CWGI Ćwiczenie 1: Różnice pomiędzy wersjami

Wersja z 10:07, 5 wrz 2023

Ćwiczenia 1. Bryły i przekroje w rzucie aksonometrycznym

Zadanie1.1.

Narysować rurę stożkową o danych wymiarach w układzie dimetrii kawalerskiej

Układ dimetrii kawalerskiej pozwala przedstawiać elementy płaskie, bez zniekształceń, znajdujące się w płaszczyźnie Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 0yz\} ,. Przekrojem poprzecznym rury będą okręgi. Należy, zatem przyjąć takie usytuowanie rury w układzie dimetrii kawalerskiej, aby oś rury pokrywała się z kierunkiem osi x (przekrój poprzeczny rury będzie wówczas znajdował się na rzucie Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 0yz\} ,. Rozpoczynając rysowanie dokonujemy analizy skrótów aksonometrycznych w poszczególnych osiach. W kierunku osi Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x\} , skrót aksonometryczny wynosi 1:2, a więc wymiary rury w tym kierunku będą zmniejszone o połowę. Mając takie informacje można rozpocząć konstruowanie rury. Dla pokazania przelotowości rury i jej wnętrza wyznaczamy widok z wycięta ćwiartka na całej długości (rys.C1.1).

Zadanie1.2.

Narysować czworościan foremny o danym boku a, w układzie dimetrii kawalerskiej

Czworościan foremny jest bryłą, której wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi (przyjmujemy wielkość boku a = 50 mm). Na rysunku C1.2. przedstawiono, po prawej stronie, trójkąt ABC, który jest podstawą tego czworościanu. Wyznaczając wysokości trójkąta, można wyznaczyć spodek wysokości czworościanu, a następnie budując trójkąt prostokątny w oparciu o znaną przyprostokątną (2/3 wysokości trójkąta - Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle AS\} ,) oraz przeciwprostokątną Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle AW\} , - krawędź Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle a\} , czworościanu) otrzymamy wszystkie jego wielkości geometryczne, niezbędne do budowy bryły w układzie aksonometrycznym, a w szczególności wysokość Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle h\} , czworościanu będącą rzeczywista wielkością odcinka Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle SW\} ,.

Rozwiązanie zadania rozpoczynamy od wykreślenia układu aksonometrycznego - perspektywy kawalerskiej. Przypominając, w osiach Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle y\} , i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle z\} ,, skrót aksonometryczny wynosi 1:1, natomiast w osi Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x\} , wynosi 1:2. Podstawę czworościanu wykreślimy przyjmując w niezmienionej wielkości wysokość Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle AD\} , podstawy i umieszczając ją równolegle do osi Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle y\} ,, przyjmując w pierwszej kolejności spodek wysokości Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle S\} , w dowolnym punkcie na osi Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle y\} ,. Bok Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle BC\} ,, prostopadły do wysokości Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle AD\} ,, przyjmie kierunek osi Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x\} ,. Wielkość boku Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle BC\} , będzie oczywiście o połowę mniejsza od rzeczywistej, ponieważ skrót aksonometryczny w kierunku tej osi wynosi 1:2. Ze spodka wysokości w niezmienionej wielkości wykreślamy wysokość czworościanu, wyznaczając wierzchołek Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle W\} , czworościanu. Łącząc wierzchołek Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle W\} , czworościanu z wierzchołkami Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle A, B, C\} , wyznaczymy zarys bryły. Na zakończenie należy uwzględnić widoczność krawędzi obserwując bryłę z kierunku prostopadłego do płaszczyzny określonej osiami Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle y, z\} ,. Krawędzie widoczne rysuje się linią grubą ciągłą, krawędzie niewidoczne linią

Zadanie1.3.

Narysować sześcian o danym boku w dowolnym rzucie aksonometrycznym. Wyznaczyć przekrój sześcianu płaszczyzna określona przez trzy punkty Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle (P,Q,R)\} ,, leżące na ścianach bocznych sześcianu

Korzystając z niezmienników rzutowania równoległego i twierdzenia o punkcie wspólnym trójki płaszczyzn, rysujemy rzut sześcianu o boku $a = 30 m m$ w układzie perspektywy kawalerskiej.

Obieramy dowolną trójkę punktów Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle P, Q, R,\} , leżących na jego ścianach bocznych (rys.C1.3a).

Zadanie rozwiążemy wykorzystując twierdzenie "o punkcie wspólnym trójki płaszczyzn". W tym celu przyjmijmy symboliczny opis trzech wybranych płaszczyzn, z których jedna jest płaszczyzną Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \alpha (PQR)\} ,, krojącą poszczególne ściany sześcianu. Dla ściślejszego zdefiniowania poszczególnych punktów Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle PQR\} ,, w założeniach podano rzuty prostopadłe tych punktów na płaszczyznę podstawy Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle ABCD\} ,, którą opiszemy symbolicznie literą Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \beta\} ,. Jako trzecią z płaszczyzn, biorących udział w konstrukcji przyjmijmy ścianę Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle BCFG\} , jako Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \gamma\} ,.

Zadaniem naszym jest wyznaczenie krawędzi przecięcia się płaszczyzny Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \alpha (PQR)\} , ze ścianami sześcianu.

Krawędzie poszczególnych par płaszczyzn oznaczymy kolejno:

$k_{1} = α \cap β$ , $k_{2} = β \cap γ$ , $k_{3} = α \cap γ$

Wyznaczając konstrukcyjnie krawędzie $k_{1}$ i $k_{2}$ , możemy następnie, korzystając z twierdzenia o punkcie wspólnym trójki płaszczyzn, wyznaczyć poszukiwaną w zadaniu krawędź $k_{3}$ .

Wyznaczanie krawędzi $k_{1}$

Poprowadźmy dwie proste należące do płaszczyzny $α (P Q R)$ : prostą Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle a\} , przechodzącą przez punkty Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle Q\} ,, Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle R\} , oraz prostą b przechodzącą przez punkty Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle Q\} ,, Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle P\} ,. Proste te przecinają się w punkcie Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle Q\} ,. Rzuty $a_{x y}$ i $b_{x y}$ tych prostych na płaszczyznę podstawy $β (A B C D)$ , będą przecinały się w punkcie $Q_{x y}$ . Proste $a$ i $a_{x y}$ przecinają się w punkcie oznaczonym cyfrą Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle I\} ,. Punkt Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle I\} , jest, zatem wspólnym dla płaszczyzn $α$ i $β$ , ponieważ należy do prostych $a$ i $a_{x y}$ , a te z kolei należą odpowiednio do płaszczyzn $α$ i $β$ . Drugi punkt Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle II\} , wspólny płaszczyzn $α$ i $β$ wyznaczymy prowadząc dwie, należące odpowiednio do płaszczyzn $α \cap β$ , kolejne proste $b$ i $b_{x y}$ które przetną się właśnie w tym punkcie. Łącząc punkty Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle I\} , i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle II\} , wyznaczymy pierwsza z poszukiwanych krawędzi $k_{1} = α \cap β$ . Jak widać na rysunku C1.3b krawędź $k_{1}$ leży na płaszczyźnie Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \beta (ABCD)\} ,, lecz nie przecina ściany Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle ABCD\} , sześcianu.

Wyznaczanie kolejnych krawędzi przedstawiono na rysunku C1.3c.

Wyznaczanie krawędzi $k_{2}$

Krawędź $k_{2}$ wyznaczymy w sposób natychmiastowy, albowiem stanowi ona wspólną krawędź ścian Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle ABCD\} , oraz Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle BCFG\} , sześcianu.

Wyznaczanie krawędzi $k_{3}$

Krawędź $k_{2}$ przecina krawędź $k_{1}$ w punkcie oznaczonym cyfrą Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle III\} ,. Punkt Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle III\} , jest, zatem punktem wspólnym trójki płaszczyzn Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \alpha\} ,, Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \beta\} , i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \gamma\} ,. Przez ten punkt, zgodnie z cytowanym wcześniej twierdzeniem, będzie przechodziła trzecia krawędź $k_{3} = α \cap γ$ . Drugi punkt wspólny tych płaszczyzn jest punktem Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle R\} , (z założenia punkt należący do płaszczyzny Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \alpha\} , i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \beta\} ,). Punkty Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle III\} , i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle R\} , wyznaczą nam poszukiwaną krawędź Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle k_3\} ,, która jest krawędzią przekroju płaszczyzny Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \alpha\} , z jedną ze ścian sześcianu. Krawędź Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle k_3\} , przecina krawędzie sześcianu: Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle BF\} , w punkcie Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 1\} , oraz Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle CG\} , w punkcie Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 2\} ,. Punkty te wyznaczają odcinek będący krawędzią przekroju ściany Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle BCGF\} , sześcianu płaszczyzną Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \alpha\} ,.

Kolejne krawędzie przekroju sześcianu płaszczyzną Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \alpha\} , można wyznaczyć powtarzając nasze rozumowanie, przy założeniu, że w miejsce jednej z płaszczyzn, np. Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \gamma\} , wprowadzimy kolejną płaszczyznę przechodzącą przez inną ścianę sześcianu. Możemy jednak wyznaczyć następne boki przekroju korzystając z niezmienników rzutowania równoległego (rys.c1.3d).

Wyznaczony wcześniej punkt Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 2\} , należy do krawędzi Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle k_3\} ,, a wiec należy do płaszczyzny Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \alpha\} ,Punkt ten należy również do ściany Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle EFGH\} , sześcianu. Drugim punktem wspólnym płaszczyzny Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \alpha\} , i górnej podstawy Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle EFGH\} , jest punkt Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle Q\} , z założenia należący do tych płaszczyzn. Zatem Kolejna krawędź Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle k_4\} , będzie przechodziła przez punkty Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle Q\} , i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 2\} ,. Krawędź Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle k_4\} ,, jak wynika z niezmienników rzutowania równoległego (płaszczyzna kroi dwie równoległe do siebie płaszczyzny wzdłuż dwóch prostych równoległych) będzie równoległa do krawędzi Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle k_1\} ,.

Kolejna krawędź Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle k_5\} ,, należąca do przekroju, będzie przechodziła przez punkt Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 3\} , znajdujący się na krawędzi Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle k_4\} , oraz boku Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle EH\} , sześcianu. Krawędź ta będzie również równoległa do krawędzi Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle k_3\} ,. Zamykająca przekrój krawędź Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle k_6\} , będzie przechodziła przez punkty Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 4\} ,, Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle P\} ,, i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 1\} ,.

Kończąc zadanie: usuwamy części krawędzi sześcianu, które zostały odcięte płaszczyzną Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \alpha\} , oraz kreskujemy figurę w płaszczyźnie przekroju, zgodnie z zasadami zapisu konstrukcji.

@@ Linia 51: / Linia 51: @@
 |valign="top"|Krawędzie poszczególnych par płaszczyzn oznaczymy kolejno:
-<math>k_1=\alpha \cap \beta\, </math>, <math>k_2=\beta \cap \gamma\, </math>, <math>k_3=\alpha \cap \gamma\, </math>
+<math>k_1=\alpha \cap \beta\,</math>, <math>k_2=\beta \cap \gamma\,</math>, <math>k_3=\alpha \cap \gamma\,</math>
-Wyznaczając konstrukcyjnie krawędzie <math>k_1\, </math> i <math>k_2\, </math>, możemy następnie, korzystając z twierdzenia o punkcie wspólnym trójki płaszczyzn, wyznaczyć poszukiwaną w zadaniu krawędź <math>k_3\, </math>.
+Wyznaczając konstrukcyjnie krawędzie <math>k_1\,</math> i <math>k_2\,</math>, możemy następnie, korzystając z twierdzenia o punkcie wspólnym trójki płaszczyzn, wyznaczyć poszukiwaną w zadaniu krawędź <math>k_3\,</math>.
-'''Wyznaczanie krawędzi <math>k_1\, </math>'''
+'''Wyznaczanie krawędzi <math>k_1\,</math>'''
-Poprowadźmy dwie proste należące do płaszczyzny <math>\alpha (PQR)\, </math>: prostą <math>a\</math>, przechodzącą przez punkty <math>Q\</math>,, <math>R\</math>, oraz prostą b przechodzącą przez punkty <math>Q\</math>,, <math>P\</math>,. Proste te przecinają się w punkcie <math>Q\</math>,. Rzuty <math>a_{xy}\, </math> i <math>b_{xy}\, </math> tych prostych na płaszczyznę podstawy <math>\beta (ABCD)\, </math>, będą przecinały się w punkcie <math>Q_{xy}\, </math>. Proste <math>a\, </math> i <math>a_{xy}\, </math> przecinają się w punkcie oznaczonym cyfrą <math>I\</math>,. Punkt <math>I\</math>, jest, zatem wspólnym dla płaszczyzn <math>\alpha\, </math> i <math>\beta\, </math>, ponieważ należy do prostych <math>a\, </math> i <math>a_{xy}\, </math>, a te z kolei należą odpowiednio do płaszczyzn <math>\alpha\, </math> i <math>\beta\, </math>. Drugi punkt <math>II\</math>, wspólny płaszczyzn <math>\alpha\, </math> i <math>\beta\, </math> wyznaczymy prowadząc dwie, należące odpowiednio do płaszczyzn <math>\alpha \cap \beta\, </math>, kolejne proste <math>b\, </math> i <math>b_{xy}\, </math> które przetną się właśnie w tym punkcie. Łącząc punkty <math>I\</math>, i <math>II\</math>, wyznaczymy pierwsza z poszukiwanych krawędzi <math>k_1 =\alpha \cap \beta\, </math>. Jak widać na rysunku C1.3b krawędź <math>k_1\, </math> leży na płaszczyźnie <math>\beta (ABCD)\</math>,, lecz nie przecina ściany <math>ABCD\</math>, sześcianu.
+Poprowadźmy dwie proste należące do płaszczyzny <math>\alpha (PQR)\,</math>: prostą <math>a\</math>, przechodzącą przez punkty <math>Q\</math>,, <math>R\</math>, oraz prostą b przechodzącą przez punkty <math>Q\</math>,, <math>P\</math>,. Proste te przecinają się w punkcie <math>Q\</math>,. Rzuty <math>a_{xy}\,</math> i <math>b_{xy}\,</math> tych prostych na płaszczyznę podstawy <math>\beta (ABCD)\,</math>, będą przecinały się w punkcie <math>Q_{xy}\,</math>. Proste <math>a\,</math> i <math>a_{xy}\,</math> przecinają się w punkcie oznaczonym cyfrą <math>I\</math>,. Punkt <math>I\</math>, jest, zatem wspólnym dla płaszczyzn <math>\alpha\,</math> i <math>\beta\,</math>, ponieważ należy do prostych <math>a\,</math> i <math>a_{xy}\,</math>, a te z kolei należą odpowiednio do płaszczyzn <math>\alpha\,</math> i <math>\beta\,</math>. Drugi punkt <math>II\</math>, wspólny płaszczyzn <math>\alpha\,</math> i <math>\beta\,</math> wyznaczymy prowadząc dwie, należące odpowiednio do płaszczyzn <math>\alpha \cap \beta\,</math>, kolejne proste <math>b\,</math> i <math>b_{xy}\,</math> które przetną się właśnie w tym punkcie. Łącząc punkty <math>I\</math>, i <math>II\</math>, wyznaczymy pierwsza z poszukiwanych krawędzi <math>k_1 =\alpha \cap \beta\,</math>. Jak widać na rysunku C1.3b krawędź <math>k_1\,</math> leży na płaszczyźnie <math>\beta (ABCD)\</math>,, lecz nie przecina ściany <math>ABCD\</math>, sześcianu.
 |}
@@ Linia 69: / Linia 69: @@
-'''Wyznaczanie krawędzi <math>k_2\, </math>'''
+'''Wyznaczanie krawędzi <math>k_2\,</math>'''
-Krawędź <math>k_2\, </math> wyznaczymy w sposób natychmiastowy, albowiem stanowi ona wspólną krawędź ścian <math>ABCD\</math>, oraz <math>BCFG\</math>, sześcianu.
+Krawędź <math>k_2\,</math> wyznaczymy w sposób natychmiastowy, albowiem stanowi ona wspólną krawędź ścian <math>ABCD\</math>, oraz <math>BCFG\</math>, sześcianu.
-'''Wyznaczanie krawędzi <math>k_3\, </math>'''
+'''Wyznaczanie krawędzi <math>k_3\,</math>'''
-Krawędź <math>k_2\, </math> przecina krawędź <math>k_1\, </math> w punkcie oznaczonym cyfrą <math>III\</math>,. Punkt <math>III\</math>, jest, zatem punktem '''''wspólnym trójki płaszczyzn''''' <math>\alpha\</math>,, <math>\beta\</math>, i <math>\gamma\</math>,. Przez ten punkt, zgodnie z cytowanym wcześniej twierdzeniem, będzie przechodziła trzecia krawędź <math>k_3=\alpha \cap \gamma\, </math>. Drugi punkt wspólny tych płaszczyzn jest punktem <math>R\</math>, (z założenia punkt należący do płaszczyzny <math>\alpha\</math>, i <math>\beta\</math>,). Punkty <math>III\</math>, i <math>R\</math>, wyznaczą nam poszukiwaną krawędź <math>k_3\</math>,, która jest krawędzią przekroju płaszczyzny <math>\alpha\</math>, z jedną ze ścian sześcianu. Krawędź <math>k_3\</math>, przecina krawędzie sześcianu: <math>BF\</math>, w punkcie <math>1\</math>, oraz <math>CG\</math>, w punkcie <math>2\</math>,. Punkty te wyznaczają odcinek będący krawędzią przekroju ściany <math>BCGF\</math>, sześcianu płaszczyzną <math>\alpha\</math>,.
+Krawędź <math>k_2\,</math> przecina krawędź <math>k_1\,</math> w punkcie oznaczonym cyfrą <math>III\</math>,. Punkt <math>III\</math>, jest, zatem punktem '''''wspólnym trójki płaszczyzn''''' <math>\alpha\</math>,, <math>\beta\</math>, i <math>\gamma\</math>,. Przez ten punkt, zgodnie z cytowanym wcześniej twierdzeniem, będzie przechodziła trzecia krawędź <math>k_3=\alpha \cap \gamma\,</math>. Drugi punkt wspólny tych płaszczyzn jest punktem <math>R\</math>, (z założenia punkt należący do płaszczyzny <math>\alpha\</math>, i <math>\beta\</math>,). Punkty <math>III\</math>, i <math>R\</math>, wyznaczą nam poszukiwaną krawędź <math>k_3\</math>,, która jest krawędzią przekroju płaszczyzny <math>\alpha\</math>, z jedną ze ścian sześcianu. Krawędź <math>k_3\</math>, przecina krawędzie sześcianu: <math>BF\</math>, w punkcie <math>1\</math>, oraz <math>CG\</math>, w punkcie <math>2\</math>,. Punkty te wyznaczają odcinek będący krawędzią przekroju ściany <math>BCGF\</math>, sześcianu płaszczyzną <math>\alpha\</math>,.
 |}

CWGI Ćwiczenie 1: Różnice pomiędzy wersjami

Wersja z 10:07, 5 wrz 2023

Menu nawigacyjne

Działania na stronie

Opcje strony

Narzędzia osobiste

Nawigacja

Szukaj

Narzędzia