Matematyka dyskretna 1/Test 6: Permutacje i podziały: Różnice pomiędzy wersjami
m Poprawka #5 |
m Zastępowanie tekstu – „\displaystyle ” na „” |
||
Linia 1: | Linia 1: | ||
<quiz>Niech <math> | <quiz>Niech <math>n_{\pi},n_{\sigma},n_{\rho}</math> będą kolejno liczbami permutacji w <math>S_7</math> | ||
tego samego typu co, odpowiednio, | tego samego typu co, odpowiednio, | ||
<math> | <math>\pi=(14)(26)(357)</math>, <math>\sigma=(1357)(246)</math>, <math>\rho=(12)(34)(56)(7)</math>. Wtedy: | ||
<wrongoption> <math> | <wrongoption> <math>n_{\pi}\leqslant n_{\rho}\leqslant n_{\sigma}</math></wrongoption> | ||
<wrongoption> <math> | <wrongoption> <math>n_{\sigma}\leqslant n_{\pi}\leqslant n_{\rho}</math></wrongoption> | ||
<rightoption> <math> | <rightoption> <math>n_{\rho}\leqslant n_{\pi}\leqslant n_{\sigma}</math></rightoption> | ||
<wrongoption> <math> | <wrongoption> <math>n_{\pi}\leqslant n_{\sigma}\leqslant n_{\rho}</math></wrongoption> | ||
</quiz> | </quiz> | ||
<quiz>Dla sprzężonych permutacji <math> | <quiz>Dla sprzężonych permutacji <math>\pi,\sigma\in S_{13}</math> zachodzi: | ||
<rightoption> <math> | <rightoption> <math>\pi</math> i <math>\sigma</math> mają tyle samo cykli <math>4</math>-elementowych</rightoption> | ||
<wrongoption> elementy <math> | <wrongoption> elementy <math>1</math> i <math>2</math> albo są w tym samym cyklu w obu permutacjach, albo nie są w tym samym cyklu w obu permutacjach</wrongoption> | ||
<rightoption> <math> | <rightoption> <math>\pi</math> i <math>\sigma</math> mają ten sam typ</rightoption> | ||
<rightoption> <math> | <rightoption> <math>\pi</math> i <math>\sigma</math> mają ten sam znak</rightoption> | ||
</quiz> | </quiz> | ||
<quiz>Dla <math> | <quiz>Dla <math>n\geqslant 2</math>, podziałowa liczba Stirlinga <math>\left\{\begin{array} {c}n\\ 2\end{array} \right\}</math> wynosi: | ||
<wrongoption> <math> | <wrongoption> <math>\sum_{k=1}^{n-1}{n\choose k}k!=\sum_{k=1}^{n-1}\frac{n!}{k!}</math></wrongoption> | ||
<wrongoption> <math> | <wrongoption> <math>n!\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k(n-k)}</math></wrongoption> | ||
<wrongoption> <math> | <wrongoption> <math>n!\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k(n-k)}</math></wrongoption> | ||
<rightoption> <math> | <rightoption> <math>\frac{n!}{2}\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k(n-k)}</math></rightoption> | ||
</quiz> | </quiz> | ||
<quiz>Średnia liczba cykli permutacji <math> | <quiz>Średnia liczba cykli permutacji <math>n</math>-elementowej | ||
(czyli stosunek sumarycznej liczby cykli we wszystkich permutacjach <math> | (czyli stosunek sumarycznej liczby cykli we wszystkich permutacjach <math>n</math>-elementowych | ||
do liczby cykli <math> | do liczby cykli <math>n</math>-elementowych) to: | ||
<wrongoption> <math> | <wrongoption> <math>2n</math></wrongoption> | ||
<wrongoption> <math> | <wrongoption> <math>\left\lfloor \frac{n}{\lg{n}} \right\rfloor+1</math></wrongoption> | ||
<rightoption> <math> | <rightoption> <math>\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}</math></rightoption> | ||
<wrongoption> <math> | <wrongoption> <math>\frac{n}{2}</math></wrongoption> | ||
</quiz> | </quiz> | ||
<quiz>Podziałowa liczba Stirlinga<math> | <quiz>Podziałowa liczba Stirlinga<math>\left\{\begin{array} {c}7\\ 4\end{array} \right\}</math> wynosi: | ||
<wrongoption> <math> | <wrongoption> <math>90</math></wrongoption> | ||
<wrongoption> <math> | <wrongoption> <math>140</math></wrongoption> | ||
<wrongoption> <math> | <wrongoption> <math>301</math></wrongoption> | ||
<rightoption> <math> | <rightoption> <math>350</math></rightoption> | ||
</quiz> | </quiz> | ||
<quiz>Jednomian <math> | <quiz>Jednomian <math>x^n</math> jest równy: | ||
<rightoption> <math> | <rightoption> <math>\sum_i\left\{\begin{array} {c}n\\ i\end{array} \right\}x^{\underline{i}}</math></rightoption> | ||
<wrongoption> <math> | <wrongoption> <math>B_nx^{\underline{n}}</math>, gdzie <math>B_n</math> jest <math>n</math>-tą liczbą Bella</wrongoption> | ||
<wrongoption> <math> | <wrongoption> <math>\sum_i\left[\begin{array} {c}n\\ i\end{array} \right]x^{\overline{i}}</math></wrongoption> | ||
<rightoption> <math> | <rightoption> <math>\sum_i\left\{\begin{array} {c}n\\ i\end{array} \right\}(-1)^{n-i}x^{\overline{i}}</math></rightoption> | ||
</quiz> | </quiz> | ||
<quiz>Na ile sposobów można rozłożyć <math> | <quiz>Na ile sposobów można rozłożyć <math>a</math> rozróżnialnych obiektów | ||
do dokładnie <math> | do dokładnie <math>b</math> rozróżnialnych szuflad, tak by każda szufladka była niepusta? | ||
<wrongoption> <math> | <wrongoption> <math>b^a</math></wrongoption> | ||
<wrongoption> <math> | <wrongoption> <math>\left\{\begin{array} {c}a\\ b\end{array} \right\}</math></wrongoption> | ||
<rightoption> <math> | <rightoption> <math>b!\left\{\begin{array} {c}a\\ b\end{array} \right\}</math></rightoption> | ||
<wrongoption> <math> | <wrongoption> <math>{a-1\choose b-1}</math></wrongoption> | ||
</quiz> | </quiz> | ||
<quiz>Na ile sposobów można rozłożyć <math> | <quiz>Na ile sposobów można rozłożyć <math>a</math> nierozróżnialnych obiektów | ||
do co najwyżej <math> | do co najwyżej <math>b</math> rozróżnialnych szuflad? | ||
<wrongoption> <math> | <wrongoption> <math>{a-1\choose b-1}</math></wrongoption> | ||
<rightoption> <math> | <rightoption> <math>{b+a-1\choose b-1}</math></rightoption> | ||
<wrongoption> <math> | <wrongoption> <math>\left\{\begin{array} {c}a\\ b\end{array} \right\}</math></wrongoption> | ||
<wrongoption> <math> | <wrongoption> <math>\sum_{i=1}^b\left\{\begin{array} {c}a\\ i\end{array} \right\}</math></wrongoption> | ||
</quiz> | </quiz> | ||
<quiz>Gdy <math> | <quiz>Gdy <math>P(n,k)</math> jest liczbą rozkładów liczby <math>n</math> | ||
na sumy dokładnie <math> | na sumy dokładnie <math>k</math> nieujemnych całkowitych składników, | ||
to <math> | to <math>\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{P(n,k)}{n^k}</math> wynosi: | ||
<rightoption> <math> | <rightoption> <math>0</math></rightoption> | ||
<wrongoption> <math> | <wrongoption> <math>\frac{1}{k!(k-1)!}</math></wrongoption> | ||
<wrongoption> <math> | <wrongoption> <math>\frac{1}{k}</math></wrongoption> | ||
<wrongoption> <math> | <wrongoption> <math>1</math></wrongoption> | ||
</quiz> | </quiz> | ||
<quiz>Na ile sposobów można podzielić zbiór <math> | <quiz>Na ile sposobów można podzielić zbiór <math>a</math> elementowy na <math>b+c</math> bloków, | ||
przy czym <math> | przy czym <math>b</math> bloków jest wyróżnionych? | ||
<rightoption> <math> | <rightoption> <math>\left\{\begin{array} {c}a\\ b+c\end{array} \right\}{b+c\choose b}</math></rightoption> | ||
<rightoption> <math> | <rightoption> <math>\sum_k{a\choose k}\left\{\begin{array} {c}k\\ b\end{array} \right\}\left\{\begin{array} {c}a-k\\ c\end{array} \right\}</math></rightoption> | ||
<wrongoption> <math> | <wrongoption> <math>\left\{\begin{array} {c}a\\ b\end{array} \right\}\left\{\begin{array} {c}a-b\\ c\end{array} \right\}</math></wrongoption> | ||
<wrongoption> <math> | <wrongoption> <math>\left\{\begin{array} {c}a\\ b+c\end{array} \right\}b!</math></wrongoption> | ||
</quiz> | </quiz> |
Aktualna wersja na dzień 08:57, 28 sie 2023
Niech będą kolejno liczbami permutacji w tego samego typu co, odpowiednio, , , . Wtedy:
Dla sprzężonych permutacji zachodzi:
i mają tyle samo cykli -elementowych
elementy i albo są w tym samym cyklu w obu permutacjach, albo nie są w tym samym cyklu w obu permutacjach
i mają ten sam typ
i mają ten sam znak
Dla , podziałowa liczba Stirlinga wynosi:
Średnia liczba cykli permutacji -elementowej (czyli stosunek sumarycznej liczby cykli we wszystkich permutacjach -elementowych do liczby cykli -elementowych) to:
Podziałowa liczba Stirlinga wynosi:
Jednomian jest równy:
, gdzie jest -tą liczbą Bella
Na ile sposobów można rozłożyć rozróżnialnych obiektów do dokładnie rozróżnialnych szuflad, tak by każda szufladka była niepusta?
Na ile sposobów można rozłożyć nierozróżnialnych obiektów do co najwyżej rozróżnialnych szuflad?
Gdy jest liczbą rozkładów liczby na sumy dokładnie nieujemnych całkowitych składników, to wynosi:
Na ile sposobów można podzielić zbiór elementowy na bloków, przy czym bloków jest wyróżnionych?