Matematyka dyskretna 1/Test 6: Permutacje i podziały: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
m Poprawka #5
m Zastępowanie tekstu – „\displaystyle ” na „”
 
Linia 1: Linia 1:
<quiz>Niech <math>\displaystyle n_{\pi},n_{\sigma},n_{\rho}</math> będą kolejno liczbami permutacji w <math>\displaystyle S_7</math>  
<quiz>Niech <math>n_{\pi},n_{\sigma},n_{\rho}</math> będą kolejno liczbami permutacji w <math>S_7</math>  
tego samego typu co, odpowiednio,  
tego samego typu co, odpowiednio,  
<math>\displaystyle \pi=(14)(26)(357)</math>, <math>\displaystyle \sigma=(1357)(246)</math>, <math>\displaystyle \rho=(12)(34)(56)(7)</math>. Wtedy:
<math>\pi=(14)(26)(357)</math>, <math>\sigma=(1357)(246)</math>, <math>\rho=(12)(34)(56)(7)</math>. Wtedy:
<wrongoption>  <math>\displaystyle n_{\pi}\leqslant n_{\rho}\leqslant n_{\sigma}</math></wrongoption>
<wrongoption>  <math>n_{\pi}\leqslant n_{\rho}\leqslant n_{\sigma}</math></wrongoption>
<wrongoption>  <math>\displaystyle n_{\sigma}\leqslant n_{\pi}\leqslant n_{\rho}</math></wrongoption>
<wrongoption>  <math>n_{\sigma}\leqslant n_{\pi}\leqslant n_{\rho}</math></wrongoption>
<rightoption> <math>\displaystyle n_{\rho}\leqslant n_{\pi}\leqslant n_{\sigma}</math></rightoption>
<rightoption> <math>n_{\rho}\leqslant n_{\pi}\leqslant n_{\sigma}</math></rightoption>
<wrongoption> <math>\displaystyle n_{\pi}\leqslant n_{\sigma}\leqslant n_{\rho}</math></wrongoption>
<wrongoption> <math>n_{\pi}\leqslant n_{\sigma}\leqslant n_{\rho}</math></wrongoption>
</quiz>  
</quiz>  


<quiz>Dla sprzężonych permutacji <math>\displaystyle \pi,\sigma\in S_{13}</math> zachodzi:
<quiz>Dla sprzężonych permutacji <math>\pi,\sigma\in S_{13}</math> zachodzi:
<rightoption>  <math>\displaystyle \pi</math> i <math>\displaystyle \sigma</math> mają tyle samo cykli <math>\displaystyle 4</math>-elementowych</rightoption>
<rightoption>  <math>\pi</math> i <math>\sigma</math> mają tyle samo cykli <math>4</math>-elementowych</rightoption>
<wrongoption> elementy <math>\displaystyle 1</math> i <math>\displaystyle 2</math> albo są w tym samym cyklu w obu permutacjach, albo nie są w tym samym cyklu w obu permutacjach</wrongoption>
<wrongoption> elementy <math>1</math> i <math>2</math> albo są w tym samym cyklu w obu permutacjach, albo nie są w tym samym cyklu w obu permutacjach</wrongoption>
<rightoption>  <math>\displaystyle \pi</math> i <math>\displaystyle \sigma</math> mają ten sam typ</rightoption>
<rightoption>  <math>\pi</math> i <math>\sigma</math> mają ten sam typ</rightoption>
<rightoption>  <math>\displaystyle \pi</math> i <math>\displaystyle \sigma</math> mają ten sam znak</rightoption>
<rightoption>  <math>\pi</math> i <math>\sigma</math> mają ten sam znak</rightoption>
</quiz>  
</quiz>  


<quiz>Dla <math>\displaystyle n\geqslant 2</math>, podziałowa liczba Stirlinga  <math>\displaystyle \left\{\begin{array} {c}n\\ 2\end{array} \right\}</math> wynosi:
<quiz>Dla <math>n\geqslant 2</math>, podziałowa liczba Stirlinga  <math>\left\{\begin{array} {c}n\\ 2\end{array} \right\}</math> wynosi:
<wrongoption> <math>\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}{n\choose k}k!=\sum_{k=1}^{n-1}\frac{n!}{k!}</math></wrongoption>
<wrongoption> <math>\sum_{k=1}^{n-1}{n\choose k}k!=\sum_{k=1}^{n-1}\frac{n!}{k!}</math></wrongoption>
<wrongoption> <math>\displaystyle n!\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k(n-k)}</math></wrongoption>
<wrongoption> <math>n!\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k(n-k)}</math></wrongoption>
<wrongoption> <math>\displaystyle n!\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k(n-k)}</math></wrongoption>
<wrongoption> <math>n!\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k(n-k)}</math></wrongoption>
<rightoption>  <math>\displaystyle \frac{n!}{2}\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k(n-k)}</math></rightoption>
<rightoption>  <math>\frac{n!}{2}\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k(n-k)}</math></rightoption>
</quiz>  
</quiz>  


<quiz>Średnia liczba cykli permutacji <math>\displaystyle n</math>-elementowej  
<quiz>Średnia liczba cykli permutacji <math>n</math>-elementowej  
(czyli stosunek sumarycznej liczby cykli we wszystkich permutacjach <math>\displaystyle n</math>-elementowych  
(czyli stosunek sumarycznej liczby cykli we wszystkich permutacjach <math>n</math>-elementowych  
do liczby cykli <math>\displaystyle n</math>-elementowych) to:
do liczby cykli <math>n</math>-elementowych) to:
<wrongoption> <math>\displaystyle 2n</math></wrongoption>
<wrongoption> <math>2n</math></wrongoption>
<wrongoption> <math>\displaystyle \left\lfloor \frac{n}{\lg{n}} \right\rfloor+1</math></wrongoption>
<wrongoption> <math>\left\lfloor \frac{n}{\lg{n}} \right\rfloor+1</math></wrongoption>
<rightoption>  <math>\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}</math></rightoption>
<rightoption>  <math>\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}</math></rightoption>
<wrongoption> <math>\displaystyle \frac{n}{2}</math></wrongoption>
<wrongoption> <math>\frac{n}{2}</math></wrongoption>
</quiz>  
</quiz>  


<quiz>Podziałowa liczba Stirlinga<math>\displaystyle \left\{\begin{array} {c}7\\ 4\end{array} \right\}</math> wynosi:
<quiz>Podziałowa liczba Stirlinga<math>\left\{\begin{array} {c}7\\ 4\end{array} \right\}</math> wynosi:
<wrongoption> <math>\displaystyle 90</math></wrongoption>
<wrongoption> <math>90</math></wrongoption>
<wrongoption> <math>\displaystyle 140</math></wrongoption>
<wrongoption> <math>140</math></wrongoption>
<wrongoption> <math>\displaystyle 301</math></wrongoption>
<wrongoption> <math>301</math></wrongoption>
<rightoption>  <math>\displaystyle 350</math></rightoption>
<rightoption>  <math>350</math></rightoption>
</quiz>  
</quiz>  


<quiz>Jednomian <math>\displaystyle x^n</math> jest równy:
<quiz>Jednomian <math>x^n</math> jest równy:
<rightoption>  <math>\displaystyle \sum_i\left\{\begin{array} {c}n\\ i\end{array} \right\}x^{\underline{i}}</math></rightoption>
<rightoption>  <math>\sum_i\left\{\begin{array} {c}n\\ i\end{array} \right\}x^{\underline{i}}</math></rightoption>
<wrongoption> <math>\displaystyle B_nx^{\underline{n}}</math>, gdzie <math>\displaystyle B_n</math> jest <math>\displaystyle n</math>-tą liczbą Bella</wrongoption>
<wrongoption> <math>B_nx^{\underline{n}}</math>, gdzie <math>B_n</math> jest <math>n</math>-tą liczbą Bella</wrongoption>
<wrongoption> <math>\displaystyle \sum_i\left[\begin{array} {c}n\\ i\end{array} \right]x^{\overline{i}}</math></wrongoption>
<wrongoption> <math>\sum_i\left[\begin{array} {c}n\\ i\end{array} \right]x^{\overline{i}}</math></wrongoption>
<rightoption>  <math>\displaystyle \sum_i\left\{\begin{array} {c}n\\ i\end{array} \right\}(-1)^{n-i}x^{\overline{i}}</math></rightoption>
<rightoption>  <math>\sum_i\left\{\begin{array} {c}n\\ i\end{array} \right\}(-1)^{n-i}x^{\overline{i}}</math></rightoption>
</quiz>  
</quiz>  


<quiz>Na ile sposobów można rozłożyć <math>\displaystyle a</math> rozróżnialnych obiektów  
<quiz>Na ile sposobów można rozłożyć <math>a</math> rozróżnialnych obiektów  
do dokładnie <math>\displaystyle b</math> rozróżnialnych szuflad, tak by każda szufladka była niepusta?
do dokładnie <math>b</math> rozróżnialnych szuflad, tak by każda szufladka była niepusta?
<wrongoption> <math>\displaystyle b^a</math></wrongoption>
<wrongoption> <math>b^a</math></wrongoption>
<wrongoption> <math>\displaystyle \left\{\begin{array} {c}a\\ b\end{array} \right\}</math></wrongoption>
<wrongoption> <math>\left\{\begin{array} {c}a\\ b\end{array} \right\}</math></wrongoption>
<rightoption>  <math>\displaystyle b!\left\{\begin{array} {c}a\\ b\end{array} \right\}</math></rightoption>
<rightoption>  <math>b!\left\{\begin{array} {c}a\\ b\end{array} \right\}</math></rightoption>
<wrongoption> <math>\displaystyle {a-1\choose b-1}</math></wrongoption>
<wrongoption> <math>{a-1\choose b-1}</math></wrongoption>
</quiz>  
</quiz>  


<quiz>Na ile sposobów można rozłożyć <math>\displaystyle a</math> nierozróżnialnych obiektów  
<quiz>Na ile sposobów można rozłożyć <math>a</math> nierozróżnialnych obiektów  
do co najwyżej <math>\displaystyle b</math> rozróżnialnych szuflad?
do co najwyżej <math>b</math> rozróżnialnych szuflad?
<wrongoption> <math>\displaystyle {a-1\choose b-1}</math></wrongoption>
<wrongoption> <math>{a-1\choose b-1}</math></wrongoption>
<rightoption>  <math>\displaystyle {b+a-1\choose b-1}</math></rightoption>
<rightoption>  <math>{b+a-1\choose b-1}</math></rightoption>
<wrongoption> <math>\displaystyle \left\{\begin{array} {c}a\\ b\end{array} \right\}</math></wrongoption>
<wrongoption> <math>\left\{\begin{array} {c}a\\ b\end{array} \right\}</math></wrongoption>
<wrongoption> <math>\displaystyle \sum_{i=1}^b\left\{\begin{array} {c}a\\ i\end{array} \right\}</math></wrongoption>
<wrongoption> <math>\sum_{i=1}^b\left\{\begin{array} {c}a\\ i\end{array} \right\}</math></wrongoption>
</quiz>  
</quiz>  


<quiz>Gdy <math>\displaystyle P(n,k)</math> jest liczbą rozkładów liczby <math>\displaystyle n</math>  
<quiz>Gdy <math>P(n,k)</math> jest liczbą rozkładów liczby <math>n</math>  
na sumy dokładnie <math>\displaystyle k</math> nieujemnych całkowitych składników,  
na sumy dokładnie <math>k</math> nieujemnych całkowitych składników,  
to <math>\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{P(n,k)}{n^k}</math> wynosi:
to <math>\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{P(n,k)}{n^k}</math> wynosi:
<rightoption>  <math>\displaystyle 0</math></rightoption>
<rightoption>  <math>0</math></rightoption>
<wrongoption> <math>\displaystyle \frac{1}{k!(k-1)!}</math></wrongoption>
<wrongoption> <math>\frac{1}{k!(k-1)!}</math></wrongoption>
<wrongoption> <math>\displaystyle \frac{1}{k}</math></wrongoption>
<wrongoption> <math>\frac{1}{k}</math></wrongoption>
<wrongoption> <math>\displaystyle 1</math></wrongoption>
<wrongoption> <math>1</math></wrongoption>
</quiz>  
</quiz>  


<quiz>Na ile sposobów można podzielić zbiór <math>\displaystyle a</math> elementowy na <math>\displaystyle b+c</math> bloków,  
<quiz>Na ile sposobów można podzielić zbiór <math>a</math> elementowy na <math>b+c</math> bloków,  
przy czym <math>\displaystyle b</math> bloków jest wyróżnionych?
przy czym <math>b</math> bloków jest wyróżnionych?
<rightoption>  <math>\displaystyle \left\{\begin{array} {c}a\\ b+c\end{array} \right\}{b+c\choose b}</math></rightoption>
<rightoption>  <math>\left\{\begin{array} {c}a\\ b+c\end{array} \right\}{b+c\choose b}</math></rightoption>
<rightoption>  <math>\displaystyle \sum_k{a\choose k}\left\{\begin{array} {c}k\\ b\end{array} \right\}\left\{\begin{array} {c}a-k\\ c\end{array} \right\}</math></rightoption>
<rightoption>  <math>\sum_k{a\choose k}\left\{\begin{array} {c}k\\ b\end{array} \right\}\left\{\begin{array} {c}a-k\\ c\end{array} \right\}</math></rightoption>
<wrongoption> <math>\displaystyle \left\{\begin{array} {c}a\\ b\end{array} \right\}\left\{\begin{array} {c}a-b\\ c\end{array} \right\}</math></wrongoption>
<wrongoption> <math>\left\{\begin{array} {c}a\\ b\end{array} \right\}\left\{\begin{array} {c}a-b\\ c\end{array} \right\}</math></wrongoption>
<wrongoption> <math>\displaystyle \left\{\begin{array} {c}a\\ b+c\end{array} \right\}b!</math></wrongoption>
<wrongoption> <math>\left\{\begin{array} {c}a\\ b+c\end{array} \right\}b!</math></wrongoption>
</quiz>
</quiz>

Aktualna wersja na dzień 08:57, 28 sie 2023

Niech nπ,nσ,nρ będą kolejno liczbami permutacji w S7 tego samego typu co, odpowiednio, π=(14)(26)(357), σ=(1357)(246), ρ=(12)(34)(56)(7). Wtedy:

nπnρnσ

nσnπnρ

nρnπnσ

nπnσnρ

Dla sprzężonych permutacji π,σS13 zachodzi:

π i σ mają tyle samo cykli 4-elementowych

elementy 1 i 2 albo są w tym samym cyklu w obu permutacjach, albo nie są w tym samym cyklu w obu permutacjach

π i σ mają ten sam typ

π i σ mają ten sam znak

Dla n2, podziałowa liczba Stirlinga {n2} wynosi:

k=1n1(nk)k!=k=1n1n!k!

n!k=1n11k(nk)

n!k=1n11k(nk)

n!2k=1n11k(nk)

Średnia liczba cykli permutacji n-elementowej (czyli stosunek sumarycznej liczby cykli we wszystkich permutacjach n-elementowych do liczby cykli n-elementowych) to:

2n

nlgn+1

k=1n1k

n2

Podziałowa liczba Stirlinga{74} wynosi:

90

140

301

350

Jednomian xn jest równy:

i{ni}xi_

Bnxn_, gdzie Bn jest n-tą liczbą Bella

i[ni]xi

i{ni}(1)nixi

Na ile sposobów można rozłożyć a rozróżnialnych obiektów do dokładnie b rozróżnialnych szuflad, tak by każda szufladka była niepusta?

ba

{ab}

b!{ab}

(a1b1)

Na ile sposobów można rozłożyć a nierozróżnialnych obiektów do co najwyżej b rozróżnialnych szuflad?

(a1b1)

(b+a1b1)

{ab}

i=1b{ai}

Gdy P(n,k) jest liczbą rozkładów liczby n na sumy dokładnie k nieujemnych całkowitych składników, to limnP(n,k)nk wynosi:

0

1k!(k1)!

1k

1

Na ile sposobów można podzielić zbiór a elementowy na b+c bloków, przy czym b bloków jest wyróżnionych?

{ab+c}(b+cb)

k(ak){kb}{akc}

{ab}{abc}

{ab+c}b!