Analiza matematyczna 1/Test 10: Wzór Taylora. Ekstrema

Funkcja $x\mapsto (5-x)\sqrt[3]{x^2}$

ma dokładnie dwa punkty krytyczne Dobrze

nie ma ekstremum w punkcie $0$ Źle

ma minimum w punkcie 2. Źle

Funkcja $x\to x+\ln (\sin x)$

ma punkty krytyczne postaci $\frac{\pi }{4}+k\pi$, gdzie $k\in \mathbb{\mathbb{Z}}$ Źle

ma tylko minima Źle

nie ma punktów krytycznych w przedziale $(\frac{5\pi }{2},3\pi )$. Źle

Niech $f(x)=x^m(1-x{)}^n$ dla pewnych liczb naturalnych $m,n$. Wtedy

funkcja $f$ ma dokładnie trzy punkty krytyczne Źle

funkcja $f$ ma maksimum w pewnym punkcie leżącym w przedziale $(0,1)$ Dobrze

funkcja $f$ może mieć dwa minima. Dobrze

Liczba $\frac{\pi }{2}$ jest największą wartością funkcji

$x\mapsto x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}$ w przedziale $[0,1]$ Dobrze

$x\mapsto \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}x+\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}x$ w przedziale $[1,+\mathrm{\infty })$ Dobrze

$x\mapsto (1-x)\arccos x$ w przedziale $[0,1]$. Dobrze

Z prostokątnego arkusza blachy o wymiarach $a\times b$ wycięto w każdym rogu kwadrat o boku $x$. Z pozostałej blachy utworzono otwarte prostopadłościenne pudełko o wysokości $x$. Wartość $x$ została tak dobrana, że pojemność pudełka jest maksymalna. Wtedy

jeśli $a=3$ i $b=8$, to pojemność ta wynosi $\frac{200}{27}$ Dobrze

jeśli $a=b$, to $x=\frac{a}{6}$ Dobrze

jeśli $a$ i $b$ są całkowite, to $x$ jest wymierne. Źle

Przykładem funkcji różniczkowalnej dwukrotnie, która nie jest klasy $C^2$ jest funkcja

$x\mapsto \{\begin{array}{ll}{x}^4\cos \frac{1}{x},& \mathrm{g}\mathrm{d}\mathrm{y}x\ne 0\\ 0,& \mathrm{g}\mathrm{d}\mathrm{y}x=0\end{array}$ Dobrze

$x\mapsto \{\begin{array}{ll}-x^3,& \mathrm{g}\mathrm{d}\mathrm{y}x\ge 0\\ x^3,& \mathrm{g}\mathrm{d}\mathrm{y}x<0\end{array}$ Źle

$x\mapsto \{\begin{array}{ll}x\sinh x,& \mathrm{g}\mathrm{d}\mathrm{y}x\ge 0\\ -x\sinh x,& \mathrm{g}\mathrm{d}\mathrm{y}x<0\end{array}$. Dobrze