Algebra liniowa z geometrią analityczną/Ćwiczenia 4: Odwzorowania liniowe: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
m Zastępowanie tekstu – „.</math>” na „</math>.”
m Zastępowanie tekstu – „,</math>” na „</math>,”
Linia 406: Linia 406:
{{wzor|4.2|4.2|
{{wzor|4.2|4.2|
<math>f(x_1,x_2,x_3)=(a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3, a_{21}x_1+a_{22}x_2+
<math>f(x_1,x_2,x_3)=(a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3, a_{21}x_1+a_{22}x_2+
a_{23}x_3),</math>}}
a_{23}x_3)</math>,}}




Linia 839: Linia 839:




<center><math>\psi \circ \varphi = Id_V ,</math></center>
<center><math>\psi \circ \varphi = Id_V </math>,</center>





Wersja z 09:28, 5 wrz 2023

Zadanie 4.1

Dane jest odwzorowanie f:n. Wykazać, że f jest odwzorowaniem liniowym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją takie liczby rzeczywiste a1,a2,,an, że dla dowolnego wektora 𝐱=(x1,x2,,xn)n zachodzi równość


f(𝐱)=a1x1+a2x2++anxn.      (4.1)


Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 4.2

Niech V oraz W będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem 𝕂. Wykazać, że odwzorowania


pV:V×W(v,w)vV,pW:V×W(v,w)wW


są liniowe.

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 4.3

Niech U, V oraz W będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem 𝕂 i niech dane bedą odwzorowania


φ:UV,ψ:UW


Definiujemy odwzorowanie


Φ=(φ,ψ):Uu(φ(u),ψ(u))V×W


Wykazać, że Φ=(φψ) jest odwzorowaniem liniowym wtedy i tylko wtedy, gdy φ i ψ są odwzorowaniami liniowymi.

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 4.4

Niech


f:3(x1,x2,x3)(x1+3x2+x3,2x1+3x2x3)2.


Wykazać, że odwzorowanie f jest liniowe. Znaleźć dowolną bazę podprzestrzeni kerf. Wyznaczyć rkf oraz dimkerf.

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 4.5

Wyznaczyć odwzorowanie liniowe f:32 takie, żeby


f((1,0,1))=(0,4),f((1,1,1))=(1,2),f((0,1,1))=(0,5).


Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 4.6

Sprawdzić, czy istnieje odwzorowanie liniowe

a) f:32 takie, że
f((1,0,1))=(4,1),f((0,1,1))=(1,0),f((1,1,1))=(0,2).
b) f:32 takie, że
f((1,1,1))=(1,0),f((0,1,2))=(0,1),f((1,2,3))=(2,2).
c) f:32 takie, że
f((1,2,0))=(2,1),f((2,0,1))=(5,1),f((1,2,1))=(3,2).


Odpowiedź uzasadnić. W przypadku odpowiedzi pozytywnej wyznaczyć chociaż jedno takie odwzorowanie.

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 4.7

Znaleźć endomorfizm f:22 taki, żeby


kerf=Imf={(2t,3t);t}.


Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 4.8

Znaleźć odwzorowanie liniowe f:32 takie, żeby


f((1,2,1))=(1,1),f((0,1,1))=(2,2)


oraz


kerf={(t,t,t):t}.


Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 4.9

Niech


u1=(0,1,1),u2=(1,0,1)


będą dwoma wektorami przestrzeni 3 i niech U oznacza podprzestrzeń generowaną przez wektory u1 oraz u2. Niech ponadto g:2(s,t)3st. Znaleźć odwzorowanie liniowe f:32 takie, żeby kerf=U oraz gf=0.

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 4.10

Niech V i W będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem 𝕂 i niech h:VW będzie odwzorowaniem liniowym. Wykazać, że


T:={(v,w)V×W; w=h(v)}


jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni V×W.

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 4.11

Niech V oraz W będą skończenie wymiarowymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem 𝕂. Niech φ:VW będzie monomorfizmem. Wykazać, że istnieje takie odwzorowanie liniowe ψ:WV, że ψφ=IdV.

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 4.12

Niech V oraz W będą skończenie wymiarowymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem 𝕂. Niech φ:VW będzie epimorfizmem. Wykazać, że istnieje takie odwzorowanie liniowe ψ:WV, że φψ=IdW.

Wskazówka
Rozwiązanie