Algebra liniowa z geometrią analityczną/Ćwiczenia 5: Macierze: Różnice pomiędzy wersjami
m Zastępowanie tekstu – „\displaystyle ” na „” |
|||
Linia 3: | Linia 3: | ||
<center><math> | <center><math>A = | ||
\left[ | \left[ | ||
\begin{array} {rrr} | \begin{array} {rrr} | ||
Linia 14: | Linia 14: | ||
Wyznaczyć <math> | Wyznaczyć <math>rk A</math>. | ||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | ||
Linia 21: | Linia 21: | ||
</div></div> | </div></div> | ||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> Będziemy się starali wyznaczyć maksymalną liczbę liniowo niezależnych kolumn naszej macierzy. Zauważmy, że kolumna trzecia jest równa kolumnie pierwszej przemnożonej przez <math> | <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> Będziemy się starali wyznaczyć maksymalną liczbę liniowo niezależnych kolumn naszej macierzy. Zauważmy, że kolumna trzecia jest równa kolumnie pierwszej przemnożonej przez <math>-1</math>, co oznacza, że rząd macierzy <math>A</math> nie może być równy <math>3</math>, ponieważ jej kolumny nie są liniowo niezależne. Łatwo widać, że jedynymi skalarami takimi, że | ||
<center><math> | <center><math>\alpha(1,0,1)+\beta(2,3,-1)=(0,0,0) | ||
</math></center> | </math></center> | ||
są <math> | są <math>\alpha=\beta=0</math>, czyli pierwsza i druga kolumna naszej macierzy są liniowo niezależne. Znaleźliśmy więc dwie liniowo niezależne kolumny macierzy i wiemy, że nie uda się znaleźć trzech liniowo | ||
niezależnych kolumn tej macierzy. Oznacza to, że rząd naszej macierzy jest równy <math> | niezależnych kolumn tej macierzy. Oznacza to, że rząd naszej macierzy jest równy <math>2</math>. | ||
</div></div> | </div></div> | ||
Linia 36: | Linia 36: | ||
<center><math> | <center><math>\begin{align} A &= | ||
\left[ | \left[ | ||
\begin{array} {rrr} | \begin{array} {rrr} | ||
Linia 54: | Linia 54: | ||
Obliczyć <math> | Obliczyć <math>AB</math> oraz <math>B^*A^*</math>. | ||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> Wystarczy wykonać odpowiednie rachunki korzystając z określenia mnożenia macierzy i z definicji macierzy transponowanej. | <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> Wystarczy wykonać odpowiednie rachunki korzystając z określenia mnożenia macierzy i z definicji macierzy transponowanej. | ||
Linia 62: | Linia 62: | ||
<center><math> | <center><math>AB=\left[\begin{array} {rr}0&12\\-3&0\end{array} \right] | ||
</math></center> | </math></center> | ||
Linia 69: | Linia 69: | ||
<center><math> | <center><math>\begin{align} A^*&=\left[\begin{array} {rr}1&-1\\2&1\\3&0\end{array} \right],& | ||
B^*&=\left[\begin{array} {rrr}2&-1&0\\1&1&3\end{array} \right]. | B^*&=\left[\begin{array} {rrr}2&-1&0\\1&1&3\end{array} \right]. | ||
\end{align}</math></center> | \end{align}</math></center> | ||
Linia 75: | Linia 75: | ||
Rachując bezpośrednio lub korzystając ze wzoru <math> | Rachując bezpośrednio lub korzystając ze wzoru <math>B^*A^*=(AB)^*</math> otrzymujemy: | ||
<center><math> | <center><math>B^*A^*=\left[\begin{array} {rr}0&-3\\12&0\end{array} \right]. | ||
</math></center> | </math></center> | ||
Linia 88: | Linia 88: | ||
<center><math> | <center><math>A = \left[\begin{array} {cc} | ||
a&b \\ | a&b \\ | ||
c&d | c&d | ||
Linia 96: | Linia 96: | ||
gdzie <math> | gdzie <math>a,b,c,d \in \mathbb{R}</math> oraz <math>ad-bc\neq 0</math>. Wykazać, że macierz | ||
<center><math> | <center><math>B =\frac{1}{ad-bc} \left[ | ||
\begin{array} {cc} | \begin{array} {cc} | ||
d&-b \\ | d&-b \\ | ||
Linia 108: | Linia 108: | ||
jest odwrotna do <math> | jest odwrotna do <math>A</math>. | ||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> Wystarczy udowodnić, że <math> | <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> Wystarczy udowodnić, że <math>AB=BA=I</math>. | ||
</div></div> | </div></div> | ||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> Zauważmy, że dzięki założeniu, że <math> | <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> Zauważmy, że dzięki założeniu, że <math>ad-bc\neq 0</math> macierz <math>B</math> jest dobrze określona. Korzystając z własności mnożenia macierzy przez skalar oraz wykonując odpowiedni rachunki widzimy także, że | ||
<center><math> | <center><math>\begin{align} AB&= \frac{1}{ad-bc} \left[ | ||
\begin{array} {cc} | \begin{array} {cc} | ||
a&b \\ | a&b \\ | ||
Linia 147: | Linia 147: | ||
<center><math> | <center><math>BA=\left[\begin{array} {cc}1&0\\0&1\end{array} \right]. | ||
</math></center> | </math></center> | ||
Wykazaliśmy zatem, że <math> | Wykazaliśmy zatem, że <math>AB=BA=I</math>, co oznacza, że macierz <math>B</math> jest macierzą odwrotną do macierzy <math>A</math>. | ||
</div></div> | </div></div> | ||
Linia 158: | Linia 158: | ||
<center><math> | <center><math>\begin{align} A &= \left[ | ||
\begin{array} {rr} | \begin{array} {rr} | ||
1&-2 \\ | 1&-2 \\ | ||
Linia 172: | Linia 172: | ||
Wyznaczyć <math> | Wyznaczyć <math>AB</math>, <math>BA</math>, <math>A^{-1}</math> oraz <math>B^{-1}</math>. Zbadać, czy <math>A^{-1}B^{-1} = (AB)^{-1}</math>. | ||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> Wystarczy wykonać odpowiednie rachunki. W celu wyznaczenia macierzy <math> | <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> Wystarczy wykonać odpowiednie rachunki. W celu wyznaczenia macierzy <math>A^{-1}</math>, <math>B^{-1}</math> oraz <math>(AB)^{-1}</math> możemy skorzystać ze wzoru podanego w zadaniu [[#zad_5.3|5.3]]. Pamiętajmy, że mnożenie macierzy kwadratowych nie jest przemienne. | ||
</div></div> | </div></div> | ||
Linia 180: | Linia 180: | ||
<center><math> | <center><math>\begin{align} AB&=\left[ \begin{array} {rr} 4&1\\-5&-1\end{array} \right],\qquad | ||
BA&=\left[ \begin{array} {rr} 1&-1\\-1&2\end{array} \right]. | BA&=\left[ \begin{array} {rr} 1&-1\\-1&2\end{array} \right]. | ||
\end{align}</math></center> | \end{align}</math></center> | ||
Linia 186: | Linia 186: | ||
Korzystając ze wzoru podanego w zadaniu [[#zad_5.3|5.3]] stwierdzamy, | Korzystając ze wzoru podanego w zadaniu [[#zad_5.3|5.3]] stwierdzamy, | ||
że macierze <math> | że macierze <math>A</math> oraz <math>B</math> są odwracalne oraz | ||
<center><math> | <center><math>\begin{align} A^{-1}&=\left[ \begin{array} {rr} 3&2\\1&1\end{array} \right],\qquad | ||
B^{-1}&=\left[ | B^{-1}&=\left[ | ||
\begin{array} {rr} | \begin{array} {rr} | ||
Linia 197: | Linia 197: | ||
Na koniec zauważmy jeszcze, że <math> | Na koniec zauważmy jeszcze, że <math>A^{-1}B^{-1}\neq(AB)^{-1}</math>, bo | ||
<center><math> | <center><math>\begin{align} A^{-1}B^{-1}&=\left[\begin{array} {rr} 2&1\\1&1\end{array} \right], \qquad | ||
(AB)^{-1}&=\left[ \begin{array} {rr} -1&-1\\5&4\end{array} | (AB)^{-1}&=\left[ \begin{array} {rr} -1&-1\\5&4\end{array} | ||
\right]. | \right]. | ||
Linia 212: | Linia 212: | ||
<center><math> | <center><math>A = | ||
\left[\begin{array} {rrr} | \left[\begin{array} {rrr} | ||
2& 0& 1 \\ | 2& 0& 1 \\ | ||
Linia 220: | Linia 220: | ||
Wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy <math> | Wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy <math>A</math>. | ||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> Wystarczy rozwiązać trzy następujące układy równań: | <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> Wystarczy rozwiązać trzy następujące układy równań: | ||
<center><math> | <center><math>\begin{align} & \left\{ | ||
\begin{array} {r} | \begin{array} {r} | ||
2x_1 + x_3 =1 \\ | 2x_1 + x_3 =1 \\ | ||
Linia 245: | Linia 245: | ||
</div></div> | </div></div> | ||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> Zauważmy, że jeżeli macierz <math> | <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> Zauważmy, że jeżeli macierz <math>B=[b_{ij}]_{3\times 3}</math> jest macierzą odwrotną do macierzy <math>A=[a_{ij}]_{3\times 3}</math>, to <math>i</math>-ta kolumna macierzy <math>B</math> spełnia układ równań <math>Ax=e_i</math>, gdzie <math>e_i</math> oznacza <math>i</math>-ty wektor bazy kanonicznej przestrzeni <math>\mathbb{R}^3</math>, co możemy zapisać w następujący sposób: | ||
<center><math> | <center><math>\begin{align} \left[\begin{array} {cccc} | ||
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ | a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ | ||
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ | a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ | ||
Linia 293: | Linia 293: | ||
Oznacza to, że obliczenie macierzy odwrotnej do <math> | Oznacza to, że obliczenie macierzy odwrotnej do <math>A</math> można sprowadzić | ||
do rozwiązania <math> | do rozwiązania <math>3</math> układów równań liniowych o identycznych lewych | ||
stronach i zmieniających się prawych stronach. Układe te to | stronach i zmieniających się prawych stronach. Układe te to | ||
<center><math> | <center><math>\begin{align} & \left\{ | ||
\begin{array} {r} | \begin{array} {r} | ||
2x_1 + x_3 =1 \\ | 2x_1 + x_3 =1 \\ | ||
Linia 316: | Linia 316: | ||
Rozwiązując te układy otrzymujemy kolejne kolumny macierzy <math> | Rozwiązując te układy otrzymujemy kolejne kolumny macierzy <math>A^{-1}</math>, i tak rozwiązaniami kolejnych układów są: | ||
<center><math> | <center><math>\begin{align} b_{11}&= 1,\qquad b_{21}&= 0,\qquad b_{31}&=-1,\\ | ||
b_{12}&= 3,\qquad b_{22}&=-1,\qquad b_{32}&=-6,\\ | b_{12}&= 3,\qquad b_{22}&=-1,\qquad b_{32}&=-6,\\ | ||
b_{13}&= 1,\qquad b_{23}&= 0,\qquad b_{33}&=-2. | b_{13}&= 1,\qquad b_{23}&= 0,\qquad b_{33}&=-2. | ||
Linia 328: | Linia 328: | ||
<center><math> | <center><math>A^{-1}=\left[\begin{array} {rrr} | ||
1& 3& 1 \\ | 1& 3& 1 \\ | ||
0&-1& 0 \\ | 0&-1& 0 \\ | ||
Linia 337: | Linia 337: | ||
==={{kotwica|zad 5.6|Zadanie 5.6}}=== | ==={{kotwica|zad 5.6|Zadanie 5.6}}=== | ||
Niech <math> | Niech <math>A, B \in M(2,2;\mathbb{C})</math> będą macierzami postaci | ||
<center><math> | <center><math>\begin{align} A = & | ||
\left[ | \left[ | ||
\begin{array} {rr} | \begin{array} {rr} | ||
Linia 356: | Linia 356: | ||
Wyznaczyć <math> | Wyznaczyć <math>A^n</math> i <math>B^n</math> dla <math>n \in \mathbb{N}_1</math>. | ||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> Policzmy <math> | <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> Policzmy <math>A^2=AA</math>, potem <math>A^3=A(A^2)=A(AA)</math>. Spróbujmy odgadnąć jak będzie wyglądała macierz <math>A^n=A(A^{n-1})</math> dla dowolnego <math>n\in\mathbb{N}_1</math>. Jak już zgadniemy jak wygląda <math>A^n</math>, to możemy przeprowadzić dowód przy pomocy indukcji matematycznej. Dla macierzy <math>B</math> postępujemy analogicznie. | ||
</div></div> | </div></div> | ||
Linia 364: | Linia 364: | ||
<center><math> | <center><math>A=\lambda \left[ | ||
\begin{array} {rr} | \begin{array} {rr} | ||
1 & 0 \\ | 1 & 0 \\ | ||
Linia 377: | Linia 377: | ||
<center><math> | <center><math>A^2=\left( \lambda \left[ | ||
\begin{array} {cc} | \begin{array} {cc} | ||
1 & 0 \\ | 1 & 0 \\ | ||
Linia 404: | Linia 404: | ||
<center><math> | <center><math>\begin{align} A^n&=(A^{n-1})A\\ | ||
&=\left( \left[ | &=\left( \left[ | ||
\begin{array} {cc} | \begin{array} {cc} | ||
Linia 428: | Linia 428: | ||
<center><math> | <center><math>\begin{align} B^2&= \left[ | ||
\begin{array} {cc} | \begin{array} {cc} | ||
\lambda^2 & 2\lambda \\ | \lambda^2 & 2\lambda \\ | ||
Linia 456: | Linia 456: | ||
<center><math> | <center><math>B^n= \left[ | ||
\begin{array} {cc} | \begin{array} {cc} | ||
\lambda^n & n\lambda^{n-1} \\ | \lambda^n & n\lambda^{n-1} \\ | ||
Linia 466: | Linia 466: | ||
Pierwszy krok dowodu indukcyjnego już zrobiliśmy. Załóżmy zatem, że | Pierwszy krok dowodu indukcyjnego już zrobiliśmy. Załóżmy zatem, że | ||
nasz wzór jest prawdziwy dla pewnego <math> | nasz wzór jest prawdziwy dla pewnego <math>n\ge 1</math>. Wówczas | ||
<center><math> | <center><math>\begin{align} B^{n+1}&= (B^n)B\\ | ||
&=\left[ | &=\left[ | ||
\begin{array} {cc} | \begin{array} {cc} | ||
Linia 494: | Linia 494: | ||
==={{kotwica|zad 5.7|Zadanie 5.7}}=== | ==={{kotwica|zad 5.7|Zadanie 5.7}}=== | ||
Niech <math> | Niech <math>V</math> będzie zbiorem tych wszystkich | ||
macierzy kwadratowych <math> | macierzy kwadratowych <math>M\in M(4,4;\mathbb{R})</math>, które komutują z macierzą | ||
<math> | <math>C</math>, gdzie | ||
<center><math> | <center><math>C= | ||
\left[ \begin{array} {cccc} 0&1&0&0\\0&0&1&0 | \left[ \begin{array} {cccc} 0&1&0&0\\0&0&1&0 | ||
\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{array} | \\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{array} | ||
Linia 508: | Linia 508: | ||
<center><math> | <center><math>V=\{M\in M(4,4;\mathbb{R}) :CM=MC\}. | ||
</math></center> | </math></center> | ||
;i) Sprawdzić, że <math> | ;i) Sprawdzić, że <math>V</math> jest podprzestrzenią przestrzeni <math>M(4,4;\mathbb{R})</math>. | ||
;ii) Wyznaczyć bazę podprzestrzeni <math> | ;ii) Wyznaczyć bazę podprzestrzeni <math>V</math> oraz podać jej wymiar. | ||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> Dowód, że <math> | <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> Dowód, że <math>V</math> jest podprzestrzenią przestrzeni <math>M(4,4;\mathbb{R})</math> można przeprowadzić w oparciu o podstawowe własności mnożenia macierzy. Przy poszukiwaniu bazy dla <math>V</math> można, korzystając | ||
z definicji mnożenia macierzy, ułożyć układ równań jakie muszą spełniać wyrazy macierzy komutujących z <math> | z definicji mnożenia macierzy, ułożyć układ równań jakie muszą spełniać wyrazy macierzy komutujących z <math>C</math>, a następnie wyznaczyć ogólną postać takiej macierzy. Posługując się postacią ogólną można wyznaczyć zbiór wektorów generujących przestrzeń <math>V</math>, a potem wyznaczyć maksymalny liniowo niezależny podzbiór tego zbioru, aby otrzymać bazę. | ||
</div></div> | </div></div> | ||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | ||
;i) Udowodnimy, że <math> | ;i) Udowodnimy, że <math>V</math> jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni <math>M(4,4;\mathbb{R})</math>. | ||
Zauważmy, że <math> | Zauważmy, że <math>V</math> jest zbiorem niepustym, bo macierz jednostkowa | ||
<math> | <math>I</math> należy do <math>V</math>. Weżmy dowolne macierze <math>A,B\in V</math> oraz dowolne | ||
skalary <math> | skalary <math>\alpha,\beta\in\mathbb{R}</math>. Aby wykazać, że macierz <math>\alpha | ||
A+\beta B</math> należy do zbioru <math> | A+\beta B</math> należy do zbioru <math>V</math> musimy wykazać, że | ||
<center><math> | <center><math>(\alpha A+\beta B)C=C(\alpha A+\beta B). | ||
</math></center> | </math></center> | ||
Linia 533: | Linia 533: | ||
<center><math> | <center><math>\begin{align} (\alpha A+\beta B)C&= (\alpha A)C+(\beta B)C \\ | ||
&=\alpha (AC)+\beta (BC) \\ | &=\alpha (AC)+\beta (BC) \\ | ||
&=\alpha (CA)+\beta (CB) \\ | &=\alpha (CA)+\beta (CB) \\ | ||
Linia 541: | Linia 541: | ||
Powyższa równość oznacza, że macierz <math> | Powyższa równość oznacza, że macierz <math>\alpha A+\beta B</math> należy do zbioru <math>V</math> i <math>V</math> jest podprzestrzenią wektorową. | ||
;ii) Załóżmy, że macierz <math> | ;ii) Załóżmy, że macierz <math>A=[a_{ij}]_{4\times 4}\in V</math>. Wówczas <math>AC=CA</math>, czyli | ||
<center><math> | <center><math>\left[ \begin{array} {cccc} | ||
0&a_{{11}}&a_{{12}}&a_{{13}}\\ | 0&a_{{11}}&a_{{12}}&a_{{13}}\\ | ||
0&a_{{21}}&a_{{22}}&a_{{23}}\\ | 0&a_{{21}}&a_{{22}}&a_{{23}}\\ | ||
Linia 563: | Linia 563: | ||
Przyrównując do siebie odpowiadające sobie wyrazy macierzy stojących | Przyrównując do siebie odpowiadające sobie wyrazy macierzy stojących | ||
po lewej i prawej stronie tej równości widzimy, że wyraz <math> | po lewej i prawej stronie tej równości widzimy, że wyraz <math>a_{14}</math> | ||
może być dowolny oraz | może być dowolny oraz | ||
<center><math> | <center><math>\begin{align} a_{11}=a_{22}&=a_{33}=a_{44}\\ | ||
a_{12}=&a_{23}=a_{34}\\ a_{13}&=a_{24}. | a_{12}=&a_{23}=a_{34}\\ a_{13}&=a_{24}. | ||
\end{align}</math></center> | \end{align}</math></center> | ||
Pozostałe wyrazy macierzy <math> | Pozostałe wyrazy macierzy <math>A</math> muszą być równe <math>0</math>. Widzimy stąd, że | ||
macierz <math> | macierz <math>A\in V</math> wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją liczby | ||
rzeczywiste <math> | rzeczywiste <math>a,b,c,d</math> takie, że | ||
<center><math> | <center><math>A=\left[ \begin{array} {cccc} | ||
a&b&c&d\\ | a&b&c&d\\ | ||
0&a&b&c\\ | 0&a&b&c\\ | ||
Linia 586: | Linia 586: | ||
Zauważmy, że wynika stąd, że jeżeli <math> | Zauważmy, że wynika stąd, że jeżeli <math>A\in V</math>, to | ||
<center><math> | <center><math>A=aI+bJ_1+cJ_2+dJ_3, | ||
</math></center> | </math></center> | ||
Linia 596: | Linia 596: | ||
<center><math> | <center><math>\begin{align} I&=\left[ \begin{array} {cccc} | ||
1&0&0&0\\ | 1&0&0&0\\ | ||
0&1&0&0\\ | 0&1&0&0\\ | ||
Linia 626: | Linia 626: | ||
<center><math> | <center><math>V= lin\{I,J_1,J_2,J_3\}. | ||
</math></center> | </math></center> | ||
Załóżmy teraz, że skalary <math> | Załóżmy teraz, że skalary <math>a,b,c,d\in\mathbb{R}</math> dobrano tak, aby | ||
kombinacja liniowa <math> | kombinacja liniowa <math>aI+bJ_1+cJ_2+dJ_3</math> była równa macierzy zerowej. | ||
Oznacza to, że zachodzi równość | Oznacza to, że zachodzi równość | ||
<center><math> | <center><math>aI+bJ_1+cJ_2+dJ_3=\left[ \begin{array} {cccc} | ||
a&b&c&d\\ | a&b&c&d\\ | ||
0&a&b&c\\ | 0&a&b&c\\ | ||
Linia 652: | Linia 652: | ||
<center><math> | <center><math>a=b=c=d=0.</math></center> | ||
Wykazaliśmy zatem, że macierze <math> | Wykazaliśmy zatem, że macierze <math>I,J_1,J_2,J_3</math> tworzą bazę podprzestrzeni <math>V</math>. | ||
</div></div> | </div></div> | ||
==={{kotwica|zad 5.8|Zadanie 5.8}}=== | ==={{kotwica|zad 5.8|Zadanie 5.8}}=== | ||
Ustalmy liczbę <math> | Ustalmy liczbę <math>n\in\mathbb{N}</math>. Niech <math>E_{ij}\in M(n,n;\mathbb{R})</math> będzie | ||
macierzą, której jedyny niezerowy wyraz jest równy <math> | macierzą, której jedyny niezerowy wyraz jest równy <math>1</math> i stoi na | ||
przecięciu <math> | przecięciu <math>i</math>-tego wiersza oraz <math>j</math>-tej kolumny, gdzie <math>1\le i, | ||
j\le n</math>. Dla danych liczb naturalnych <math> | j\le n</math>. Dla danych liczb naturalnych <math>1\le i, j\le n</math>, <math>i\neq j</math> | ||
oraz liczby rzeczywistej <math> | oraz liczby rzeczywistej <math>\lambda\in\mathbb{R}</math> definiujemy macierze | ||
kwadratowe <math> | kwadratowe <math>Z_{ij}, D_{ij}^\lambda, P_i^\lambda\in M(n,n;\mathbb{R})</math>, | ||
gdzie | gdzie | ||
<center><math> | <center><math>\begin{align} Z_{ij} &= I-E_{ii}-E_{jj}+E_{ij}+E_{ji},\\ | ||
D_{ij}^\lambda &=I+\lambda E_{ij},\\ | D_{ij}^\lambda &=I+\lambda E_{ij},\\ | ||
P_i^\lambda &=I-E_{ii}+\lambda E_{ii}, | P_i^\lambda &=I-E_{ii}+\lambda E_{ii}, | ||
Linia 675: | Linia 675: | ||
innymi słowy macierz <math> | innymi słowy macierz <math>Z_{ij}</math>, to macierz jednostkowa, w której | ||
zamieniono miejscami wiersze o numerach <math> | zamieniono miejscami wiersze o numerach <math>i</math> oraz <math>j</math>, macierz | ||
<math> | <math>D_{ij}^\lambda</math> , to macierz jednostkowa, w której do wiersza | ||
<math> | <math>i</math>-tego dodano wiersz <math>j</math>-ty przemnożony przez liczbę rzeczywistą | ||
<math> | <math>\lambda</math>, natomiast macierz <math>P_i^\lambda</math>, to macierz jednostkowa, | ||
w której <math> | w której <math>i</math>-ty przemnożono przez liczbę rzeczywistą | ||
<math> | <math>\lambda</math>, czyli | ||
<center><math> | <center><math>\begin{align} Z_{ij}&= \left[ | ||
\begin{array} {ccccccccccc} | \begin{array} {ccccccccccc} | ||
1 & \ldots & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ | 1 & \ldots & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ | ||
Linia 702: | Linia 702: | ||
<center><math> | <center><math>\begin{align} D_{ij}^\lambda &=\left[ | ||
\begin{array} {ccccccccccc} | \begin{array} {ccccccccccc} | ||
1 & \ldots & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ | 1 & \ldots & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ | ||
Linia 720: | Linia 720: | ||
<center><math> | <center><math>\begin{align} P_i^\lambda&= \left[\begin{array} {ccccccc} | ||
1 & \ldots & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ | 1 & \ldots & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ | ||
\vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ | \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ | ||
Linia 732: | Linia 732: | ||
Niech <math> | Niech <math>M</math> będzie dowolną macierzą o <math>n</math> wierszach. Udowodnić, że | ||
;a) Macierz powstająca z macierzy <math> | ;a) Macierz powstająca z macierzy <math>M</math> poprzez zamianę <math>i</math>-tego i <math>j</math>-tego wiersza miejscami jest równa <math>Z_{ij}M</math>. | ||
;b) Macierz powstająca z macierzy <math> | ;b) Macierz powstająca z macierzy <math>M</math> poprzez dodanie do <math>i</math>-tego wiersza <math>j</math>-tego pomnożonego przez liczbę rzeczywistą <math>\lambda</math> jest równa <math>D_{ij}^\lambda M</math>. | ||
;c) Macierz powstająca z macierzy <math> | ;c) Macierz powstająca z macierzy <math>M</math> poprzez pomnożenie <math>i</math>-tego wiersza przez liczbę rzeczywistą <math>\lambda</math> jest równa <math>P_{i}^\lambda M</math>. | ||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> Należy skorzystać ze wzoru na mnożenie macierzy. | <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> Należy skorzystać ze wzoru na mnożenie macierzy. | ||
</div></div> | </div></div> | ||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> Załóżmy, że macierz <math> | <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> Załóżmy, że macierz <math>M</math> ma <math>m</math> wierszy. Oznaczmy wyraz stojący w <math>k</math>-tym wierszu i <math>l</math>-tej kolumnie macierzy macierzy <math>M</math> przez <math>m_{kl}</math>, czyli <math>M=[m_{kl}]_{n\times m}</math>. Analogicznie niech | ||
<center><math> | <center><math>\begin{align} Z_{ij} &= [z_{kl}]_{n\times n},\\ | ||
D_{ij}^\lambda &= [d_{kl}]_{n\times n},\\ | D_{ij}^\lambda &= [d_{kl}]_{n\times n},\\ | ||
P_i^\lambda &= [p_{kl}]_{n\times n}. | P_i^\lambda &= [p_{kl}]_{n\times n}. | ||
\end{align}d</math></center> | \end{align}d</math></center> | ||
;a) Oznaczmy wyraz stojący w <math> | ;a) Oznaczmy wyraz stojący w <math>k</math>-tym wierszu i <math>l</math>-tej kolumnie macierzy <math>Z_{ij}M</math> przez <math>a_{kl}</math>. Weżmy dowolne <math>1\le s \le n</math> takie, że <math>s\neq i</math> oraz <math>s\neq j</math>. Rozważmy wyraz <math>a_{st}</math> stojący w <math>s</math>-tym wierszu macierzy <math>Z_{ij}M</math> w kolumnie <math>t</math> (<math>1\le t \le m</math>). Zgodnie ze wzorem na mnożenie macierzy mamy: | ||
<center><math> | <center><math>a_{st}=\sum_{k=1}^n z_{sk}m_{kt}. | ||
</math></center> | </math></center> | ||
Ale w <math> | Ale w <math>s</math>-tym wierszu macierzy <math>Z_{ij}</math> stoi tylko jedne niezerowy | ||
wyraz - to <math> | wyraz - to <math>z_{ss}=1</math> stojący w <math>s</math>-tej kolumnie, stąd | ||
<center><math> | <center><math>a_{st}=z_{ss}m_{st}=m_{st}, | ||
</math></center> | </math></center> | ||
co oznacza, że w macierzy <math> | co oznacza, że w macierzy <math>Z_{ij}M</math> wszystkie wiersze (ewentualnie | ||
poza wierszami o numerach <math> | poza wierszami o numerach <math>i</math> oraz <math>j</math>) są identyczne jak | ||
w macierzy <math> | w macierzy <math>M</math>. Rozważmy teraz wyraz <math>a_{it}</math> stojący w <math>i</math>-tym | ||
wierszu macierzy <math> | wierszu macierzy <math>Z_{ij}M</math> w kolumnie <math>t</math>, gdzie <math>1\le t \le m</math>. | ||
Korzystając ze wzoru na mnożenie macierzy otrzymujemy: | Korzystając ze wzoru na mnożenie macierzy otrzymujemy: | ||
<center><math> | <center><math>a_{it}=\sum_{k=1}^n z_{ik}m_{kt}. | ||
</math></center> | </math></center> | ||
Wiedząc, że jedynym niezerowym wyrazem w <math> | Wiedząc, że jedynym niezerowym wyrazem w <math>i</math>-tym wierszu macierzy | ||
<math> | <math>Z_{ij}</math> jest stojący w <math>j</math>-tej kolumnie wyraz <math>z_{ij}=1</math> widzimy, | ||
że | że | ||
<center><math> | <center><math>a_{it}= z_{ij}m_{jt}=m_{jt}. | ||
</math></center> | </math></center> | ||
Oznacza to, że <math> | Oznacza to, że <math>i</math>-ty wiersz macierzy <math>Z_{ij}M</math> jest równy <math>j</math>-temu | ||
wierszowi macierzy <math> | wierszowi macierzy <math>M</math>. Analogiczne rozumowanie dowodzi, że <math>j</math>-ty | ||
wiersz macierzy <math> | wiersz macierzy <math>Z_{ij}M</math> jest równy <math>i</math>-temu wierszowi macierzy | ||
<math> | <math>M</math>. Wykazaliśmy, że macierz <math>Z_{ij}M</math> powstaje z macierzy | ||
<math> | <math>M</math> poprzez zamianę miejscami <math>i</math>-tego wiersza z <math>j</math>-tym. | ||
;b) Oznaczmy wyraz stojący w <math> | ;b) Oznaczmy wyraz stojący w <math>k</math>-tym wierszu i <math>l</math>-tej kolumnie macierzy <math>D_{ij}^\lambda M</math> przez <math>b_{kl}</math>. Weżmy dowolne <math>1\le s \le n</math> takie, że <math>s\neq i</math>. Ustalmy <math>1\le t \le m</math> i rozważmy wyraz <math>b_{st}</math> stojący w <math>s</math>-tym wierszu macierzy <math>D_{ij}^\lambda M</math> w kolumnie <math>t</math>. Zgodnie ze wzorem na mnożenie macierzy mamy: | ||
<center><math> | <center><math>b_{st}=\sum_{k=1}^n d_{sk}m_{kt}. | ||
</math></center> | </math></center> | ||
Wiedząc, że jedynym niezerowym wyrazem w <math> | Wiedząc, że jedynym niezerowym wyrazem w <math>s</math>-tym wierszu macierzy | ||
<math> | <math>D_{ij}^\lambda </math> jest stojący na przekątnej wyraz <math>d_{ss}=1</math> | ||
widzimy, że | widzimy, że | ||
<center><math> | <center><math>b_{st}= d_{ss}m_{st}=m_{st}. | ||
</math></center> | </math></center> | ||
Oznacza to, że <math> | Oznacza to, że <math>s</math>-ty wiersz macierzy <math>D_{ij}^\lambda M</math> jest równy | ||
<math> | <math>s</math>-temu wierszowi macierzy <math>M</math> dla każdego <math>1\le s \le n</math> różnego | ||
od <math> | od <math>i</math>. Rozważmy teraz wyraz <math>b_{it}</math> stojący w <math>i</math>-tym wierszu | ||
macierzy <math> | macierzy <math>D_{ij}^\lambda M</math> w kolumnie <math>t</math>, gdzie <math>1\le t \le m</math>. | ||
Korzystając ze wzoru na mnożenie macierzy otrzymujemy: | Korzystając ze wzoru na mnożenie macierzy otrzymujemy: | ||
<center><math> | <center><math>b_{it}=\sum_{k=1}^n d_{ik}m_{kt}. | ||
</math></center> | </math></center> | ||
W <math> | W <math>i</math>-tym wierszu macierzy <math>D_{ij}^\lambda</math> są dwa niezerowe wyrazy: | ||
<math> | <math>d_{ii}=1</math> oraz <math>d_{ij}=\lambda</math>. Wynika stąd, że | ||
<center><math> | <center><math>b_{it}=d_{ii}m_{it}+d_{ij}m_{jt}=m_{it}+\lambda m_{jt}. | ||
</math></center> | </math></center> | ||
Widzimy, że <math> | Widzimy, że <math>i</math>-ty wiersz macierzy <math>D_{ij}^\lambda M</math> jest równy | ||
<math> | <math>i</math>-temu wierszowi macierzy <math>M</math> powiększonemu o <math>j</math>-ty wiersz | ||
macierzy <math> | macierzy <math>M</math> pomnożony przez <math>\lambda</math>, co kończy dowód. | ||
;c) Oznaczmy wyraz stojący w <math> | ;c) Oznaczmy wyraz stojący w <math>k</math>-tym wierszu i <math>l</math>-tej kolumnie macierzy <math>P_{i}^\lambda M</math> przez <math>c_{kl}</math> i weżmy dowolne <math>1\le s \le n</math> oraz <math>1\le t \le m</math>. Ze wzoru na mnożenie macierzy otrzymujemy: | ||
<center><math> | <center><math>c_{st}=\sum_{k=1}^n d_{sk}m_{kt}. | ||
</math></center> | </math></center> | ||
Ponieważ jedynymi niezerowymi wyrazami stojącymi w macierzy | Ponieważ jedynymi niezerowymi wyrazami stojącymi w macierzy | ||
<math> | <math>P_{i}^\lambda </math> są te stojace na przekątnej, widzimy, że | ||
<center><math> | <center><math>c_{st}=d_{ss}m_{st}= | ||
\begin{cases} | \begin{cases} | ||
m_{st},&\text{gdy }s\neq i,\\ | m_{st},&\text{gdy }s\neq i,\\ | ||
Linia 845: | Linia 845: | ||
Otrzymaliśmy zatem, że wszystkie wiersze macierzy <math> | Otrzymaliśmy zatem, że wszystkie wiersze macierzy <math>P_{i}^\lambda M</math> | ||
poza wierszem <math> | poza wierszem <math>i</math>-tym są równe odpowiednim wierszom macierzy | ||
<math> | <math>M</math>, natomiast <math>i</math>-ty wiersz macierzy <math>P_{i}^\lambda M</math> jest równy | ||
<math> | <math>i</math>-temu wierszowi macierzy <math>M</math> pomnożonemu przez liczbę rzeczywistą | ||
<math> | <math>\lambda</math>, co należało wykazać. | ||
</div></div> | </div></div> | ||
{{definicja|1|def 1| | {{definicja|1|def 1| | ||
Mówimy, że macierz <math> | Mówimy, że macierz <math>E</math> jest w ''postaci schodkowej'', jeżeli spełnione | ||
są następujące dwa warunki: | są następujące dwa warunki: | ||
# Jeżeli pewien wiersz macierzy <math> | # Jeżeli pewien wiersz macierzy <math>E</math> składa się z samych zer, to wszystkie następne wiersze także składają się z samych zer (innymi słowy, wiersz zawierający niezerowe elementy nie może być poprzedzony przez wiersz zerowy). | ||
# W każdym niezerowym wierszu macierzy <math> | # W każdym niezerowym wierszu macierzy <math>E</math> pierwszy niezerowy element występuje w kolumnie o numerze większym niż numer kolumny zawierający pierwszy niezerowy element poprzedniego wiersza. | ||
}} | }} | ||
Linia 881: | Linia 881: | ||
<center><math> | <center><math>\begin{align} \left[ \begin{array} {cccc} | ||
1&2&3&4\\ | 1&2&3&4\\ | ||
0&1&2&3\\ | 0&1&2&3\\ | ||
Linia 902: | Linia 902: | ||
<center><math> | <center><math>\begin{align} \left[ \begin{array} {cccc} | ||
0&0&0&1\\ | 0&0&0&1\\ | ||
0&0&1&0\\ | 0&0&1&0\\ | ||
Linia 935: | Linia 935: | ||
{{definicja|3|def 3| | {{definicja|3|def 3| | ||
Jeżeli <math> | Jeżeli <math>E</math> jest macierzą w postaci schodkowej, to każdą | ||
kolumnę, w której stoi pierwszy niezerowy wyraz jakiegoś wiersza | kolumnę, w której stoi pierwszy niezerowy wyraz jakiegoś wiersza | ||
nazywamy ''kolumną bazową''. | nazywamy ''kolumną bazową''. | ||
Linia 944: | Linia 944: | ||
<center><math> | <center><math>\left[ \begin{array} {rrrrrr} | ||
2&-1& 1&0& 1&1\\ | 2&-1& 1&0& 1&1\\ | ||
0& 0&-2&1&-3&0\\ | 0& 0&-2&1&-3&0\\ | ||
Linia 958: | Linia 958: | ||
{{twierdzenie|5.1|tw 5.1| | {{twierdzenie|5.1|tw 5.1| | ||
Jeżeli <math> | Jeżeli <math>E\in M(n,m;\mathbb{R})</math> jest macierzą w postaci schodkowej, to rząd | ||
macierzy <math> | macierzy <math>E</math> jest równy liczbie kolumn bazowych. | ||
}} | }} | ||
Linia 966: | Linia 966: | ||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> Dowód przeprowadzić w dwóch krokach: | <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> Dowód przeprowadzić w dwóch krokach: | ||
; i) Udowodnić, że kolumny bazowe są liniowo niezależnymi wektorami w przestrzeni <math> | ; i) Udowodnić, że kolumny bazowe są liniowo niezależnymi wektorami w przestrzeni <math>\mathbb{R}^n</math>. | ||
; ii) Udowodnić, że każda kolumna nie będąca kolumną bazową jest kombinacją liniową kolumn bazowych. | ; ii) Udowodnić, że każda kolumna nie będąca kolumną bazową jest kombinacją liniową kolumn bazowych. | ||
</div></div> | </div></div> | ||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> Niech <math> | <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> Niech <math>A</math> będzie macierzą w postaci schodkowej. Rząd macierzy to maksymalna ilość liniowo niezależnych kolumn. Wystarczy udowodnić, że | ||
; i) kolumny bazowe są liniowo niezależnymi wektorami w przestrzeni <math> | ; i) kolumny bazowe są liniowo niezależnymi wektorami w przestrzeni <math>\mathbb{R}^n</math>. | ||
; ii) każda kolumna nie będąca kolumną bazową jest kombinacją liniową kolumn bazowych. | ; ii) każda kolumna nie będąca kolumną bazową jest kombinacją liniową kolumn bazowych. | ||
Załóżmy, że kolumnami bazowymi są kolumny o numerach | Załóżmy, że kolumnami bazowymi są kolumny o numerach | ||
<math> | <math>\mathbf{b}_1,\ldots,\mathbf{b}_k</math>, gdzie | ||
<center><math> | <center><math>k\le\min\{m,n\}. | ||
</math></center> | </math></center> | ||
Kolumny te możemy utożsamiać z wektorami w przestrzeni <math> | Kolumny te możemy utożsamiać z wektorami w przestrzeni <math>\mathbb{R}^n</math> | ||
i oznaczyć ich współrzędne w następujący sposób: | i oznaczyć ich współrzędne w następujący sposób: | ||
<center><math> | <center><math>\begin{align} \mathbf{b}_1&=\left[\begin{array} {c} | ||
b^1_1 \\ | b^1_1 \\ | ||
0 \\ | 0 \\ | ||
Linia 1012: | Linia 1012: | ||
Ponieważ zakładamy, że wektory <math> | Ponieważ zakładamy, że wektory <math>\mathbf{b}_1,\ldots,\mathbf{b}_k</math> odpowiadają kolumnom bazowym, zatem wiemy, że | ||
<center><math> | <center><math>b^i_i\neq 0 | ||
</math></center> | </math></center> | ||
dla <math> | dla <math>i=1,\ldots,k</math>. Jeżeli teraz rozważymy kombinację liniową | ||
wektorów <math> | wektorów <math>\mathbf{b}_1,\ldots,\mathbf{b}_k</math> o współczynnikach | ||
<math> | <math>\alpha_1,\ldots,\alpha_k</math>, dającą wektor zerowy, to rozważając | ||
odpowiedni układ równań zobaczymy, że | odpowiedni układ równań zobaczymy, że | ||
<center><math> | <center><math>\alpha_1=\ldots=\alpha_k=0, | ||
</math></center> | </math></center> | ||
co oznacza liniową niezależność kolumn bazowych. Rozważmy teraz | co oznacza liniową niezależność kolumn bazowych. Rozważmy teraz | ||
dowolną kolumnę macierzy <math> | dowolną kolumnę macierzy <math>A</math> nie będącą kolumną bazową. Kolumna ta jest poprzedzana przez <math>s</math> kolumn bazowych, gdzie | ||
<center><math> | <center><math>1\le s \le k. | ||
</math></center> | </math></center> | ||
Współrzędne od <math> | Współrzędne od <math>s+1</math> do <math>n</math> utożsamianego z tą kolumną wektora | ||
w przestrzeni <math> | w przestrzeni <math>\mathbb{R}^n</math> są wtedy równe zero. Nasza kolumna jest zatem | ||
elementem pewnej <math> | elementem pewnej <math>s</math> wymiarowej podprzestrzeni przestrzeni <math>\mathbb{R}^n</math>. | ||
Ponieważ <math> | Ponieważ <math>s</math> kolumn bazowych, które ją poprzedzają także należy do | ||
tej podprzestrzeni i tworzy zbiór liniowo niezależny nasza kolumna | tej podprzestrzeni i tworzy zbiór liniowo niezależny nasza kolumna | ||
musi być kombinacją liniową tych kolumn bazowych. | musi być kombinacją liniową tych kolumn bazowych. | ||
Linia 1057: | Linia 1057: | ||
kroku jakich operacji elementarnych należy użyć. | kroku jakich operacji elementarnych należy użyć. | ||
Niech <math> | Niech <math>A\in M(n,m;\mathbb{R})</math> będzie macierzą, którą będziemy | ||
przekształcać do postaci schodkowej. Oznaczmy wyraz stojący | przekształcać do postaci schodkowej. Oznaczmy wyraz stojący | ||
w macierzy <math> | w macierzy <math>A</math> w <math>i</math>-tym wierszu oraz <math>j</math>-tej kolumnie przez | ||
<math> | <math>a_{ij}</math>, czyli | ||
<center><math> | <center><math>A=[a_{ij}]_{n\times m}. | ||
</math></center> | </math></center> | ||
Jeżeli <math> | Jeżeli <math>A</math> jest macierzą zerową (dowolnego wymiaru) lub <math>A</math> ma tylko | ||
jeden wiersz to <math> | jeden wiersz to <math>A</math> jest macierzą w postaci schodkowej i teza jest | ||
w tych przypadkach spełniona. | w tych przypadkach spełniona. | ||
Załóżmy zatem, że <math> | Załóżmy zatem, że <math>A</math> jest niezerową macierzą o co najmniej dwóch | ||
wierszach i <math> | wierszach i <math>A</math> nie jest jeszcze w postaci schodkowej. Rozpatrzmy | ||
pierwszą niezerową kolumnę występującą w naszej macierzy. Załóżmy, | pierwszą niezerową kolumnę występującą w naszej macierzy. Załóżmy, | ||
że jest to kolumna o numerze <math> | że jest to kolumna o numerze <math>b</math>. Kolumna ta będzie pierwszą kolumną | ||
bazową. Jeżeli w tej kolumnie w pierwszym wierszu stoi <math> | bazową. Jeżeli w tej kolumnie w pierwszym wierszu stoi <math>0</math>, to | ||
zamieniamy pierwszy wiersz z jakimkolwiek wierszem, w którym | zamieniamy pierwszy wiersz z jakimkolwiek wierszem, w którym | ||
w rozważanej kolumnie bazowej występuje niezerowy wyraz. Ponieważ | w rozważanej kolumnie bazowej występuje niezerowy wyraz. Ponieważ | ||
założyliśmy, że kolumna bazowa o numerze <math> | założyliśmy, że kolumna bazowa o numerze <math>b</math> zawiera wyrazy różne od | ||
zera taka operacja jest zawsze wykonalna. Po ewentualnej zamianie | zera taka operacja jest zawsze wykonalna. Po ewentualnej zamianie | ||
wierszy mamy zatem do czynienia z macierzą, której pierwsza | wierszy mamy zatem do czynienia z macierzą, której pierwsza | ||
niezerowa kolumna ma numer <math> | niezerowa kolumna ma numer <math>b</math> oraz wyraz stojący w pierwszym | ||
wierszu oraz kolumnie <math> | wierszu oraz kolumnie <math>b</math>, oznaczony tu <math>a_{1b}</math>, jest różny od | ||
zera. Dzięki temu możemy teraz używając operacji elementarnych | zera. Dzięki temu możemy teraz używając operacji elementarnych | ||
wyzerować wyrazy macierzy leżące w kolumnie bazowej poniżej | wyzerować wyrazy macierzy leżące w kolumnie bazowej poniżej | ||
pierwszego wiersza. Uczynimy to odejmując od <math> | pierwszego wiersza. Uczynimy to odejmując od <math>i</math>-tego wiersza, gdzie | ||
<math> | <math>i=2,\ldots,m</math> wiersz pierwszy pomnożony przez <math>- a_{ib}/a_{1b}</math>. | ||
Zauważmy, że współczynnik <math> | Zauważmy, że współczynnik <math>a'_{ib}</math> stojący w <math>i</math>-tym wierszu | ||
i kolumnie <math> | i kolumnie <math>b</math> w macierzy powstającej po zastosowaniu tej operacji | ||
elementarnej jest równy | elementarnej jest równy | ||
<center><math> | <center><math>a'_{ib}=a_{ib}- \frac{a_{ib}}{a_{1b}}\cdot {a_{1b}} =0. | ||
</math></center> | </math></center> | ||
Oznacza to, że po zastosowaniu naszej operacji elementarnej do | Oznacza to, że po zastosowaniu naszej operacji elementarnej do | ||
wszystkich wierszy macierzy od drugiego do <math> | wszystkich wierszy macierzy od drugiego do <math>m</math>-tego włącznie | ||
otrzymujemy macierz, w której jedynym niezerowym wyrazem stojącym | otrzymujemy macierz, w której jedynym niezerowym wyrazem stojącym | ||
w kolumnie <math> | w kolumnie <math>b</math> jest współczynnik stojący w pierwszym wierszu. | ||
Otrzymaliśmy macierz <math> | Otrzymaliśmy macierz <math>A'</math>, którą schematycznie możemy zapisać tak: | ||
<center><math> | <center><math>A'=\left[ | ||
\begin{array} {ccccccc} | \begin{array} {ccccccc} | ||
0 & \ldots & \ & \mathbf{a_{1b}}& \square & \ldots & \square \\ | 0 & \ldots & \ & \mathbf{a_{1b}}& \square & \ldots & \square \\ | ||
Linia 1116: | Linia 1116: | ||
Oznacza to, że pierwszy krok naszego algorytmu został zakończony. | Oznacza to, że pierwszy krok naszego algorytmu został zakończony. | ||
Rozpatrzmy teraz macierz powstajacą z macierzy <math> | Rozpatrzmy teraz macierz powstajacą z macierzy <math>A'</math> poprzez | ||
wykreślenie pierwszego wiersza i pierwszych <math> | wykreślenie pierwszego wiersza i pierwszych <math>b</math> kolumn. Oznaczmy ją | ||
przez <math> | przez <math>A_1</math>. | ||
<center><math> | <center><math>A'=\left[ | ||
\begin{array} {ccccccc} | \begin{array} {ccccccc} | ||
0 &\ldots& 0 & \mathbf{a_{1b}}&\square &\ldots&\square\\ | 0 &\ldots& 0 & \mathbf{a_{1b}}&\square &\ldots&\square\\ | ||
Linia 1132: | Linia 1132: | ||
Jeżeli macierz <math> | Jeżeli macierz <math>A_1</math> będzie macierzą w postaci schodkowej, to widać, | ||
że macierz <math> | że macierz <math>A'</math> będzie także w postaci schodkowej i nasz algorytm | ||
jest zakończony. Aby dokończyć dowód wystarczy zatem uzasadnić, że | jest zakończony. Aby dokończyć dowód wystarczy zatem uzasadnić, że | ||
macierz <math> | macierz <math>A_1</math> może być przy pomocy operacji elementarnych na | ||
wierszach sprowadzona do postaci schodkowej (operacje na wierszach | wierszach sprowadzona do postaci schodkowej (operacje na wierszach | ||
<math> | <math>A_1</math> mogą uważana za operacje na wierszach <math>A'</math>, ponieważ wyrazy | ||
stojące w pierwszych <math> | stojące w pierwszych <math>b</math> kolumnach w macierzy <math>A'</math> w wierszach od | ||
<math> | <math>2</math> do <math>m</math>-tego są równe <math>0</math>). Jeżeli <math>A_1</math> jest niezerową macierzą | ||
o co najmniej dwóch wierszach nie bedącą w postaci schodkowej, to | o co najmniej dwóch wierszach nie bedącą w postaci schodkowej, to | ||
powtarzając opisaną wyżej procedurę do macierzy <math> | powtarzając opisaną wyżej procedurę do macierzy <math>A_1</math> sprowadzimy | ||
nasz problem do macierzy <math> | nasz problem do macierzy <math>A_2</math> liczącej od dwa wiersza mniej niż | ||
macierz <math> | macierz <math>A</math>. Ponieważ liczba wierszy naszej macierzy jest skończona | ||
jasne jest, że najdalej po <math> | jasne jest, że najdalej po <math>m-1</math> krokach otrzymamy macierz w postaci | ||
schodkowej. | schodkowej. | ||
}} | }} | ||
Linia 1158: | Linia 1158: | ||
{{wniosek|5.4|wn 5.4| | {{wniosek|5.4|wn 5.4| | ||
Aby obliczyć rząd macierzy <math> | Aby obliczyć rząd macierzy <math>A</math> wystarczy sprowadzić ją przy pomocy | ||
operacji elementarnych do postaci schodkowej i obliczyć liczbę | operacji elementarnych do postaci schodkowej i obliczyć liczbę | ||
kolumn bazowych. | kolumn bazowych. | ||
}} | }} |
Wersja z 08:44, 28 sie 2023
Zadanie 5.1
Niech
Wyznaczyć .
Zadanie 5.2
Dane są macierze
Obliczyć oraz .
Zadanie 5.3
Niech
gdzie oraz . Wykazać, że macierz
jest odwrotna do .
Zadanie 5.4
Dane są macierze
Wyznaczyć , , oraz . Zbadać, czy .
Zadanie 5.5
Niech
Wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy .
Zadanie 5.6
Niech będą macierzami postaci
Wyznaczyć i dla .
Zadanie 5.7
Niech będzie zbiorem tych wszystkich macierzy kwadratowych , które komutują z macierzą , gdzie
Innymi słowy
- i) Sprawdzić, że jest podprzestrzenią przestrzeni .
- ii) Wyznaczyć bazę podprzestrzeni oraz podać jej wymiar.
Zadanie 5.8
Ustalmy liczbę . Niech będzie macierzą, której jedyny niezerowy wyraz jest równy i stoi na przecięciu -tego wiersza oraz -tej kolumny, gdzie . Dla danych liczb naturalnych , oraz liczby rzeczywistej definiujemy macierze kwadratowe , gdzie
innymi słowy macierz , to macierz jednostkowa, w której
zamieniono miejscami wiersze o numerach oraz , macierz
, to macierz jednostkowa, w której do wiersza
-tego dodano wiersz -ty przemnożony przez liczbę rzeczywistą
, natomiast macierz , to macierz jednostkowa,
w której -ty przemnożono przez liczbę rzeczywistą
, czyli
Niech będzie dowolną macierzą o wierszach. Udowodnić, że
- a) Macierz powstająca z macierzy poprzez zamianę -tego i -tego wiersza miejscami jest równa .
- b) Macierz powstająca z macierzy poprzez dodanie do -tego wiersza -tego pomnożonego przez liczbę rzeczywistą jest równa .
- c) Macierz powstająca z macierzy poprzez pomnożenie -tego wiersza przez liczbę rzeczywistą jest równa .
Definicja 1
Mówimy, że macierz jest w postaci schodkowej, jeżeli spełnione są następujące dwa warunki:
- Jeżeli pewien wiersz macierzy składa się z samych zer, to wszystkie następne wiersze także składają się z samych zer (innymi słowy, wiersz zawierający niezerowe elementy nie może być poprzedzony przez wiersz zerowy).
- W każdym niezerowym wierszu macierzy pierwszy niezerowy element występuje w kolumnie o numerze większym niż numer kolumny zawierający pierwszy niezerowy element poprzedniego wiersza.
Przykład 1
- 1. Podane poniżej macierze są macierzami w postaci schodkowej
- 2. Podane poniżej macierze nie są macierzami w postaci schodkowej
Definicja 2
Operacją elementarną na wierszach macierzy nazywamy każdą z poniższych czynności:
- Przemnożenie dowolnego wiersza macierzy przez różną od zera liczbę rzeczywistą.
- Zamiana dwóch wierszy miejscami.
- Dodanie do dowolnego wiersza innego wiersza przemnożonego przez dowolną liczbę rzeczywistą.
Definicja 3
Jeżeli jest macierzą w postaci schodkowej, to każdą kolumnę, w której stoi pierwszy niezerowy wyraz jakiegoś wiersza nazywamy kolumną bazową.
Przykład 2
Kolumnami bazowymi dla następującej macierzy
są kolumny: pierwsza, trzecia i szósta.
Twierdzenie 5.1
Jeżeli jest macierzą w postaci schodkowej, to rząd macierzy jest równy liczbie kolumn bazowych.
Zadanie 5.9
Udowodnić twierdzenie 5.1.
Twierdzenie 5.2
Każdą macierz można przy pomocy operacji elementarnych sprowadzić do postaci schodkowej.
Dowód
Przeprowadzony przez nas dowód będzie konstruktywny, tzn. nie tylko uzasadnimy, że każda macierz może być przy pomocy operacji elementarnych przekształcona do postaci schodkowej, ale równocześnie podamy efektywny algorytm, opisujący krok po kroku jakich operacji elementarnych należy użyć.
Niech będzie macierzą, którą będziemy przekształcać do postaci schodkowej. Oznaczmy wyraz stojący w macierzy w -tym wierszu oraz -tej kolumnie przez , czyli
Jeżeli jest macierzą zerową (dowolnego wymiaru) lub ma tylko
jeden wiersz to jest macierzą w postaci schodkowej i teza jest
w tych przypadkach spełniona.
Załóżmy zatem, że jest niezerową macierzą o co najmniej dwóch wierszach i nie jest jeszcze w postaci schodkowej. Rozpatrzmy pierwszą niezerową kolumnę występującą w naszej macierzy. Załóżmy, że jest to kolumna o numerze . Kolumna ta będzie pierwszą kolumną bazową. Jeżeli w tej kolumnie w pierwszym wierszu stoi , to zamieniamy pierwszy wiersz z jakimkolwiek wierszem, w którym w rozważanej kolumnie bazowej występuje niezerowy wyraz. Ponieważ założyliśmy, że kolumna bazowa o numerze zawiera wyrazy różne od zera taka operacja jest zawsze wykonalna. Po ewentualnej zamianie wierszy mamy zatem do czynienia z macierzą, której pierwsza niezerowa kolumna ma numer oraz wyraz stojący w pierwszym wierszu oraz kolumnie , oznaczony tu , jest różny od zera. Dzięki temu możemy teraz używając operacji elementarnych wyzerować wyrazy macierzy leżące w kolumnie bazowej poniżej pierwszego wiersza. Uczynimy to odejmując od -tego wiersza, gdzie wiersz pierwszy pomnożony przez . Zauważmy, że współczynnik stojący w -tym wierszu i kolumnie w macierzy powstającej po zastosowaniu tej operacji elementarnej jest równy
Oznacza to, że po zastosowaniu naszej operacji elementarnej do
wszystkich wierszy macierzy od drugiego do -tego włącznie
otrzymujemy macierz, w której jedynym niezerowym wyrazem stojącym
w kolumnie jest współczynnik stojący w pierwszym wierszu.
Otrzymaliśmy macierz , którą schematycznie możemy zapisać tak:
Oznacza to, że pierwszy krok naszego algorytmu został zakończony.
Rozpatrzmy teraz macierz powstajacą z macierzy poprzez wykreślenie pierwszego wiersza i pierwszych kolumn. Oznaczmy ją przez .
Jeżeli macierz będzie macierzą w postaci schodkowej, to widać,
że macierz będzie także w postaci schodkowej i nasz algorytm
jest zakończony. Aby dokończyć dowód wystarczy zatem uzasadnić, że
macierz może być przy pomocy operacji elementarnych na
wierszach sprowadzona do postaci schodkowej (operacje na wierszach
mogą uważana za operacje na wierszach , ponieważ wyrazy
stojące w pierwszych kolumnach w macierzy w wierszach od
do -tego są równe ). Jeżeli jest niezerową macierzą
o co najmniej dwóch wierszach nie bedącą w postaci schodkowej, to
powtarzając opisaną wyżej procedurę do macierzy sprowadzimy
nasz problem do macierzy liczącej od dwa wiersza mniej niż
macierz . Ponieważ liczba wierszy naszej macierzy jest skończona
jasne jest, że najdalej po krokach otrzymamy macierz w postaci
schodkowej.

Twierdzenie 5.3
Operacje elementarne na wierszach macierzy nie zmieniają rzędu macierzy.
Dowód
Wniosek 5.4
Aby obliczyć rząd macierzy wystarczy sprowadzić ją przy pomocy operacji elementarnych do postaci schodkowej i obliczyć liczbę kolumn bazowych.