PS Moduł 4

Przypominamy, że sygnały dyskretne o skończonej energii należą do przestrzeni Hilberta Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle l^2\} , , w której iloczyn skalarny jest określony wzorem $(x,y{)}_{l^2}=\sum _{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(n{T}_s)y^{*}(n{T}_s)$ . Celowo przyjmujemy na razie nieunormowaną skalę czasu. Podobnie jak w przypadku sygnałów analogowych widmo sygnału dyskretnego jest w ogólnym przypadku ciągłą funkcją zespoloną zmiennej rzeczywistej Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \omega\} , . W teorii sygnałów dyskretnych argument widma jest oznaczany zwyczajowo przez Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle e^{j\omega T_s}\} , , a nie w sposób naturalny przez Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \omega\} , .

---

Okresowość widm sygnałów dyskretnych jest ich podstawową cechą. Gdybyśmy widma te wyrazili w funkcji częstotliwości $f=\omega /2\pi$ , ich okres byłby równy częstotliwości próbkowania Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle f_s\} , . Jeśli widmo sygnału dyskretnego jest wyrażone w funkcji pulsacji unormowanej $\theta =\omega /2\pi$ , jego okres jest równy Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 2\pi\} , . Widmo (4.2) można także zapisać w funkcji częstotliwości unormowanej $\nu =\omega /{\omega }_s=f/f_s=\theta /2\pi$ . Jego okres jest wówczas równy Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 1\} ,.

---

Widmo impulsu Kroneckera jest stałe przedziale Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle -\pi\le \theta \le \pi\} , , a zarazem na całej osi Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \theta\} , . Korzystanie ze wzorów na sumę skończonego lub nieskończonego szeregu geometrycznego jest charakterystyczne dla obliczania widm wielu sygnałów dyskretnych.

---

Wykres widma amplitudowego dyskretnego impulsu prostokątnego został sporządzony dla Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle N=6\} , w przedziale Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle [-3\pi, 3\pi]\} , . Jeśli Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle N\} , rośnie, wysokość okresowo powtarzanych „listków” głównych widma rośnie, a ich szerokość maleje. Jednocześnie maleje poziom listków bocznych. Zwiększając Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle N\} , do nieskończoności otrzymujemy w granicy dyskretny sygnał stały. Przejściu granicznemu towarzyszy wzrost wysokości listków głównych widma do nieskończoności i zanikanie listków bocznych do zera. W efekcie otrzymujemy dystrybucję grzebieniową w dziedzinie częstotliwości (rys. b) Wzór (4.4) określa wartości kolejnych próbek sygnału dla Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle n \epsilon \Box\} , .

---

Twierdzenia dotyczące przekształcenia Fouriera sygnałów dyskretnych mają swoje ścisłe odpowiedniki w twierdzeniach dotyczących przekształcenia Fouriera sygnałów analogowych. Podobna też jest ich interpretacja.

---

Uogólnione twierdzenie Rayleigha wyraża równość iloczynów skalarnych w przestrzeni Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle l^2\} , sygnałów dyskretnych i przestrzeni Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle {L^2}_{2\pi}\} , ich okresowych widm. Twierdzenie Parsevala wyraża równość norm w obu tych przestrzeniach.

---

Sygnały Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle N\} ,-okresowe są szczególnym przypadkiem sygnałów dyskretnych. Powstają one np. w wyniku próbkowania okresowych sygnałów analogowych dokładnie Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle N\} , razy w okresie. W celu podkreślenia Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle N\} ,-okresowości sygnałów są one oznaczane z kreską u góry. Sygnały bazowe Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \left \{ e^{j2\pi kn/N}: k=0,...N-1}\right \}} w przestrzeni Hilberta Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle {l^2}_N\} , pełnią podobną rolę jak sygnały bazowe Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \left \{ e^{jk\omega_0 t}: k\epsilon \Box}\right \}} w przestrzeni Hilberta Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle {L^2}_{T_0}\} , , $T_0=2\pi /{\omega }_0$ . Zasadnicza różnica polega jednak na tym, że w przypadku przestrzeni Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle {l^2}_N\} , baza jest skończona.

---

W przeciwieństwie do widm nieokresowych sygnałów dyskretnych, które są funkcjami ciągłymi pulsacji unormowanej Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \theta\} , , widma sygnałów Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle N\} , -okresowych są dyskretnymi funkcjami pulsacji unormowanej określonymi w punktach ${\theta }_k=2\pi k/N$ (dlatego ich argument jest oznaczany przez Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle k\} , ). Zachowują one oczywiście ogólną cechę okresowości widm sygnałów dyskretnych, przy czym widmo sygnału Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle N\} , -okresowego jest również Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle N\} , -okresowe. W praktyce liczbę Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle N\} , wybiera się z reguły jako parzystą. Znając Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle N\} , wartości widma sygnału Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle N\} , -okresowego (a dla Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle N\} , parzystych Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle N/2+1\} , wartości) można ze wzoru (4.5) obliczyć jego próbki. Problem odwrotny, tj. sposób wyznaczania widma sygnału Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle N\} , -okresowego na podstawie jego próbek rozpatrzymy później.

---

W praktyce rzadko kiedy sygnał dyskretny jest opisany zwartą formułą analityczną. Jego widma nie można zatem wyznaczyć na podstawie wzoru (4.6) i musimy uciec się do numerycznych metod jego obliczania. Możliwość taką stwarza pojęcie dyskretnego przekształcenia Fouriera (DPF). DPF jest nie tylko punktem wyjścia do opracowania odpowiednich metod numerycznych obliczania widma, ale także silnym narzędziem teoretycznym analizy, syntezy i przetwarzania sygnałów dyskretnych. Milcząco zakładamy tu, że pozostałe próbki sygnału impulsowego są zerowe. Liczbę punktów pulsacji unormowanej Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \theta\} , , w których obliczamy dyskretne wartości widma sygnału sensownie jest wybrać równą liczbie Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle N\} , próbek sygnału.

---

Widmo dyskretne jest oczywiście funkcją okresową zmiennej Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle k\} , o okresie równym Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle N\} , . Wykres dyskretnego widma amplitudowego impulsu prostokątnego sporządzono w środkowym jego okresie $(-N/2,N/2]=(-4,4]$ odpowiadającym przedziałowi Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle (-\pi, \pi]\} , na ciągłej skali zmiennej Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \theta\} , . Jego próbki są oczywiście położone na krzywej ciągłej Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle A(e^{j\theta})\} , . Jak widać jednak tylko jedna, centralna próbka jest niezerowa. Tak więc w tym przypadku widmo dyskretne Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \left \{ X(k): k=0,...,N-1}\right \}} bardzo niedokładnie oddaje charakter widma ciągłego Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle X(e^{j\theta})\} , . Stanowi to wadę DTF związaną z jej małą rozdzielczością.

---

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle {\mathfrak{F}^{-1}}_D\} , -transformata wynika w istocie rzeczy z rozwiązania układu równań (4.7) względem niewiadomych Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x(n)\} ,, Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle n=0,...,N-1\} , przy założeniu znajomości próbek widmowych Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle X(k)\} ,, Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle k=0,...,N-1\} , . Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle N\} , -okresowość Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle {\mathfrak{F}^{-1}}_D\} , -transformaty wynika z Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle N\} , -okresowości widma dyskretnego Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle X[k]\} , . Sytuacja jest tu analogiczna do rozwinięcia nieokresowego impulsowego sygnału analogowego określonego w skończonym przedziale Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle [0, T]\} , w trygonometryczny szereg Fouriera, który jest zarazem szeregiem Fouriera okresowego przedłużenia tego sygnału z okresem Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle T\} , .

---

Z formalnego punktu widzenie DPF sygnału Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle N\} , -okresowego można traktować jako wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie przestrzeni Hilberta Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle {l^2}_N\} , ciągów Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle N\} , -okresowych w dziedzinie czas w przestrzeń Hilberta Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle {l^2}_N\} , ciągów Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle N\} , -okresowych w dziedzinie częstotliwości. Istnieje zasadnicza różnica między DTF sygnału impulsowego Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x[n]\} , a DTF jego przedłużenia okresowego Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \overline{x} [n]\} , , mimo że są one określone tym samym wyrażeniem. Podkreślmy raz jeszcze, że widmo Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle X(e^{j\theta})\} , sygnału impulsowego jest funkcją zmiennej ciągłej Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \theta\} , , a DTF tego sygnału określa jedynie wartości tego widma w dyskretnych punktach Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \theta_k=2\pi k/N\} , . Natomiast DTF przedłużenia okresowego Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \overline{x} [n]\} , sygnału Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x[n]\} , określa dokładne widmo sygnału okresowego, które z natury rzeczy jest dyskretne. DFT jest symetryczne (ze sprzężeniem) względem punktu Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle N/2\} , .

---

Jeśli sygnał jest rzeczywisty, to próbka widma Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle X(0)\} , jest rzeczywista. Jeśli sygnał jest rzeczywisty oraz Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle N\} , jest parzyste, to próbka Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle X(n/2)\} , jest rzeczywista. W wyniku przesunięcia sygnału o Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle m\} , próbek, jego dyskretne widmo amplitudowe nie ulega zmianie, a widmo fazowe zmienia się o wartości Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle -2\pi km/N\} , . W wyniku mnożenia sygnału przez dyskretny sygnał harmoniczny o pulsacji unormowanej Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 2\pi m/N\} , jego widmo ulega przesunięciu o Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle m\} , próbek. Można łatwo sprawdzić, że widmo rozpatrywanego w przykładzie sygnału okresowego spełnia właściwości 2-4 oraz twierdzenie Parsevala.

---

Sygnał odtworzony z Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle N\} , -punktowej DFT Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \left \{ X(k): k=0,...,N-1}\right \}} danego sygnału Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x[n]\} , jest powieleniem okresowym tego sygnału z okresem Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle N\} , . Jeżeli czas trwania Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle N_0\} , sygnału Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x[n]\} , jest większy od Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle N\} , ( w szczególności nieskończony), to poszczególne powielone kopie sygnału Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x[n]\} , nakładają się na siebie i nie jest możliwe dokładnie odtworzenie jego próbek.

---

Zjawisko nakładania się powielonych okresowo kopii sygnału jest nazywane aliasingiem w dziedzinie czasu, a wynikający stąd błąd odtworzenia – błędem aliasingu. W przypadku sygnału o nieskończonym czasie trwania błąd aliasingu jest tym mniejszy, im większe jest Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle N\} , oraz im szybciej sygnał maleje do zera, gdy Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle n\to \pm \infty\} , . W przypadku sygnału o skończonym czasie trwania Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle N_0\} , błąd ten jest tym mniejszy, im mniejsza jest różnica Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle N_0-N\} , .

---