liczbowymi. Definicje poszczególnych parametrów są zróżnicowane w zależności od klasy sygnału.
  • Wartość średnia sygnału o nieskończonym czasie trwania jest definiowana jako wielkość graniczna. Podobny charakter będą miały definicje innych wielkości charakteryzujących klasę sygnałów o nieskończonym czasie trwania.
  • Energia, moc średnia (krótko moc) i wartość skuteczna, należą do najważniejszych parametrów sygnału. Wielkości te są nazywane parametrami energetycznymi sygnałów. Ponieważ założyliśmy, że sygnały są wielkościami bezwymia¬rowymi, ich energię określoną wzorem (1.6) wyrażamy w sekundach, moc zaś określona wzorami (1.7) lub (1.8) oraz wartość skuteczna są bezwymiarowe.
  • Na podstawie parametrów energetycznych dokonujemy jeszcze jednego ważnego podziału sygnałów na dwie klasy: klasę sygnałów o ograniczonej energii oraz klasę sygnałów o ograniczonej mocy. Zauważmy, że:
    • moc sygnałów o ograniczonej energii jest równa zeru,
    • energia sygnałów o ograniczonej mocy jest nieskończona,
    • każdy sygnał impulsowy ograniczony w amplitudzie jest sygnałem o ograniczonej energii,
    • sygnały o nieskończonym czasie trwania mogą być sygnałami o ograniczonej energii bądź o ograniczonej mocy,
    • sygnały o ograniczonej mocy i ograniczone w amplitudzie są sygnałami o nieskończonym czasie trwania,
    • szczególną podklasą tych ostatnich są sygnały okresowe.
  • Zwróćmy uwagę, że moc sygnału określona wzorem (1.7) ma sens wielkości granicznej. Również jako wielkości graniczne będą dalej definiowane inne wielkości charakteryzujące sygnały o ograniczonej mocy (np. widmo, funkcja autokorelacji itd.).
  • Sygnał pokazany na rys. a) jest symetrycznym unormowanym impulsem prostokątnym o jednostkowym czasie trwania i jednostkowej amplitudzie. Jego wartość średnia i energia są również równe jedności. Został on oznaczony specjalnym symbolem Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \Pi(t)\} , . Posługując się tym symbolem, możemy zapisać dowolny impuls prostokątny o wysokości Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle a\} , , szerokości Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle b\} , i przesunięty względem zera o czas Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle c\} , w postaci Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle a\Pi[(t-c)/b]\} , .Również inne standardowe sygnały będą oznaczane wygodnymi w użyciu symbolami specjalnym, np. symetryczny impuls trójkątny Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \Lambda(t)\} , z rys. b. Podkreślmy, że w przeciwieństwie do impulsu prostokątnego Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \Pi(t)\} , czas trwania impulsu trójkątnego Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \Lambda(t)\} , jest z definicji równy 2.
  • Impulsy radiowe (rys. c), spotyka się zwykle w radiokomunikacji, telekomunikacji oraz technice radarowej i sonarowej. Sygnał Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x(t)\} , jest dowolnym sygnałem impulsowym (często prostokątnym) i jest nazywany obwiednią sygnału Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle y(t)\} , , a sygnał Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle cos(\omega_0 t+\varphi_0)\} , – jego wypełnieniem. Z reguły, czego siłą rzeczy nie oddaje rysunek, okres wypełnienia T0=2π/ω0 jest dużo mniejszy od czasu trwania impulsu Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle y(t)\} , .
  • Sygnały przedstawione na rys. a), b) i c) są przykładami sygnałów o nieskończonym czasie trwania, których energia jest skończona.
  • Sygnał pokazany na rys. a) jest typowym sygnałem występującym w obwodach elektrycznych, np. sygnałem prądu rozładowania kondensatora w obwodzie RC.
  • Sygnał z rys. b), oznaczony symbolem specjalnym Sa (od ang. Sampling – próbkowanie), odgrywa w teorii sygnałów rolę szczególną, zwłaszcza w zagadnieniu próbkowania sygnałów. Dobrze znana z analizy matematycznej funkcja Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle Sax\, \Box\, sinx/x\} , nie ma wartości w zerze, dlatego w definicji tego sygnału wartość tę definiuje się dodatkowo jako równą jedności. Dodajmy, że funkcja Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle Sa\} , będzie często występować również w opisie widmowym sygnałów.
  • Podobną rolę spełnia w teorii sygnałów funkcja Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle Sa^2\} , . Sygnał o kształcie opisanym tą funkcją jest pokazany na rys. c).
  • Sygnały przedstawione na rys. a)–d) są przykładami prostych sygnałów o nieskończonym czasie trwania i ograniczonej mocy (ich energia jest nieskończona).
  • Sygnał skoku jednostkowego pokazany na rys. b) jest oznaczany symbolem specjalnym Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 1(t)\} , , używanym również w teorii obwodów. Zapis Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle X_01(t-t_0)\} , oznacza skok o wartość Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle X_0\} , w chwili Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle t_0\} , .
  • Sygnał wykładniczy narastający z rys. c) jest np. sygnałem napięcia na kondensatorze ładowanym przez opór z idealnego źródła napięciowego.
  • Na rys. a), b) i c) są pokazane przykłady najczęściej spotykanych sygnałów okresowych. Są to oczywiście sygnały o ograniczonej mocy. Pełnią one w praktyce rolę sygnałów nośnych w różnych systemach modulacji sygnałów, a także sygnałów synchronizujących.
  • Sygnał harmoniczny (rys. a) jest określony przez trzy parametry: amplitudę Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle X_0\} , , pulsację Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \omega_0\} , (lub częstotliwość f0=ω0/2π=1/T0 , gdzie Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle T_0\} , jest okresem), oraz fazę początkową Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \varphi_0\} , . Jest on wykorzystywany m.in. jako fala nośna w analogowych systemach modulacji.
  • Fala prostokątna bipolarna (rys. b) jest wykorzystywana jako przebieg synchronizujący i zegarowy, zaś fala prostokątna unipolarna (rys. c) jako przebieg nośny w impulsowych systemach modulacji.
  • Funkcje |z(t)|=x2(t)+y2(t) i argz(t)=arctg[y(t)/x(t)] noszą nazwę modułu i odpowiednio argumentu sygnału Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle z(t)\} , . Są to funkcje rzeczywiste czasu.
  • Sygnały zespolone również dzielimy na sygnały o ograniczonej energii i sygnały o ograniczonej mocy. W przypadku sygnałów zespolonych we wzorach definiujących energię (1.6) i moc (1.7) lub (1.8) należy w wyrażeniu podcałkowym uwzględnić nie kwadrat sygnału Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x^2(t)\} , , a kwadrat modułu sygnału Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle |x^2(t)|\} , .
  • Sygnał harmoniczny zespolony z(t)=ejω0t (1.11), nazywany także sinusoidą zespoloną, jest często wykorzystywany do reprezentacji rzeczywistego sygnału harmonicznego x(t)=cosω0t , przy czym x(t)=Rez(t) . Jest to oczywiście sygnał o ograniczonej mocy. Jego moc, jak można łatwo sprawdzić korzystając ze zmodyfikowanego wzoru (1.8), jest równa 1.
  • Sygnałami harmonicznymi zespolonymi posługujemy się również w innych reprezentacjach sygnałów rzeczywistych, np. zbiór sygnałów Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \left \{e^{jk\omega_0 t} : k\epsilon\Box\right \}\} , tworzy tzw. bazę rozwinięcia sygnału okresowego o okresie T0=2π/ω0 w zespolony szereg Fouriera (por. wzór (1.2)).
  • Pojęcie sygnału analitycznego, określonego wzorami (1.12) i (1.13), jest jednym z ważniejszych pojęć teorii sygnałów. Stanowi on uogólnienie na sygnały nieharmoniczne reprezentacji rzeczywistego sygnału harmonicznego Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle cos\omega_0 t\} , zespolonym sygnałem harmonicznym ejω0t=cosω0t+jsinω0t . Zgodnie z definicją sygnał Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle e^{j\omega_0 t}\} , jest właśnie sygnałem analitycznym sygnału Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \omega_0 t\} , .
  • Impuls Diraca δ(t) (rys. a), nazywany również dystrybucją lub deltą Diraca, jest matematycznym modelem nierealizowalnego fizycznie, nieskończenie wąskiego impulsu występującego w chwili Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle t=0\} , , o nieskończenie dużej amplitudzie i polu równym Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 1\} ,. Z formalnego punktu widzenia jest to sygnał o nieograniczonej mocy! Zapis Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle X_0\delta (t-t_0)\} , oznacza impuls Diraca występujący w chwili Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle t_0\} , o polu równym Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle X_0\} , .
  • Przytoczona definicja impulsu δ(t) jest definicją klasyczną, podaną jeszcze przez Diraca. Współcześnie deltę Diraca definiuje się w sposób bardziej ścisły na gruncie teorii dystrybucji.
  • Za pomocą dystrybucji grzebieniowej (nazywanej w literaturze także dystrybucją sza lub comb) można w sposób wygodny zapisać formalnie operację próbkowania równomiernego sygnału jako iloczyn tego sygnału i dystrybucji Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \delta_{T_0}\} , . W efekcie otrzymujemy tzw. impulsowy sygnał spróbkowany (1.14) pokazany na rys. d). Sygnał ten stanowi dystrybucyjną reprezentację sygnału spróbkowanego.
  • Zgodnie z właściwością (1.15), w wyniku mnożenia sygnału Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x(t)\} , przez impuls Diraca Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \delta(t-t_0)\} , występujący w chwili Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle t_0\} , wyodrębniamy niejako z całego sygnału Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x(t)\} , jego wartość (próbkę) Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x(t_0)\} , w chwili Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle t_0\} , , którą reprezentujemy impulsem Diraca Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \delta(t-t_0)\} , o polu równym Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x(t_0)\} , . Inaczej mówiąc, impuls Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x(t_0)\delta(t-t_0)\} , stanowi reprezentację dystrybucyjną próbki Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x(t_0)\} , .
  • Właściwość filtracji (1.16) wynika natychmiast w właściwości (1.15) i definicji dystrybucji Diraca.
  • Całka impulsu Diraca w granicach od Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle -\infty\} , do Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle t\} , jest równa sygnałowi skoku jednostkowego. Pochodna skoku jednostkowego jest równa impulsowi Diraca. Związki te należy jednak rozumieć w sensie dystrybucyjnym.
  • Splot sygnału Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x(t)\} , z impulsem Diraca Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \delta(t)\} , daje w wyniku ponownie sygnał Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x(t)\} , . Oznacza to, że Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \delta(t)\} , jest elementem identycznościowym operacji splotu. Splot sygnału Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x(t)\} , z impulsem Diraca przesuniętym o czas Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle t_0\} , daje w wyniku niezmienioną kopię tego sygnału przesuniętą o ten sam czas.
  • Właściwość (1.18) jest uogólnieniem właściwości (1.15). Mnożenie sygnału Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x(t)\} , przez dystrybucję grzebieniową daje w wyniku reprezentację dystrybucyjną sygnału sprókowanego w postaci impulsowego sygnału sprókowanego (1.14).
  • Zgodnie z właściwością (1.19), w wyniku splecenia sygnału Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x(t)\} , z dystrybucją grzebieniową Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \delta_{T_0}(t)\} , powstaje sygnał, który jest przedłużeniem okresowym sygnału Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x(t)\} , z okresem Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle T_0\} , . Jeśli sygnał Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x(t)\} , jest sygnałem impulsowym o czasie trwania mniejszym bądź równym Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle T_0\} , , to przedłużenie to jest ciągiem dokładnych kopii sygnału Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x(t)\} , powtarzanych co odcinek czasu Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle T_0\} , . W przeciwnym przypadku powielone kopie nakładają się na siebie i w sygnale przedłużonym okresowo nie jest zachowany kształt sygnału Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x(t)\} , .
  • Podobnie jak w przypadku sygnałów analogowych, wartość średnia sygnału dyskretnego jest definiowana odmiennie dla różnych klas sygnałów. Definicje te są analogiczne, z tym że całki we wzorach (1.2) –(1.4) są zastąpione odpowiednimi sumami.
  • W przypadku sygnałów dyskretnych o nieskończonym czasie trwania ich wartość średnia – tak jak dla sygnałów analogowych – jest definiowana jako wielkość graniczna. Także inne wielkości charakteryzujące tę klasę sygnałów będą definiowane w sensie granicznym.
  • Wzory (1.23)–(1.26), określające parametry energetyczne sygnałów dyskretnych, są odpowiednikami wzorów (1.6)–(1.9) definiujących te parametry dla sygnałów analogowych.
  • Jeśli energia sygnału dyskretnego Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x[n]\} , , określona wzorem (1.23), spełnia warunek Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 0<E_x<\infty\} , , to sygnał taki nazywamy sygnałem o ograniczonej energii. Jeśli moc sygnału dyskretnego Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x[n]\} , , określona wzorem (1.24) lub (1.25), spełnia warunek Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 0<P_x<\infty\} , , to sygnał ten nazywamy sygnałem o ograniczonej mocy.
  • Zgodnie z przyjętą konwencją we wszystkich przytoczonych tu przykładach sygnałów dyskretnych wyrażamy je jako funkcje czasu Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle n\epsilon \Box\} , unormowanego względem okresu próbkowania.
  • Impuls Kroneckera Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \delta[n]\} , (rys. a) jest sygnałem dyskretnym przybierającym wartość niezerową i równą Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 1\} , jedynie w chwili Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle n=0\} , . Pozostałe jego próbki są zerowe. Jest on odpowiednikiem analogowego impulsu Diraca Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \delta(t)\} , , jednak w przeciwieństwie do niego impuls Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \delta[n]\} , jest zwykłą funkcją. Symbol Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle X_0\delta[n-n_0]\} , oznacza sygnał dyskretny przybierający jedyną niezerową wartość Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle X_0\} , w chwili Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle n_0\} , .
  • Zarówno impuls Kroneckera, jak i impuls prostokątny (rys. b) oraz impuls trójkątny (rys. c) są przykładami impulsowych sygnałów dyskretnych o ograniczonej energii.
  • Sygnały pokazane na rys. a) i b) są przykładami sygnałów dyskretnych o nieskończonym czasie trwania i ograniczonej energii. Są one dyskretnymi odpowiednikami sygnałów analogowych: wykładniczego malejącego oraz Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle Sa\} , .
  • Parametr Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \theta_0\} , występujący w zapisie dyskretnego sygnału Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle Sa\} , ma znaczenie pulsacji unormowanej. W teorii sygnałów dyskretnych normuje się bowiem nie tylko czas, ale także pulsację (częstotliwość) sygnałów. Pojęcie pulsacji unormowanej można wyjaśnić na przykładzie dyskretnego sygnału Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle Sa\} , następująco. Sygnał ten można mianowicie traktować jako sygnał otrzymany w wyniku próbkowania analogowego sygnału x(t)=Saω0t w chwilach Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle t_n=nT_s\} , , gdzie Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle T_s\} , jest okresem próbkowania. W wyniku otrzymuje się dyskretny sygnał x[n]=Sanω0Ts . Wprowadzając bezwymiarowy parametr Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \theta_0=\omega_0 T_s\} , , sygnał ten można zapisać jako Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x[n]=Sa\, n\theta_0\} , . Mówimy, że Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \theta_0\} , jest pulsacją unormowaną względem okresu próbkowania Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle T_s\} , . Zauważmy, że wykres dyskretnego sygnału Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle Sa\} , z rys. b) został sporządzony dla θ0=π/4 .
  • Sygnały dyskretne pokazane na rys. a)-c) należą do klasy sygnałów o nieskończonym czasie trwania i ograniczonej mocy.
  • Dyskretny skok jednostkowy Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 1[n]\} , (rys. b) jest odpowiednikiem analogowego skoku jednostkowego Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 1(t)\} , . Skok sygnału o dowolną wartość Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle X_0\} , przesunięty w czasie o Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle n_0\} , próbek można zapisać jako Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle X_01[n-n_0]\} , .
  • Dyskretny sygnał harmoniczny pokazany na rys. c), nazywany także dyskretną sinusoidą, otrzymujemy w wyniku próbkowania analogowego sygnału harmonicznego x(t)=X0sin(ω0t+φ0) w chwilach tn=nTs . Parametr θ0=ω0Ts jest pulsacją unormowaną. Należy podkreślić, że dyskretny sygnał harmoniczny nie musi być sygnałem okresowym zmiennej Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle n\} , . Można pokazać, że warunkiem jego okresowości jest, aby liczba Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 2\pi/{\theta_0}\} , była liczbą wymierną. Wykres na rys. c) został sporządzony dla Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \theta_0=\pi/6\} , oraz Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \varphi_0=0\} , . W tym przypadku dyskretny sygnał harmoniczny jest oczywiście okresowy.
Źródło: „https://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=PS_Moduł_1&oldid=80933”