Analiza matematyczna 2/Test 8: Ekstrema funkcji wielu zmiennych: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
WizualnieWikikod
Rogoda (dyskusja | edycje)
1875 edycji
Nie podano opisu zmian
 
m Zastępowanie tekstu – „\displaystyle ” na „”
 
Linia 1: Linia 1:
<quiz> Funkcja <math>\displaystyle f(x)=ax^2-2xy+2y^2-6x</math>
<quiz> Funkcja <math>f(x)=ax^2-2xy+2y^2-6x</math>


<wrongoption>ma maksimum w punkcie <math>\displaystyle (6,3)</math>, jeśli <math>\displaystyle a=1</math></wrongoption>
<wrongoption>ma maksimum w punkcie <math>(6,3)</math>, jeśli <math>a=1</math></wrongoption>


<wrongoption>ma minimum w punkcie <math>\displaystyle (-2,-1)</math>, jeśli <math>\displaystyle a=-1</math></wrongoption>
<wrongoption>ma minimum w punkcie <math>(-2,-1)</math>, jeśli <math>a=-1</math></wrongoption>


<rightoption>nie ma ekstremum, jeśli <math>\displaystyle a=\frac14</math>.</rightoption>
<rightoption>nie ma ekstremum, jeśli <math>a=\frac14</math>.</rightoption>
</quiz>
</quiz>




<quiz> Funkcja <math>\displaystyle f(x,y)=(2x-x^2)(2y+y^2)</math>
<quiz> Funkcja <math>f(x,y)=(2x-x^2)(2y+y^2)</math>


<rightoption>przyjmuje zarówno wartości dodatnie, jak i ujemne w sąsiedztwie
<rightoption>przyjmuje zarówno wartości dodatnie, jak i ujemne w sąsiedztwie
punktu <math>\displaystyle (0,0)</math></rightoption>
punktu <math>(0,0)</math></rightoption>


<wrongoption>ma minimum w punkcie <math>\displaystyle (2,-2)</math></wrongoption>
<wrongoption>ma minimum w punkcie <math>(2,-2)</math></wrongoption>


<rightoption>ma minimum w punkcie <math>\displaystyle (1,-1)</math>.</rightoption>
<rightoption>ma minimum w punkcie <math>(1,-1)</math>.</rightoption>
</quiz>
</quiz>




<quiz> Funkcja <math>\displaystyle f(x,y)=(y-x^3)(y-3x^3)</math>
<quiz> Funkcja <math>f(x,y)=(y-x^3)(y-3x^3)</math>


<rightoption>zacieśniona do zbioru <math>\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb R^2: y=2x^3\}</math> osiąga
<rightoption>zacieśniona do zbioru <math>\{(x,y)\in \mathbb R^2: y=2x^3\}</math> osiąga
maksimum w punkcie <math>\displaystyle (0,0)</math></rightoption>
maksimum w punkcie <math>(0,0)</math></rightoption>


<rightoption>zacieśniona do prostej <math>\displaystyle y=x</math> osiąga minimum w punkcie <math>\displaystyle (0,0)</math></rightoption>
<rightoption>zacieśniona do prostej <math>y=x</math> osiąga minimum w punkcie <math>(0,0)</math></rightoption>


<wrongoption>osiąga minimum w punkcie <math>\displaystyle (0,0)</math>.</wrongoption>
<wrongoption>osiąga minimum w punkcie <math>(0,0)</math>.</wrongoption>
</quiz>
</quiz>




<quiz> Jeśli <math>\displaystyle z=f(x)=x^4-2x^2</math> oraz
<quiz> Jeśli <math>z=f(x)=x^4-2x^2</math> oraz
<math>\displaystyle z=F(x,y)=(x^2+y^2)^2-2(x^2+y^2)</math>, to
<math>z=F(x,y)=(x^2+y^2)^2-2(x^2+y^2)</math>, to


<rightoption>wykres funkcji <math>\displaystyle F</math> powstał przez obrót wykresu funkcji <math>\displaystyle f</math> dookoła
<rightoption>wykres funkcji <math>F</math> powstał przez obrót wykresu funkcji <math>f</math> dookoła
osi <math>\displaystyle 0z</math></rightoption>
osi <math>0z</math></rightoption>


<rightoption>funkcja <math>\displaystyle F</math> ma maksimum lokalne</rightoption>
<rightoption>funkcja <math>F</math> ma maksimum lokalne</rightoption>


<wrongoption>funkcja <math>\displaystyle F</math> ma maksimum globalne.</wrongoption>
<wrongoption>funkcja <math>F</math> ma maksimum globalne.</wrongoption>
</quiz>
</quiz>




<quiz> Maksimum globalne w punkcie <math>\displaystyle (0,0)</math> ma
<quiz> Maksimum globalne w punkcie <math>(0,0)</math> ma
funkcja
funkcja


<wrongoption><math>\displaystyle f(x,y)=\cosh(x^2+y^2)</math></wrongoption>
<wrongoption><math>f(x,y)=\cosh(x^2+y^2)</math></wrongoption>


<wrongoption><math>\displaystyle g(x,y)=x^4+y^2</math></wrongoption>
<wrongoption><math>g(x,y)=x^4+y^2</math></wrongoption>


<wrongoption><math>\displaystyle h(x,y)=xy</math>.</wrongoption>
<wrongoption><math>h(x,y)=xy</math>.</wrongoption>
</quiz>
</quiz>




<quiz> Funkcja
<quiz> Funkcja
<math>\displaystyle f(x,y,z)=\ln{x}+\ln{y}+\ln{z}+\ln(4-x-y-z)</math>
<math>f(x,y,z)=\ln{x}+\ln{y}+\ln{z}+\ln(4-x-y-z)</math>


<wrongoption>nie ma punktów krytycznych</wrongoption>
<wrongoption>nie ma punktów krytycznych</wrongoption>


<rightoption>ma maksimum w punkcie <math>\displaystyle (1,1,1)</math></rightoption>
<rightoption>ma maksimum w punkcie <math>(1,1,1)</math></rightoption>


<wrongoption>ma minimum w punkcie <math>\displaystyle (-1,-1,-1)</math>.</wrongoption>
<wrongoption>ma minimum w punkcie <math>(-1,-1,-1)</math>.</wrongoption>
</quiz>
</quiz>




<quiz> Funkcja
<quiz> Funkcja
<math>\displaystyle f(x,y,z)=x^6-2y^5+z^2-3x^2-5y^2-4z</math>
<math>f(x,y,z)=x^6-2y^5+z^2-3x^2-5y^2-4z</math>


<wrongoption>ma dokładnie trzy punkty krytyczne</wrongoption>
<wrongoption>ma dokładnie trzy punkty krytyczne</wrongoption>


<wrongoption>ma maksimum w punkcie <math>\displaystyle (0,0,2)</math></wrongoption>
<wrongoption>ma maksimum w punkcie <math>(0,0,2)</math></wrongoption>


<rightoption>ma minimum w punkcie <math>\displaystyle (1,-1,2)</math>.</rightoption>
<rightoption>ma minimum w punkcie <math>(1,-1,2)</math>.</rightoption>
</quiz>
</quiz>




<quiz> Minimum globalne w <math>\displaystyle (0,0,0)</math> ma funkcja
<quiz> Minimum globalne w <math>(0,0,0)</math> ma funkcja


<rightoption><math>\displaystyle f(x,y,z)=|x|+|y|+|z|</math></rightoption>
<rightoption><math>f(x,y,z)=|x|+|y|+|z|</math></rightoption>


<rightoption><math>\displaystyle g(x,y,z)=\sqrt{x^4+y^4+z^4}</math></rightoption>
<rightoption><math>g(x,y,z)=\sqrt{x^4+y^4+z^4}</math></rightoption>


<rightoption><math>\displaystyle h(x,y,z)= \sinh(x^2+y^2+z^2)</math>.</rightoption>
<rightoption><math>h(x,y,z)= \sinh(x^2+y^2+z^2)</math>.</rightoption>
</quiz>
</quiz>


Aktualna wersja na dzień 08:50, 28 sie 2023

Funkcja f(x)=ax2−2xy+2y2−6x

ma maksimum w punkcie (6,3), jeśli a=1

ma minimum w punkcie (−2,−1), jeśli a=−1

nie ma ekstremum, jeśli a=14.


Funkcja f(x,y)=(2x−x2)(2y+y2)

przyjmuje zarówno wartości dodatnie, jak i ujemne w sąsiedztwie punktu (0,0)

ma minimum w punkcie (2,−2)

ma minimum w punkcie (1,−1).


Funkcja f(x,y)=(y−x3)(y−3x3)

zacieśniona do zbioru {(x,y)∈ℝ2:y=2x3} osiąga maksimum w punkcie (0,0)

zacieśniona do prostej y=x osiąga minimum w punkcie (0,0)

osiąga minimum w punkcie (0,0).


Jeśli z=f(x)=x4−2x2 oraz z=F(x,y)=(x2+y2)2−2(x2+y2), to

wykres funkcji F powstał przez obrót wykresu funkcji f dookoła osi 0z

funkcja F ma maksimum lokalne

funkcja F ma maksimum globalne.


Maksimum globalne w punkcie (0,0) ma funkcja

f(x,y)=cosh⁡(x2+y2)

g(x,y)=x4+y2

h(x,y)=xy.


Funkcja f(x,y,z)=ln⁡x+ln⁡y+ln⁡z+ln⁡(4−x−y−z)

nie ma punktów krytycznych

ma maksimum w punkcie (1,1,1)

ma minimum w punkcie (−1,−1,−1).


Funkcja f(x,y,z)=x6−2y5+z2−3x2−5y2−4z

ma dokładnie trzy punkty krytyczne

ma maksimum w punkcie (0,0,2)

ma minimum w punkcie (1,−1,2).


Minimum globalne w (0,0,0) ma funkcja

f(x,y,z)=|x|+|y|+|z|

g(x,y,z)=x4+y4+z4

h(x,y,z)=sinh⁡(x2+y2+z2).


Funkcja wielu zmiennych

może mieć nieskończenie wiele maksimów i ani jednego minimum

musi mieć przynajmniej jedno maksimum, jeśli ma jakieś minimum

ma maksimum globalne, jeśli ma tylko jedno maksimum lokalne.

Źródło: „https://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Analiza_matematyczna_2/Test_8:_Ekstrema_funkcji_wielu_zmiennych&oldid=79739”