|
|
Linia 406: |
Linia 406: |
| {{wzor|4.2|4.2| | | {{wzor|4.2|4.2| |
| <math>f(x_1,x_2,x_3)=(a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3, a_{21}x_1+a_{22}x_2+ | | <math>f(x_1,x_2,x_3)=(a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3, a_{21}x_1+a_{22}x_2+ |
| a_{23}x_3),</math>}} | | a_{23}x_3)</math>,}} |
|
| |
|
|
| |
|
Linia 839: |
Linia 839: |
|
| |
|
|
| |
|
| <center><math>\psi \circ \varphi = Id_V ,</math></center> | | <center><math>\psi \circ \varphi = Id_V </math>,</center> |
|
| |
|
|
| |
|
Zadanie 4.1
Dane jest odwzorowanie .
Wykazać, że jest odwzorowaniem liniowym wtedy i tylko wtedy, gdy
istnieją takie liczby rzeczywiste , że dla
dowolnego wektora
zachodzi równość
. (4.1)
Wskazówka Dowód rozbić na dwie implikacje. Łatwo jest wykazać, że każde odwzorowanie zadane wzorem (
4.1) jest liniowe. W drugą stronę można skorzystać z zadania
3.4 i twierdzenia, które mówi, że każde odwzorowanie liniowe jest zdeterminowane przez swoje wartości na bazie.
Rozwiązanie Ustalmy
.
Załóżmy, że istnieją liczby rzeczywiste takie, że
dla wszystkich wektorów
. Niech oraz
będą dowolnymi wektorami w i niech oraz będą dowolnymi skalarami
(elementami ciała ). Wówczas
Równości i otrzymaliśmy na podstawie definicji działań w , natomiast równości i są konsekwencją postaci odwzorowania . Wykazana powyżej równość oznacza, że jest odwzorowaniem liniowym i dowód pierwszej implikacji jest zakończony.
Dla dowodu drugiej implikacji załóżmy, że jest odwzorowaniem liniowym. Niech oznacza -ty wektor bazy kanonicznej
przestrzeni . Dla zdefiniujmy liczbę rzeczywistą
Twierdzimy, że dla każdego wektora . Zauważmy, że (patrz także zadanie 3.4)
.
Z liniowości odwzorowania wynika, że
Prawą stronę powyższej równości przy naszych oznaczeniach można
zapisać w następujący sposób
co kończy dowód naszej implikacji.
Zadanie 4.2
Niech oraz będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem . Wykazać, że odwzorowania
są liniowe.
Wskazówka Skorzystać z definicji odwzorowania liniowego i definicji działań w przestrzeni .
Rozwiązanie Niech
oraz
będą dowolnymi wektorami należącymi do przestrzeni
oraz niech
oraz
będą dowolnymi skalarami (elementami ciała
). Wykażemy, że rzutowanie
jest liniowe (dowód dla
przebiega analogicznie).
co było do okazania.
Zadanie 4.3
Niech , oraz będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem
i niech dane bedą odwzorowania
Definiujemy odwzorowanie
Wykazać, że jest odwzorowaniem liniowym wtedy i tylko wtedy, gdy i są odwzorowaniami liniowymi.
Wskazówka Dla dowodu jednej z implikacji zauważyć, że zachodzą równości:
, oraz
, gdzie
oraz
są rzutowaniami zdefiniowanymi w zadaniu
4.2. Dla dowodu drugiej z implikacji skorzystać z definicji działań w przestrzeni
.
Rozwiązanie Załóżmy, że
jest odwzorowaniem liniowym, Zauważmy, że
,
, gdzie
oraz
oznaczają rzutowania
Zatem jeżeli jest odwzorowaniem liniowym, to oraz są liniowe, jako że dają się przedstawić jako
złożenia odwzorowań liniowych. Dowód pierwszej implikacji jest zakończony.
Jeżeli oraz są odwzorowaniami liniowymi i dane są wektory oraz skalary , to
co było do okazania.
Zadanie 4.4
Niech
Wykazać, że odwzorowanie jest liniowe. Znaleźć dowolną bazę
podprzestrzeni . Wyznaczyć oraz .
Wskazówka Podobnie jak w rozwiązaniu zadania
4.1 można przeprowadzić bezpośredni dowód liniowości odwzorowania
. Można także skorzystać z zadań
4.1 i
4.3.
Każdy wektor należący do jądra odwzorowania spełnia warunek
Przestrzeń można zatem znaleźć rozwiązując układ równań wypisany na podstawie tej równości, czyli układ
Bazę podprzestrzeni otrzymamy biorąc dowolny maksymalny układ liniowo niezależnych wektorów
należących do .
Znając bazę przestrzeni automatycznie znamy ,
co pozwala wyznaczyć ze wzoru:
Rozwiązanie Na mocy zadania
4.3 odwzorowanie
jest liniowe, ponieważ jest zestawieniem dwóch odwzorowań liniowych
i
, gdzie
Odwzorowania i są liniowe na mocy zadania 4.1.
Aby znaleźć należy rozwiązać jednorodny układ równań liniowych równoważny z równaniem , czyli
Jeżeli od równania drugiego odejmiemy równanie pierwsze przemnożone
przez , następnie do równania pierwszego dodamy przekształcone
równanie drugie, a na koniec przemnożymy drugie równanie stronami
przez , to otrzymamy układ równoważny z wyjściowym
(tzn. o tym samym zbiorze rozwiązań). Układ ten wygląda następująco:
Rozwiązaniem tego układu jest każdy wektor postaci
Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \left\{\begin{array} {rcl} x_1 &= 2s \\ x_2 &= -s \\ x_3 &= s, \end{array} \right}
.
gdzie jest parametrem, który może przyjąć
dowolną wartość. Oznacza to, że zbiór
jest zbiorem rozwiązań naszego układu, a ponieważ zbiór rozwiązań
pokrywa się z jądrem odwzorowania widzimy, że
czyli
a zatem bazą dla jest np. układ, którego jedynym elementem
jest wektor . Oczywiście dowodzi to, że
.
Oznacza to, że
.
Zadanie 4.5
Wyznaczyć odwzorowanie liniowe takie, żeby
Wskazówka Możemy skorzystać z zadań
4.1 oraz
4.3 i zauważyć, że poszukiwane przez nas odwzorowanie musi być dane wzorem
gdzie są nieznanymi współczynnikami. Znając wartości
odwzorowania na konkretnych wektorach możemy wyznaczyć układ równań, który muszą spełniać nasze niewiadome.
Rozwiązanie Zauważmy, że wektory
stanowią bazę przestrzeni
. Istnieje zatem dokładnie jedno odwzorowanie liniowe takie, że
Na mocy zadań 4.1 oraz 4.3 każde odwzorowanie liniowe musi być dane wzorem:
gdzie . Z warunków podanych w treści zadania wynika, że poszukiwane współczynniki spełniają następujące równości:
Aby wyznaczyć wzór na należy zatem rozwiązać następujący układ równań o niewiadomych
Aby ułatwić sobie obliczenia można zauważyć, że w równaniach
w których występują niewiadome , lub , nie
występują niewiadome , oraz i na odwrót
w równaniach, w których występują niewiadome , lub
, nie występują niewiadome , i .
Mamy zatem do czynienia z dwoma układami trzech równań liniowych
o trzech niewiadomych. Te układy to:
Zauważmy, że oba te układy mają te same współczynniki i różnią się
jedynie prawymi stronami (oraz nazwami niewiadomych). Po wykonaniu
odpowiednich obliczeń (tzn. po rozwiązaniu obu układów) otrzymujemy:
czyli
Zadanie 4.6
Sprawdzić, czy istnieje odwzorowanie liniowe
- a) takie, że
- b) takie, że
- c) takie, że
Odpowiedź uzasadnić. W przypadku odpowiedzi pozytywnej wyznaczyć
chociaż jedno takie odwzorowanie.
Wskazówka Należy zbadać liniową (nie)zależność wektorów, na których
ma przyjąć zadane wartości. Jeżeli wektory, na których jest już zdefiniowane nasze odwzorowanie są liniowo niezależne, to istnieje odwzorowanie liniowe przyjmujące na podanych wektorach zadane wartości. Takie odwzorowanie jest jedyne, jeżeli wektory, na których zadano wartości naszego odwzorowania, stanowią bazę przestrzeni. Jeżeli podane wektory są liniowo zależne, to odpowiednie odwzorowanie liniowe istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy odwzorowanie zadano zachowując związki zachodzące między wektorami, tzn. jeżeli jakiś wektor jest kombinacją liniową pozostałych to wartość jaką ma przyjmować odwzorowanie na tym wektorze musi być kombinacją liniową wartości pozostałych wektorów z tymi samymi współczynnikami. Jeżeli takie odwzorowanie istnieje, to możemy je wyznaczyć podobnie jak w rozwiązaniu zadania
4.5.
Rozwiązanie Na mocy zadań
4.1 oraz
4.3 każde odwzorowanie liniowe
musi być dane wzorem:
, (4.2)
gdzie .
Jeżeli wektory, na których jest już zdefiniowane nasze odwzorowanie są liniowo niezależne, to istnieje odwzorowanie liniowe przyjmujące na podanych wektorach zadane wartości. Takie odwzorowanie jest jedyne, jeżeli wektory, na których jest już zdefiniowane nasze odwzorowanie stanowią bazę przestrzeni. Jeżeli podane wektory są liniowo zależne, to odpowiednie odwzorowanie liniowe istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy odwzorowanie zadano zachowując związki zachodzące między wektorami, tzn. jeżeli jakiś wektor jest kombinacją liniową pozostałych to wartość jaką ma przyjmować odwzorowanie na tym wektorze musi być kombinacją liniową wartości pozostałych wektorów z tymi samymi współczynnikami. Dlatego będziemy badać liniową niezależność podanych wektorów.
- a) Zauważmy, że wektory , , stanowią bazę przestrzeni . Istnieje zatem dokładnie jedno odwzorowanie liniowe takie, że
Analogicznie jak w zadaniu 4.5, aby wyznaczyć wzór na należy rozwiązać układ równań o niewiadomych . Układ ten znajdujemy jak w rozwiązaniu zadania 4.5, czyli podstawiając do wzoru (4.2) odpowiednie wektory i przyrównując do odpowiednich wartości.
Ponownie zauważmy, że nasz układ to w rzeczywistości dwa układy o tych samych współczynnikach, różniące się jedynie prawymi stronami oraz oznaczeniem niewiadomych:
Po wykonaniu odpowiednich obliczeń otrzymujemy:
czyli
- b) Zauważmy, że
ale
Oznacza to, że takie odwzorowanie liniowe nie może istnieć.
- c) Zauważmy, że
oraz
Oznacza to, że istnieje nieskończenie wiele odwzorowań liniowych
spełniających warunki podane w podpunkcie c) - wystarczy uzupełnić
układ złożony z liniowo niezależnych wektorów oraz
do bazy przestrzeni i zadać na tym trzecim
wektorze dowolną wartość z . Możemy np. jako trzeci wektor
bazy wziąć wektor i przyjąć, że . Musimy
wówczas rozwiązać układ równań (układ ten otrzymaliśmy rozumując jak
w rozwiązaniu zadania 4.5:
Rozwiązując ten układ otrzymujemy:
czyli
Zadanie 4.7
Znaleźć endomorfizm taki, żeby
.
Wskazówka Znajomość pozwala wyznaczyć wartość odwzorowania na pewnej podprzestrzeni . Jeżeli uda nam się uzupełnić bazę tej podprzestrzeni do bazy całego , to będziemy mogli zadać na pewnej bazie całej przestrzeni w ten sposób, że będą spełnione warunki zadania.
Rozwiązanie Zauważmy, że
Oznacza to, że wektor jest wektorem bazowym dla . Wiemy, że poszukiwane przez nas odwzorowanie musi być dane wzorem
Wybierzmy dowolną bazę zawierającą wektor , np. dokładając wektor . Z warunków zadania wynika, że wektor musi należeć do jądra odwzorowania , czyli
.
Zadajmy teraz na drugim wektorze bazowym tak, aby wektor należał do kładąc:
Zatem współczynniki występujące we wzorze na muszą spełniać
układ równań liniowych, który podobnie jak w rozwiązaniach
zadań 4.5 i 4.6 można rozbić na dwa układy,
które wypisujemy poniżej:
Jedynym rozwiązaniem tego układu są liczby
Czyli
Zadanie 4.8
Znaleźć odwzorowanie liniowe takie, żeby
oraz
Wskazówka Zauważmy, że wektory , i tworzą bazę przestrzeni . Dodatkowo znamy wartość odwzorowania na każdym z tych wektorów. Pamiętajmy, że znając wartości odwzorowania liniowego na bazie możemy jednoznacznie wyznaczyć to odwzorowanie.
Rozwiązanie Na mocy zadań
4.1 oraz
4.3 każde odwzorowanie liniowe
musi być dane wzorem:
gdzie .
Aby wyznaczyć ten wzór wystarczy, że znajdziemy pewną bazę przestrzeni , na której na podstawie warunków podanych w zadaniu będziemy w stanie określić wartości odwzorowania .
Zauważmy, że
Z warunków podanych w treści zadania wynika, że znamy wartości
na wektorach , oraz każdym wektorze postaci
, gdzie jest dowolnym parametrem.
Zauważmy, że wektory , , tworzą bazę przestrzeni (bo rozwiązując odpowiedni układ równań możemy sprawdzić, że są one liniowo niezależne, a wymiar jest równy ). Zatem istnieje tylko jedno odwzorowanie liniowe spełniające warunki:
Wzór tego odwzorowania znajdujemy rozwiązując odpowiedni układ
równań, który wypisujemy na podstawie powyższych obserwacji.
Ponownie ten układ możemy rozbić na dwa niezależne układy równań
o trzech niewiadomych. Układy te podajemy poniżej:
Po rozwiązaniu ich otrzymujemy wtedy następujący wzór na
odwzorowanie :
Zadanie 4.9
Niech
będą dwoma wektorami przestrzeni i niech oznacza
podprzestrzeń generowaną przez wektory oraz . Niech
ponadto . Znaleźć
odwzorowanie liniowe takie, żeby oraz .
Wskazówka Jeżeli znajdziemy wektor taki, że wektory , oraz będą tworzyły bazę przestrzeni , to w celu wyznaczenia możemy zadać wartości szukanego odwzorowania na tej bazie tak, żeby zerowało się na wektorach i , a równocześnie żeby .
Rozwiązanie Na mocy zadań
4.1 oraz
4.3 każde odwzorowanie liniowe
musi być dane wzorem:
gdzie .
Zauważmy, że wektory oraz są liniowo niezależne w przestrzeni oraz uzupełniając układ złożony z wektorów i o wektor otrzymujemy bazę przestrzeni . Szukane odwzorowanie zdefiniujemy podając jakie wartości ma ono przyjmować na bazie złożonej z wektorów , oraz . Z warunku wynika natychmiast, że muszą zachodzi równości:
Aby dodatkowo był spełniony warunek musi zachodzić
.
Ponieważ wystarczy wziąć
. Teraz układając odpowiedni układ
równań i rozwiązując go otrzymamy wzór na odwzorowanie
spełniające powyższe warunki. Ponownie układ ten możemy rozbić
na dwa niezależne układy równań o trzech niewiadomych. Otrzymamy
wówczas następujace układy:
Rozwiązując je otrzymujemy wzór naszego odwzorowania:
Zadanie 4.10
Niech i będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem
i niech będzie odwzorowaniem liniowym.
Wykazać, że
jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni .
Wskazówka Należy skorzystać z definicji odwzorawania liniowego oraz sposobu określenia działań w przestrzeni .
Rozwiązanie Zauważmy, że wektor
, zatem
jest zbiorem niepustym. Niech
oraz
będą dowolnymi wektorami należącymi do zbioru
oraz niech
oraz
będą dowolnymi skalarami (elementami ciała
). Z definicji
zbioru wynika, że oraz . Rozpatrzmy
kombinację liniową:
co oznacza, że ,
czyli musi być podprzestrzenią (z liniowości odwzorowania
skorzystaliśmy przy podpunkcie ).
Zadanie 4.11
Niech oraz będą skończenie wymiarowymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem . Niech będzie monomorfizmem. Wykazać, że istnieje takie
odwzorowanie liniowe , że .
Wskazówka Najłatwiej będzie pracować na bazach przestrzeni i . Poszukując odpowiedniego odwzorowania będziemy się starali odpowiednio podać jego wartości na wybranej przez nas bazie przestrzeni . Zauważmy, że jeżeli jest monomorfizmem, to odwzorowanie jest izomorfizmem, czyli odwzorowaniem odwracalnym i odwzorowywuje bazę przestrzeni na bazę podprzestrzeni . Ponieważ baza podprzestrzeni jest zbiorem wektorów liniowo niezależnych w przestrzeni , zatem korzystając z tego, że , możemy ją uzupełnić do bazy przestrzeni . Zadanie odpowiednich wartości na wybranej bazie zakończy rozwiązanie zadania.
Rozwiązanie Odwzorowanie
jest monomorfizmem, zatem zachodzi zależność
Jeżeli , to odwzorowanie musi być
izomorfizmem i teza jest oczywista. Zakładamy zatem, że . Niech wektory będą bazą przestrzeni .
Oczywiście wektory generują
podprzestrzeń . Co więcej, ponieważ jest
monomorfizmem wektory są liniowo
niezależne w przestrzeni . Możemy wybrać wektory , gdzie , w ten sposób, że wektory
będą stanowiły
bazę przestrzeni . Potrzebne nam odwzorowanie zdefiniujemy
poprzez określenie jego wartości na bazie
.
Zdefiniujmy zatem:
Korzystając z liniowości odwzorowań oraz łatwo sprawdzić, że
,
co było do okazania.
Zadanie 4.12
Niech oraz będą skończenie wymiarowymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem
. Niech będzie epimorfizmem. Wykazać,
że istnieje takie odwzorowanie liniowe , że .
Wskazówka Przedstawić
w postaci
, gdzie
jest pewną podprzestrzenią przestrzeni
i zauważyć, że odwozorwanie:
jest izomorfizmem.
Rozwiązanie Niech
będzie dopełnieniem algebraicznym podprzestrzeni
, tzn. niech
.
Wtedy
jest izomorfizmem, a zatem istnieje odwzorowanie odwrotne
.
Wystarczy teraz położyć , gdzie .