Analiza matematyczna 2/Test 2: Ciągi w przestrzeniach metrycznych: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
← poprzednia edycja
WizualnieWikikod
m Zastępowanie tekstu – „\displaystyle” na „”
m Zastępowanie tekstu – „.</math>” na „</math>.”
 
Linia 18: Linia 18:
<quiz>
<quiz>
W <math>\mathbb{R}^2</math> z metryką kolejową o węźle <math>O=(0,0)</math>
W <math>\mathbb{R}^2</math> z metryką kolejową o węźle <math>O=(0,0)</math>
dany jest ciąg <math>x_n=(-\frac{1}{n},-1)</math> dla <math>n\in\mathbb{N}.</math>
dany jest ciąg <math>x_n=(-\frac{1}{n},-1)</math> dla <math>n\in\mathbb{N}</math>.
Odległość między kolejnymi wyrazami tego ciągu <math>d(x_n,x_{n+1})</math>
Odległość między kolejnymi wyrazami tego ciągu <math>d(x_n,x_{n+1})</math>
<wrongoption>maleje do zera, gdy <math>n\rightarrow+\infty</math></wrongoption>
<wrongoption>maleje do zera, gdy <math>n\rightarrow+\infty</math></wrongoption>
Linia 47: Linia 47:


<quiz>
<quiz>
W <math>\mathbb{R}</math> z metryką dyskretną rozważamy zbiór <math>A=\{5,25\}.</math> Zbiór <math>A</math>
W <math>\mathbb{R}</math> z metryką dyskretną rozważamy zbiór <math>A=\{5,25\}</math>. Zbiór <math>A</math>
<wrongoption>jest spójny</wrongoption>
<wrongoption>jest spójny</wrongoption>
<rightoption>jest zwarty</rightoption>
<rightoption>jest zwarty</rightoption>
Linia 55: Linia 55:


<quiz>
<quiz>
Niech <math>A</math> będzie kulą w <math>\mathbb{R}^2</math> z metryką <math>d_1</math> o środku <math>(0,0)</math> i promieniu <math>1.</math>
Niech <math>A</math> będzie kulą w <math>\mathbb{R}^2</math> z metryką <math>d_1</math> o środku <math>(0,0)</math> i promieniu <math>1</math>.
Promień największej kuli w <math>\mathbb{R}^2</math> z metryką <math>d_2</math>
Promień największej kuli w <math>\mathbb{R}^2</math> z metryką <math>d_2</math>
o środku <math>(0,0)</math> zawartej w kuli <math>A</math> wynosi
o środku <math>(0,0)</math> zawartej w kuli <math>A</math> wynosi
Linia 65: Linia 65:


<quiz>
<quiz>
W przestrzeni metrycznej dyskretnej dany jest zbiór ciągowo zwarty <math>A.</math> Wówczas zbiór <math>A</math> jest
W przestrzeni metrycznej dyskretnej dany jest zbiór ciągowo zwarty <math>A</math>. Wówczas zbiór <math>A</math> jest
<rightoption>zwarty</rightoption>
<rightoption>zwarty</rightoption>
<rightoption>skończony</rightoption>
<rightoption>skończony</rightoption>
Linia 73: Linia 73:


<quiz>
<quiz>
W przestrzeni metrycznej <math>(\mathbb{R},d_2)</math> dany jest zbiór <math>A=\{-1\}\cup [2,3].</math> Wówczas
W przestrzeni metrycznej <math>(\mathbb{R},d_2)</math> dany jest zbiór <math>A=\{-1\}\cup [2,3]</math>. Wówczas
<rightoption><math>\mathrm{int}\, A=(2,3)</math></rightoption>
<rightoption><math>\mathrm{int}\, A=(2,3)</math></rightoption>
<wrongoption><math>\partial A=\{2,3\}</math></wrongoption>
<wrongoption><math>\partial A=\{2,3\}</math></wrongoption>
<rightoption><math>\partial (\mathrm{int}\, A)=\{2,3\}</math></rightoption>
<rightoption><math>\partial (\mathrm{int}\, A)=\{2,3\}</math></rightoption>
</quiz>
</quiz>

Aktualna wersja na dzień 09:21, 5 wrz 2023

Ciąg w przestrzeni metrycznej dyskretnej jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy

jest stały

jest od pewnego miejsca stały

zawsze


Ciąg {1n}n∈ℕ w przestrzeni metrycznej (ℝ∖{0},d2) jest ciągiem

zbieżnym w tej przestrzeni

spełniającym warunek Cauchy'ego w tej przestrzeni

ograniczonym w tej przestrzeni


W ℝ2 z metryką kolejową o węźle O=(0,0) dany jest ciąg xn=(−1n,−1) dla n∈ℕ. Odległość między kolejnymi wyrazami tego ciągu d(xn,xn+1)

maleje do zera, gdy n→+∞

jest zawsze w przedziale [1,2]

jest zawsze w przedziale [2,4]


Punktami stałymi odwzorowania f:ℝ⟶ℝ,f(x)=x2+x−1 są

1+52 i 1−52

−1 i 1

odwzorowanie nie ma punktów stałych


Obrazem odcinka [0,1] przez funkcję 1x−2 jest

[12,1]

[−1,−12]

(−∞,−12]


W ℝ z metryką dyskretną rozważamy zbiór A={5,25}. Zbiór A

jest spójny

jest zwarty

zawiera się w pewnej kuli o promieniu 2


Niech A będzie kulą w ℝ2 z metryką d1 o środku (0,0) i promieniu 1. Promień największej kuli w ℝ2 z metryką d2 o środku (0,0) zawartej w kuli A wynosi

1

2

22


W przestrzeni metrycznej dyskretnej dany jest zbiór ciągowo zwarty A. Wówczas zbiór A jest

zwarty

skończony

ograniczony


W przestrzeni metrycznej (ℝ,d2) dany jest zbiór A={−1}∪[2,3]. Wówczas

intA=(2,3)

∂A={2,3}

∂(intA)={2,3}

Źródło: „https://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Analiza_matematyczna_2/Test_2:_Ciągi_w_przestrzeniach_metrycznych&oldid=80464”