Algebra liniowa z geometrią analityczną/Ćwiczenia 5: Macierze: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
m Zastępowanie tekstu – „\displaystyle ” na „”
Linia 3: Linia 3:




<center><math>\displaystyle A =
<center><math>A =
\left[
\left[
\begin{array} {rrr}
\begin{array} {rrr}
Linia 14: Linia 14:




Wyznaczyć <math>\displaystyle rk A</math>.
Wyznaczyć <math>rk A</math>.


<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">   
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">   
Linia 21: Linia 21:
</div></div>
</div></div>


<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> Będziemy się starali wyznaczyć maksymalną liczbę liniowo niezależnych kolumn naszej macierzy. Zauważmy, że kolumna trzecia jest równa kolumnie pierwszej przemnożonej przez <math>\displaystyle -1</math>,&nbsp;co oznacza, że rząd macierzy <math>\displaystyle A</math>&nbsp;nie może być równy <math>\displaystyle 3</math>,&nbsp;ponieważ jej kolumny nie są liniowo niezależne. Łatwo widać, że jedynymi skalarami takimi, że
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> Będziemy się starali wyznaczyć maksymalną liczbę liniowo niezależnych kolumn naszej macierzy. Zauważmy, że kolumna trzecia jest równa kolumnie pierwszej przemnożonej przez <math>-1</math>,&nbsp;co oznacza, że rząd macierzy <math>A</math>&nbsp;nie może być równy <math>3</math>,&nbsp;ponieważ jej kolumny nie są liniowo niezależne. Łatwo widać, że jedynymi skalarami takimi, że




<center><math>\displaystyle \alpha(1,0,1)+\beta(2,3,-1)=(0,0,0)
<center><math>\alpha(1,0,1)+\beta(2,3,-1)=(0,0,0)
</math></center>
</math></center>




są <math>\displaystyle \alpha=\beta=0</math>, czyli pierwsza i&nbsp;druga kolumna naszej macierzy są liniowo niezależne. Znaleźliśmy więc dwie liniowo niezależne kolumny macierzy i&nbsp;wiemy, że nie uda się znaleźć trzech liniowo
są <math>\alpha=\beta=0</math>, czyli pierwsza i&nbsp;druga kolumna naszej macierzy są liniowo niezależne. Znaleźliśmy więc dwie liniowo niezależne kolumny macierzy i&nbsp;wiemy, że nie uda się znaleźć trzech liniowo
niezależnych kolumn tej macierzy. Oznacza to, że rząd naszej macierzy jest równy&nbsp;<math>\displaystyle 2</math>.
niezależnych kolumn tej macierzy. Oznacza to, że rząd naszej macierzy jest równy&nbsp;<math>2</math>.
</div></div>
</div></div>


Linia 36: Linia 36:




<center><math>\displaystyle \begin{align} A &=
<center><math>\begin{align} A &=
\left[
\left[
\begin{array} {rrr}
\begin{array} {rrr}
Linia 54: Linia 54:




Obliczyć <math>\displaystyle AB</math> oraz <math>\displaystyle B^*A^*</math>.
Obliczyć <math>AB</math> oraz <math>B^*A^*</math>.


<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  Wystarczy wykonać odpowiednie rachunki korzystając z&nbsp;określenia mnożenia macierzy i&nbsp;z&nbsp;definicji macierzy transponowanej.
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  Wystarczy wykonać odpowiednie rachunki korzystając z&nbsp;określenia mnożenia macierzy i&nbsp;z&nbsp;definicji macierzy transponowanej.
Linia 62: Linia 62:




<center><math>\displaystyle AB=\left[\begin{array} {rr}0&12\\-3&0\end{array} \right]
<center><math>AB=\left[\begin{array} {rr}0&12\\-3&0\end{array} \right]
</math></center>
</math></center>


Linia 69: Linia 69:




<center><math>\displaystyle \begin{align} A^*&=\left[\begin{array} {rr}1&-1\\2&1\\3&0\end{array} \right],&
<center><math>\begin{align} A^*&=\left[\begin{array} {rr}1&-1\\2&1\\3&0\end{array} \right],&
B^*&=\left[\begin{array} {rrr}2&-1&0\\1&1&3\end{array} \right].
B^*&=\left[\begin{array} {rrr}2&-1&0\\1&1&3\end{array} \right].
\end{align}</math></center>
\end{align}</math></center>
Linia 75: Linia 75:




Rachując bezpośrednio lub korzystając ze wzoru <math>\displaystyle B^*A^*=(AB)^*</math> otrzymujemy:
Rachując bezpośrednio lub korzystając ze wzoru <math>B^*A^*=(AB)^*</math> otrzymujemy:




<center><math>\displaystyle B^*A^*=\left[\begin{array} {rr}0&-3\\12&0\end{array} \right].
<center><math>B^*A^*=\left[\begin{array} {rr}0&-3\\12&0\end{array} \right].
</math></center>
</math></center>


Linia 88: Linia 88:




<center><math>\displaystyle A = \left[\begin{array} {cc}
<center><math>A = \left[\begin{array} {cc}
a&b \\
a&b \\
c&d
c&d
Linia 96: Linia 96:




gdzie <math>\displaystyle a,b,c,d \in \mathbb{R}</math> oraz <math>\displaystyle ad-bc\neq 0</math>. Wykazać, że macierz
gdzie <math>a,b,c,d \in \mathbb{R}</math> oraz <math>ad-bc\neq 0</math>. Wykazać, że macierz




<center><math>\displaystyle B =\frac{1}{ad-bc} \left[
<center><math>B =\frac{1}{ad-bc} \left[
\begin{array} {cc}
\begin{array} {cc}
d&-b \\
d&-b \\
Linia 108: Linia 108:




jest odwrotna do&nbsp;<math>\displaystyle A</math>.
jest odwrotna do&nbsp;<math>A</math>.


<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  Wystarczy udowodnić, że <math>\displaystyle AB=BA=I</math>.
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  Wystarczy udowodnić, że <math>AB=BA=I</math>.
</div></div>
</div></div>


<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  Zauważmy, że dzięki założeniu, że <math>\displaystyle ad-bc\neq 0</math> macierz <math>\displaystyle B</math>&nbsp;jest dobrze określona. Korzystając z&nbsp;własności mnożenia macierzy przez skalar oraz wykonując odpowiedni rachunki widzimy także, że
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  Zauważmy, że dzięki założeniu, że <math>ad-bc\neq 0</math> macierz <math>B</math>&nbsp;jest dobrze określona. Korzystając z&nbsp;własności mnożenia macierzy przez skalar oraz wykonując odpowiedni rachunki widzimy także, że




<center><math>\displaystyle \begin{align} AB&= \frac{1}{ad-bc} \left[
<center><math>\begin{align} AB&= \frac{1}{ad-bc} \left[
\begin{array} {cc}
\begin{array} {cc}
a&b \\
a&b \\
Linia 147: Linia 147:




<center><math>\displaystyle BA=\left[\begin{array} {cc}1&0\\0&1\end{array} \right].
<center><math>BA=\left[\begin{array} {cc}1&0\\0&1\end{array} \right].
</math></center>
</math></center>




Wykazaliśmy zatem, że <math>\displaystyle AB=BA=I</math>, co oznacza, że macierz <math>\displaystyle B</math>&nbsp;jest macierzą odwrotną do macierzy&nbsp;<math>\displaystyle A</math>.
Wykazaliśmy zatem, że <math>AB=BA=I</math>, co oznacza, że macierz <math>B</math>&nbsp;jest macierzą odwrotną do macierzy&nbsp;<math>A</math>.
</div></div>
</div></div>


Linia 158: Linia 158:




<center><math>\displaystyle \begin{align} A &= \left[
<center><math>\begin{align} A &= \left[
\begin{array} {rr}
\begin{array} {rr}
1&-2 \\
1&-2 \\
Linia 172: Linia 172:




Wyznaczyć <math>\displaystyle AB</math>, <math>\displaystyle BA</math>, <math>\displaystyle A^{-1}</math> oraz <math>\displaystyle B^{-1}</math>. Zbadać, czy <math>\displaystyle A^{-1}B^{-1} = (AB)^{-1}</math>.
Wyznaczyć <math>AB</math>, <math>BA</math>, <math>A^{-1}</math> oraz <math>B^{-1}</math>. Zbadać, czy <math>A^{-1}B^{-1} = (AB)^{-1}</math>.


<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> Wystarczy wykonać odpowiednie rachunki. W&nbsp;celu wyznaczenia macierzy <math>\displaystyle A^{-1}</math>,&nbsp;<math>\displaystyle B^{-1}</math>&nbsp;oraz <math>\displaystyle (AB)^{-1}</math> możemy skorzystać ze wzoru podanego w&nbsp;zadaniu&nbsp;[[#zad_5.3|5.3]]. Pamiętajmy, że mnożenie macierzy kwadratowych nie jest przemienne.
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> Wystarczy wykonać odpowiednie rachunki. W&nbsp;celu wyznaczenia macierzy <math>A^{-1}</math>,&nbsp;<math>B^{-1}</math>&nbsp;oraz <math>(AB)^{-1}</math> możemy skorzystać ze wzoru podanego w&nbsp;zadaniu&nbsp;[[#zad_5.3|5.3]]. Pamiętajmy, że mnożenie macierzy kwadratowych nie jest przemienne.
</div></div>
</div></div>


Linia 180: Linia 180:




<center><math>\displaystyle \begin{align} AB&=\left[ \begin{array} {rr} 4&1\\-5&-1\end{array}  \right],\qquad
<center><math>\begin{align} AB&=\left[ \begin{array} {rr} 4&1\\-5&-1\end{array}  \right],\qquad
BA&=\left[ \begin{array} {rr} 1&-1\\-1&2\end{array}  \right].
BA&=\left[ \begin{array} {rr} 1&-1\\-1&2\end{array}  \right].
\end{align}</math></center>
\end{align}</math></center>
Linia 186: Linia 186:


Korzystając ze wzoru podanego w&nbsp;zadaniu&nbsp;[[#zad_5.3|5.3]] stwierdzamy,
Korzystając ze wzoru podanego w&nbsp;zadaniu&nbsp;[[#zad_5.3|5.3]] stwierdzamy,
że macierze <math>\displaystyle A</math>&nbsp;oraz <math>\displaystyle B</math>&nbsp;są odwracalne oraz
że macierze <math>A</math>&nbsp;oraz <math>B</math>&nbsp;są odwracalne oraz




<center><math>\displaystyle \begin{align} A^{-1}&=\left[ \begin{array} {rr} 3&2\\1&1\end{array} \right],\qquad
<center><math>\begin{align} A^{-1}&=\left[ \begin{array} {rr} 3&2\\1&1\end{array} \right],\qquad
B^{-1}&=\left[
B^{-1}&=\left[
\begin{array} {rr}
\begin{array} {rr}
Linia 197: Linia 197:




Na koniec zauważmy jeszcze, że <math>\displaystyle A^{-1}B^{-1}\neq(AB)^{-1}</math>, bo
Na koniec zauważmy jeszcze, że <math>A^{-1}B^{-1}\neq(AB)^{-1}</math>, bo




<center><math>\displaystyle \begin{align} A^{-1}B^{-1}&=\left[\begin{array} {rr} 2&1\\1&1\end{array}  \right], \qquad
<center><math>\begin{align} A^{-1}B^{-1}&=\left[\begin{array} {rr} 2&1\\1&1\end{array}  \right], \qquad
  (AB)^{-1}&=\left[ \begin{array} {rr} -1&-1\\5&4\end{array}  
  (AB)^{-1}&=\left[ \begin{array} {rr} -1&-1\\5&4\end{array}  
\right].
\right].
Linia 212: Linia 212:




<center><math>\displaystyle A =
<center><math>A =
\left[\begin{array} {rrr}
\left[\begin{array} {rrr}
2& 0& 1  \\
2& 0& 1  \\
Linia 220: Linia 220:




Wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy&nbsp;<math>\displaystyle A</math>.
Wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy&nbsp;<math>A</math>.


<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> Wystarczy rozwiązać trzy następujące układy równań:
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> Wystarczy rozwiązać trzy następujące układy równań:




<center><math>\displaystyle \begin{align} & \left\{
<center><math>\begin{align} & \left\{
\begin{array}  {r}
\begin{array}  {r}
2x_1 + x_3 =1 \\
2x_1 + x_3 =1 \\
Linia 245: Linia 245:
</div></div>
</div></div>


<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> Zauważmy, że jeżeli macierz <math>\displaystyle B=[b_{ij}]_{3\times 3}</math> jest macierzą odwrotną do macierzy <math>\displaystyle A=[a_{ij}]_{3\times 3}</math>, to <math>\displaystyle i</math>-ta kolumna macierzy <math>\displaystyle B</math>&nbsp;spełnia układ równań <math>\displaystyle Ax=e_i</math>, gdzie <math>\displaystyle e_i</math>&nbsp;oznacza <math>\displaystyle i</math>-ty wektor bazy kanonicznej przestrzeni <math>\displaystyle \mathbb{R}^3</math>, co możemy zapisać w&nbsp;następujący sposób:
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> Zauważmy, że jeżeli macierz <math>B=[b_{ij}]_{3\times 3}</math> jest macierzą odwrotną do macierzy <math>A=[a_{ij}]_{3\times 3}</math>, to <math>i</math>-ta kolumna macierzy <math>B</math>&nbsp;spełnia układ równań <math>Ax=e_i</math>, gdzie <math>e_i</math>&nbsp;oznacza <math>i</math>-ty wektor bazy kanonicznej przestrzeni <math>\mathbb{R}^3</math>, co możemy zapisać w&nbsp;następujący sposób:




<center><math>\displaystyle \begin{align} \left[\begin{array} {cccc}
<center><math>\begin{align} \left[\begin{array} {cccc}
   a_{11} &  a_{12} &  a_{13} \\
   a_{11} &  a_{12} &  a_{13} \\
   a_{21} &  a_{22} &  a_{23} \\
   a_{21} &  a_{22} &  a_{23} \\
Linia 293: Linia 293:




Oznacza to, że obliczenie macierzy odwrotnej do <math>\displaystyle A</math>&nbsp;można sprowadzić
Oznacza to, że obliczenie macierzy odwrotnej do <math>A</math>&nbsp;można sprowadzić
do rozwiązania <math>\displaystyle 3</math>&nbsp;układów równań liniowych o&nbsp;identycznych lewych
do rozwiązania <math>3</math>&nbsp;układów równań liniowych o&nbsp;identycznych lewych
stronach i&nbsp;zmieniających się prawych stronach. Układe te to
stronach i&nbsp;zmieniających się prawych stronach. Układe te to




<center><math>\displaystyle \begin{align} & \left\{
<center><math>\begin{align} & \left\{
\begin{array}  {r}
\begin{array}  {r}
2x_1 + x_3 =1 \\
2x_1 + x_3 =1 \\
Linia 316: Linia 316:




Rozwiązując te układy otrzymujemy kolejne kolumny macierzy <math>\displaystyle A^{-1}</math>, i tak rozwiązaniami kolejnych układów są:
Rozwiązując te układy otrzymujemy kolejne kolumny macierzy <math>A^{-1}</math>, i tak rozwiązaniami kolejnych układów są:




<center><math>\displaystyle \begin{align} b_{11}&= 1,\qquad b_{21}&= 0,\qquad b_{31}&=-1,\\
<center><math>\begin{align} b_{11}&= 1,\qquad b_{21}&= 0,\qquad b_{31}&=-1,\\
b_{12}&= 3,\qquad b_{22}&=-1,\qquad b_{32}&=-6,\\
b_{12}&= 3,\qquad b_{22}&=-1,\qquad b_{32}&=-6,\\
b_{13}&= 1,\qquad b_{23}&= 0,\qquad b_{33}&=-2.
b_{13}&= 1,\qquad b_{23}&= 0,\qquad b_{33}&=-2.
Linia 328: Linia 328:




<center><math>\displaystyle A^{-1}=\left[\begin{array} {rrr}
<center><math>A^{-1}=\left[\begin{array} {rrr}
1& 3& 1 \\
1& 3& 1 \\
0&-1& 0 \\
0&-1& 0 \\
Linia 337: Linia 337:


==={{kotwica|zad 5.6|Zadanie 5.6}}===
==={{kotwica|zad 5.6|Zadanie 5.6}}===
Niech <math>\displaystyle A, B \in M(2,2;\mathbb{C})</math> będą macierzami postaci
Niech <math>A, B \in M(2,2;\mathbb{C})</math> będą macierzami postaci




<center><math>\displaystyle \begin{align} A = &
<center><math>\begin{align} A = &
\left[
\left[
\begin{array} {rr}
\begin{array} {rr}
Linia 356: Linia 356:




Wyznaczyć  <math>\displaystyle A^n</math> i <math>\displaystyle B^n</math> dla <math>\displaystyle n \in \mathbb{N}_1</math>.
Wyznaczyć  <math>A^n</math> i <math>B^n</math> dla <math>n \in \mathbb{N}_1</math>.


<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> Policzmy <math>\displaystyle A^2=AA</math>, potem <math>\displaystyle A^3=A(A^2)=A(AA)</math>. Spróbujmy odgadnąć jak będzie wyglądała macierz <math>\displaystyle A^n=A(A^{n-1})</math> dla dowolnego <math>\displaystyle n\in\mathbb{N}_1</math>. Jak już zgadniemy jak wygląda <math>\displaystyle A^n</math>, to możemy przeprowadzić dowód przy pomocy indukcji matematycznej. Dla macierzy <math>\displaystyle B</math>&nbsp;postępujemy analogicznie.
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> Policzmy <math>A^2=AA</math>, potem <math>A^3=A(A^2)=A(AA)</math>. Spróbujmy odgadnąć jak będzie wyglądała macierz <math>A^n=A(A^{n-1})</math> dla dowolnego <math>n\in\mathbb{N}_1</math>. Jak już zgadniemy jak wygląda <math>A^n</math>, to możemy przeprowadzić dowód przy pomocy indukcji matematycznej. Dla macierzy <math>B</math>&nbsp;postępujemy analogicznie.
</div></div>
</div></div>


Linia 364: Linia 364:




<center><math>\displaystyle A=\lambda \left[
<center><math>A=\lambda \left[
\begin{array} {rr}
\begin{array} {rr}
1 & 0  \\
1 & 0  \\
Linia 377: Linia 377:




<center><math>\displaystyle A^2=\left( \lambda \left[
<center><math>A^2=\left( \lambda \left[
\begin{array} {cc}
\begin{array} {cc}
1 & 0  \\
1 & 0  \\
Linia 404: Linia 404:




<center><math>\displaystyle \begin{align} A^n&=(A^{n-1})A\\
<center><math>\begin{align} A^n&=(A^{n-1})A\\
   &=\left(  \left[
   &=\left(  \left[
\begin{array} {cc}
\begin{array} {cc}
Linia 428: Linia 428:




<center><math>\displaystyle \begin{align} B^2&= \left[
<center><math>\begin{align} B^2&= \left[
\begin{array} {cc}
\begin{array} {cc}
  \lambda^2 & 2\lambda  \\
  \lambda^2 & 2\lambda  \\
Linia 456: Linia 456:




<center><math>\displaystyle B^n= \left[
<center><math>B^n= \left[
\begin{array} {cc}
\begin{array} {cc}
\lambda^n & n\lambda^{n-1}  \\
\lambda^n & n\lambda^{n-1}  \\
Linia 466: Linia 466:


Pierwszy krok dowodu indukcyjnego już zrobiliśmy. Załóżmy zatem, że
Pierwszy krok dowodu indukcyjnego już zrobiliśmy. Załóżmy zatem, że
nasz wzór jest prawdziwy dla pewnego <math>\displaystyle n\ge 1</math>. Wówczas
nasz wzór jest prawdziwy dla pewnego <math>n\ge 1</math>. Wówczas




<center><math>\displaystyle \begin{align} B^{n+1}&= (B^n)B\\
<center><math>\begin{align} B^{n+1}&= (B^n)B\\
&=\left[
&=\left[
\begin{array} {cc}
\begin{array} {cc}
Linia 494: Linia 494:


==={{kotwica|zad 5.7|Zadanie 5.7}}===
==={{kotwica|zad 5.7|Zadanie 5.7}}===
Niech <math>\displaystyle V</math> będzie zbiorem tych wszystkich
Niech <math>V</math> będzie zbiorem tych wszystkich
macierzy kwadratowych <math>\displaystyle M\in M(4,4;\mathbb{R})</math>, które komutują z macierzą
macierzy kwadratowych <math>M\in M(4,4;\mathbb{R})</math>, które komutują z macierzą
<math>\displaystyle C</math>,&nbsp;gdzie
<math>C</math>,&nbsp;gdzie




<center><math>\displaystyle C=
<center><math>C=
\left[ \begin{array} {cccc} 0&1&0&0\\0&0&1&0
\left[ \begin{array} {cccc} 0&1&0&0\\0&0&1&0
\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{array}  
\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{array}  
Linia 508: Linia 508:




<center><math>\displaystyle V=\{M\in M(4,4;\mathbb{R}) :CM=MC\}.
<center><math>V=\{M\in M(4,4;\mathbb{R}) :CM=MC\}.
</math></center>
</math></center>


;i) Sprawdzić, że <math>\displaystyle V</math> jest podprzestrzenią przestrzeni <math>\displaystyle M(4,4;\mathbb{R})</math>.
;i) Sprawdzić, że <math>V</math> jest podprzestrzenią przestrzeni <math>M(4,4;\mathbb{R})</math>.
;ii) Wyznaczyć bazę podprzestrzeni <math>\displaystyle V</math> oraz podać jej wymiar.
;ii) Wyznaczyć bazę podprzestrzeni <math>V</math> oraz podać jej wymiar.


<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  Dowód, że <math>\displaystyle V</math>&nbsp;jest podprzestrzenią przestrzeni <math>\displaystyle M(4,4;\mathbb{R})</math> można przeprowadzić w&nbsp;oparciu o&nbsp;podstawowe własności mnożenia macierzy. Przy poszukiwaniu bazy dla <math>\displaystyle V</math>&nbsp;można, korzystając
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  Dowód, że <math>V</math>&nbsp;jest podprzestrzenią przestrzeni <math>M(4,4;\mathbb{R})</math> można przeprowadzić w&nbsp;oparciu o&nbsp;podstawowe własności mnożenia macierzy. Przy poszukiwaniu bazy dla <math>V</math>&nbsp;można, korzystając
z&nbsp;definicji mnożenia macierzy, ułożyć układ równań jakie muszą spełniać wyrazy macierzy komutujących z&nbsp;<math>\displaystyle C</math>,&nbsp;a&nbsp;następnie wyznaczyć ogólną postać takiej macierzy. Posługując się postacią ogólną można wyznaczyć zbiór wektorów generujących przestrzeń <math>\displaystyle V</math>,&nbsp;a&nbsp;potem wyznaczyć maksymalny liniowo niezależny podzbiór tego zbioru, aby otrzymać bazę.
z&nbsp;definicji mnożenia macierzy, ułożyć układ równań jakie muszą spełniać wyrazy macierzy komutujących z&nbsp;<math>C</math>,&nbsp;a&nbsp;następnie wyznaczyć ogólną postać takiej macierzy. Posługując się postacią ogólną można wyznaczyć zbiór wektorów generujących przestrzeń <math>V</math>,&nbsp;a&nbsp;potem wyznaczyć maksymalny liniowo niezależny podzbiór tego zbioru, aby otrzymać bazę.
</div></div>
</div></div>


<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">   
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">   
;i) Udowodnimy, że <math>\displaystyle V</math>&nbsp;jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni <math>\displaystyle M(4,4;\mathbb{R})</math>.
;i) Udowodnimy, że <math>V</math>&nbsp;jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni <math>M(4,4;\mathbb{R})</math>.
Zauważmy, że <math>\displaystyle V</math>&nbsp;jest zbiorem niepustym, bo macierz jednostkowa
Zauważmy, że <math>V</math>&nbsp;jest zbiorem niepustym, bo macierz jednostkowa
<math>\displaystyle I</math>&nbsp;należy do <math>\displaystyle V</math>.&nbsp;Weżmy dowolne macierze <math>\displaystyle A,B\in V</math> oraz dowolne
<math>I</math>&nbsp;należy do <math>V</math>.&nbsp;Weżmy dowolne macierze <math>A,B\in V</math> oraz dowolne
skalary <math>\displaystyle \alpha,\beta\in\mathbb{R}</math>. Aby wykazać, że macierz <math>\displaystyle \alpha
skalary <math>\alpha,\beta\in\mathbb{R}</math>. Aby wykazać, że macierz <math>\alpha
A+\beta B</math> należy do zbioru <math>\displaystyle V</math>&nbsp;musimy wykazać, że
A+\beta B</math> należy do zbioru <math>V</math>&nbsp;musimy wykazać, że




<center><math>\displaystyle (\alpha A+\beta B)C=C(\alpha A+\beta B).
<center><math>(\alpha A+\beta B)C=C(\alpha A+\beta B).
</math></center>
</math></center>


Linia 533: Linia 533:




<center><math>\displaystyle \begin{align} (\alpha A+\beta B)C&= (\alpha A)C+(\beta B)C \\
<center><math>\begin{align} (\alpha A+\beta B)C&= (\alpha A)C+(\beta B)C \\
&=\alpha (AC)+\beta (BC) \\
&=\alpha (AC)+\beta (BC) \\
&=\alpha (CA)+\beta (CB) \\
&=\alpha (CA)+\beta (CB) \\
Linia 541: Linia 541:




Powyższa równość oznacza, że macierz <math>\displaystyle \alpha A+\beta B</math> należy do zbioru <math>\displaystyle V</math>&nbsp;i&nbsp;<math>\displaystyle V</math>&nbsp;jest podprzestrzenią wektorową.
Powyższa równość oznacza, że macierz <math>\alpha A+\beta B</math> należy do zbioru <math>V</math>&nbsp;i&nbsp;<math>V</math>&nbsp;jest podprzestrzenią wektorową.
;ii) Załóżmy, że macierz <math>\displaystyle A=[a_{ij}]_{4\times 4}\in V</math>. Wówczas <math>\displaystyle AC=CA</math>, czyli
;ii) Załóżmy, że macierz <math>A=[a_{ij}]_{4\times 4}\in V</math>. Wówczas <math>AC=CA</math>, czyli




<center><math>\displaystyle \left[ \begin{array} {cccc}
<center><math>\left[ \begin{array} {cccc}
0&a_{{11}}&a_{{12}}&a_{{13}}\\
0&a_{{11}}&a_{{12}}&a_{{13}}\\
0&a_{{21}}&a_{{22}}&a_{{23}}\\
0&a_{{21}}&a_{{22}}&a_{{23}}\\
Linia 563: Linia 563:


Przyrównując do siebie odpowiadające sobie wyrazy macierzy stojących
Przyrównując do siebie odpowiadające sobie wyrazy macierzy stojących
po lewej i&nbsp;prawej stronie tej równości widzimy, że wyraz <math>\displaystyle a_{14}</math>
po lewej i&nbsp;prawej stronie tej równości widzimy, że wyraz <math>a_{14}</math>
może być dowolny oraz
może być dowolny oraz




<center><math>\displaystyle \begin{align} a_{11}=a_{22}&=a_{33}=a_{44}\\
<center><math>\begin{align} a_{11}=a_{22}&=a_{33}=a_{44}\\
a_{12}=&a_{23}=a_{34}\\ a_{13}&=a_{24}.
a_{12}=&a_{23}=a_{34}\\ a_{13}&=a_{24}.
\end{align}</math></center>
\end{align}</math></center>




Pozostałe wyrazy macierzy <math>\displaystyle A</math>&nbsp;muszą być równe <math>\displaystyle 0</math>.&nbsp;Widzimy stąd, że
Pozostałe wyrazy macierzy <math>A</math>&nbsp;muszą być równe <math>0</math>.&nbsp;Widzimy stąd, że
macierz <math>\displaystyle A\in V</math> wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy istnieją liczby
macierz <math>A\in V</math> wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy istnieją liczby
rzeczywiste <math>\displaystyle a,b,c,d</math> takie, że
rzeczywiste <math>a,b,c,d</math> takie, że




<center><math>\displaystyle A=\left[ \begin{array} {cccc}
<center><math>A=\left[ \begin{array} {cccc}
a&b&c&d\\
a&b&c&d\\
0&a&b&c\\
0&a&b&c\\
Linia 586: Linia 586:




Zauważmy, że wynika stąd, że jeżeli <math>\displaystyle A\in V</math>, to
Zauważmy, że wynika stąd, że jeżeli <math>A\in V</math>, to




<center><math>\displaystyle A=aI+bJ_1+cJ_2+dJ_3,
<center><math>A=aI+bJ_1+cJ_2+dJ_3,
</math></center>
</math></center>


Linia 596: Linia 596:




<center><math>\displaystyle \begin{align} I&=\left[ \begin{array} {cccc}
<center><math>\begin{align} I&=\left[ \begin{array} {cccc}
1&0&0&0\\
1&0&0&0\\
0&1&0&0\\
0&1&0&0\\
Linia 626: Linia 626:




<center><math>\displaystyle V= lin\{I,J_1,J_2,J_3\}.
<center><math>V= lin\{I,J_1,J_2,J_3\}.
</math></center>
</math></center>




Załóżmy teraz, że skalary <math>\displaystyle a,b,c,d\in\mathbb{R}</math> dobrano tak, aby
Załóżmy teraz, że skalary <math>a,b,c,d\in\mathbb{R}</math> dobrano tak, aby
kombinacja liniowa <math>\displaystyle aI+bJ_1+cJ_2+dJ_3</math> była równa macierzy zerowej.
kombinacja liniowa <math>aI+bJ_1+cJ_2+dJ_3</math> była równa macierzy zerowej.
Oznacza to, że zachodzi równość
Oznacza to, że zachodzi równość




<center><math>\displaystyle aI+bJ_1+cJ_2+dJ_3=\left[ \begin{array} {cccc}
<center><math>aI+bJ_1+cJ_2+dJ_3=\left[ \begin{array} {cccc}
a&b&c&d\\
a&b&c&d\\
0&a&b&c\\
0&a&b&c\\
Linia 652: Linia 652:




<center><math>\displaystyle a=b=c=d=0.</math></center>
<center><math>a=b=c=d=0.</math></center>




Wykazaliśmy zatem, że macierze <math>\displaystyle I,J_1,J_2,J_3</math> tworzą bazę podprzestrzeni&nbsp;<math>\displaystyle V</math>.  
Wykazaliśmy zatem, że macierze <math>I,J_1,J_2,J_3</math> tworzą bazę podprzestrzeni&nbsp;<math>V</math>.  


</div></div>
</div></div>


==={{kotwica|zad 5.8|Zadanie 5.8}}===
==={{kotwica|zad 5.8|Zadanie 5.8}}===
Ustalmy liczbę <math>\displaystyle n\in\mathbb{N}</math>. Niech <math>\displaystyle E_{ij}\in M(n,n;\mathbb{R})</math> będzie
Ustalmy liczbę <math>n\in\mathbb{N}</math>. Niech <math>E_{ij}\in M(n,n;\mathbb{R})</math> będzie
macierzą, której jedyny niezerowy wyraz jest równy <math>\displaystyle 1</math>&nbsp;i&nbsp;stoi na
macierzą, której jedyny niezerowy wyraz jest równy <math>1</math>&nbsp;i&nbsp;stoi na
przecięciu <math>\displaystyle i</math>-tego wiersza oraz <math>\displaystyle j</math>-tej kolumny, gdzie <math>\displaystyle 1\le i,
przecięciu <math>i</math>-tego wiersza oraz <math>j</math>-tej kolumny, gdzie <math>1\le i,
j\le n</math>. Dla danych liczb naturalnych <math>\displaystyle 1\le i, j\le n</math>, <math>\displaystyle i\neq j</math>
j\le n</math>. Dla danych liczb naturalnych <math>1\le i, j\le n</math>, <math>i\neq j</math>
oraz liczby rzeczywistej <math>\displaystyle \lambda\in\mathbb{R}</math> definiujemy macierze
oraz liczby rzeczywistej <math>\lambda\in\mathbb{R}</math> definiujemy macierze
kwadratowe <math>\displaystyle Z_{ij}, D_{ij}^\lambda, P_i^\lambda\in M(n,n;\mathbb{R})</math>,
kwadratowe <math>Z_{ij}, D_{ij}^\lambda, P_i^\lambda\in M(n,n;\mathbb{R})</math>,
gdzie
gdzie




<center><math>\displaystyle \begin{align} Z_{ij}          &= I-E_{ii}-E_{jj}+E_{ij}+E_{ji},\\
<center><math>\begin{align} Z_{ij}          &= I-E_{ii}-E_{jj}+E_{ij}+E_{ji},\\
D_{ij}^\lambda  &=I+\lambda E_{ij},\\
D_{ij}^\lambda  &=I+\lambda E_{ij},\\
P_i^\lambda    &=I-E_{ii}+\lambda E_{ii},
P_i^\lambda    &=I-E_{ii}+\lambda E_{ii},
Linia 675: Linia 675:




innymi słowy macierz <math>\displaystyle Z_{ij}</math>, to macierz jednostkowa, w&nbsp;której
innymi słowy macierz <math>Z_{ij}</math>, to macierz jednostkowa, w&nbsp;której
zamieniono miejscami wiersze o&nbsp;numerach <math>\displaystyle i</math>&nbsp;oraz <math>\displaystyle j</math>,&nbsp;macierz
zamieniono miejscami wiersze o&nbsp;numerach <math>i</math>&nbsp;oraz <math>j</math>,&nbsp;macierz
<math>\displaystyle D_{ij}^\lambda</math> , to macierz jednostkowa, w&nbsp;której do wiersza
<math>D_{ij}^\lambda</math> , to macierz jednostkowa, w&nbsp;której do wiersza
<math>\displaystyle i</math>-tego dodano wiersz <math>\displaystyle j</math>-ty przemnożony przez liczbę rzeczywistą
<math>i</math>-tego dodano wiersz <math>j</math>-ty przemnożony przez liczbę rzeczywistą
<math>\displaystyle \lambda</math>,&nbsp;natomiast macierz <math>\displaystyle P_i^\lambda</math>, to macierz jednostkowa,
<math>\lambda</math>,&nbsp;natomiast macierz <math>P_i^\lambda</math>, to macierz jednostkowa,
w&nbsp;której <math>\displaystyle i</math>-ty przemnożono przez liczbę rzeczywistą
w&nbsp;której <math>i</math>-ty przemnożono przez liczbę rzeczywistą
<math>\displaystyle \lambda</math>,&nbsp;czyli
<math>\lambda</math>,&nbsp;czyli




<center><math>\displaystyle \begin{align} Z_{ij}&= \left[
<center><math>\begin{align} Z_{ij}&= \left[
\begin{array} {ccccccccccc}
\begin{array} {ccccccccccc}
   1    & \ldots &      0 &      0 &      0 & \ldots & 0      & 0      & 0      & \ldots & 0      \\
   1    & \ldots &      0 &      0 &      0 & \ldots & 0      & 0      & 0      & \ldots & 0      \\
Linia 702: Linia 702:




<center><math>\displaystyle \begin{align} D_{ij}^\lambda &=\left[
<center><math>\begin{align} D_{ij}^\lambda &=\left[
\begin{array} {ccccccccccc}
\begin{array} {ccccccccccc}
   1    & \ldots &      0 &      0 &      0 & \ldots & 0      & 0      & 0      & \ldots & 0      \\
   1    & \ldots &      0 &      0 &      0 & \ldots & 0      & 0      & 0      & \ldots & 0      \\
Linia 720: Linia 720:




<center><math>\displaystyle \begin{align} P_i^\lambda&= \left[\begin{array} {ccccccc}
<center><math>\begin{align} P_i^\lambda&= \left[\begin{array} {ccccccc}
     1    &  \ldots &    0  &    0  &    0  & \ldots &    0  \\
     1    &  \ldots &    0  &    0  &    0  & \ldots &    0  \\
  \vdots  &  \ddots & \vdots & \vdots & \vdots &        & \vdots \\
  \vdots  &  \ddots & \vdots & \vdots & \vdots &        & \vdots \\
Linia 732: Linia 732:




Niech <math>\displaystyle M</math>&nbsp;będzie dowolną macierzą o&nbsp;<math>\displaystyle n</math>&nbsp;wierszach. Udowodnić, że
Niech <math>M</math>&nbsp;będzie dowolną macierzą o&nbsp;<math>n</math>&nbsp;wierszach. Udowodnić, że
;a) Macierz powstająca z&nbsp;macierzy <math>\displaystyle M</math>&nbsp;poprzez zamianę <math>\displaystyle i</math>-tego i&nbsp;<math>\displaystyle j</math>-tego wiersza miejscami jest równa <math>\displaystyle Z_{ij}M</math>.
;a) Macierz powstająca z&nbsp;macierzy <math>M</math>&nbsp;poprzez zamianę <math>i</math>-tego i&nbsp;<math>j</math>-tego wiersza miejscami jest równa <math>Z_{ij}M</math>.
;b) Macierz powstająca z&nbsp;macierzy <math>\displaystyle M</math>&nbsp;poprzez dodanie do <math>\displaystyle i</math>-tego wiersza <math>\displaystyle j</math>-tego pomnożonego przez liczbę rzeczywistą <math>\displaystyle \lambda</math>&nbsp;jest równa <math>\displaystyle D_{ij}^\lambda M</math>.
;b) Macierz powstająca z&nbsp;macierzy <math>M</math>&nbsp;poprzez dodanie do <math>i</math>-tego wiersza <math>j</math>-tego pomnożonego przez liczbę rzeczywistą <math>\lambda</math>&nbsp;jest równa <math>D_{ij}^\lambda M</math>.
;c) Macierz powstająca z&nbsp;macierzy <math>\displaystyle M</math>&nbsp;poprzez pomnożenie <math>\displaystyle i</math>-tego wiersza przez liczbę rzeczywistą <math>\displaystyle \lambda</math>&nbsp;jest równa <math>\displaystyle P_{i}^\lambda M</math>.
;c) Macierz powstająca z&nbsp;macierzy <math>M</math>&nbsp;poprzez pomnożenie <math>i</math>-tego wiersza przez liczbę rzeczywistą <math>\lambda</math>&nbsp;jest równa <math>P_{i}^\lambda M</math>.


<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  Należy skorzystać ze wzoru na mnożenie macierzy.
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  Należy skorzystać ze wzoru na mnożenie macierzy.
</div></div>
</div></div>


<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  Załóżmy, że macierz <math>\displaystyle M</math>&nbsp;ma <math>\displaystyle m</math>&nbsp;wierszy. Oznaczmy wyraz stojący w&nbsp;<math>\displaystyle k</math>-tym wierszu i&nbsp;<math>\displaystyle l</math>-tej kolumnie macierzy macierzy <math>\displaystyle M</math> przez <math>\displaystyle m_{kl}</math>, czyli <math>\displaystyle M=[m_{kl}]_{n\times m}</math>. Analogicznie niech
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  Załóżmy, że macierz <math>M</math>&nbsp;ma <math>m</math>&nbsp;wierszy. Oznaczmy wyraz stojący w&nbsp;<math>k</math>-tym wierszu i&nbsp;<math>l</math>-tej kolumnie macierzy macierzy <math>M</math> przez <math>m_{kl}</math>, czyli <math>M=[m_{kl}]_{n\times m}</math>. Analogicznie niech




<center><math>\displaystyle \begin{align} Z_{ij}          &= [z_{kl}]_{n\times n},\\
<center><math>\begin{align} Z_{ij}          &= [z_{kl}]_{n\times n},\\
D_{ij}^\lambda  &= [d_{kl}]_{n\times n},\\
D_{ij}^\lambda  &= [d_{kl}]_{n\times n},\\
P_i^\lambda    &= [p_{kl}]_{n\times n}.
P_i^\lambda    &= [p_{kl}]_{n\times n}.
\end{align}d</math></center>
\end{align}d</math></center>


;a) Oznaczmy wyraz stojący w&nbsp;<math>\displaystyle k</math>-tym wierszu i&nbsp;<math>\displaystyle l</math>-tej kolumnie macierzy <math>\displaystyle Z_{ij}M</math> przez <math>\displaystyle a_{kl}</math>. Weżmy dowolne <math>\displaystyle 1\le s \le n</math> takie, że <math>\displaystyle s\neq i</math> oraz <math>\displaystyle s\neq j</math>. Rozważmy wyraz <math>\displaystyle a_{st}</math> stojący w&nbsp;<math>\displaystyle s</math>-tym wierszu macierzy <math>\displaystyle Z_{ij}M</math> w&nbsp;kolumnie&nbsp;<math>\displaystyle t</math>&nbsp;(<math>\displaystyle 1\le t \le m</math>). Zgodnie ze wzorem na mnożenie macierzy mamy:
;a) Oznaczmy wyraz stojący w&nbsp;<math>k</math>-tym wierszu i&nbsp;<math>l</math>-tej kolumnie macierzy <math>Z_{ij}M</math> przez <math>a_{kl}</math>. Weżmy dowolne <math>1\le s \le n</math> takie, że <math>s\neq i</math> oraz <math>s\neq j</math>. Rozważmy wyraz <math>a_{st}</math> stojący w&nbsp;<math>s</math>-tym wierszu macierzy <math>Z_{ij}M</math> w&nbsp;kolumnie&nbsp;<math>t</math>&nbsp;(<math>1\le t \le m</math>). Zgodnie ze wzorem na mnożenie macierzy mamy:




<center><math>\displaystyle a_{st}=\sum_{k=1}^n z_{sk}m_{kt}.
<center><math>a_{st}=\sum_{k=1}^n z_{sk}m_{kt}.
</math></center>
</math></center>




Ale w&nbsp;<math>\displaystyle s</math>-tym wierszu macierzy <math>\displaystyle Z_{ij}</math>&nbsp;stoi tylko jedne niezerowy
Ale w&nbsp;<math>s</math>-tym wierszu macierzy <math>Z_{ij}</math>&nbsp;stoi tylko jedne niezerowy
wyraz - to <math>\displaystyle z_{ss}=1</math>&nbsp;stojący w&nbsp;<math>\displaystyle s</math>-tej kolumnie, stąd
wyraz - to <math>z_{ss}=1</math>&nbsp;stojący w&nbsp;<math>s</math>-tej kolumnie, stąd




<center><math>\displaystyle a_{st}=z_{ss}m_{st}=m_{st},
<center><math>a_{st}=z_{ss}m_{st}=m_{st},
</math></center>
</math></center>




co oznacza, że w&nbsp;macierzy <math>\displaystyle Z_{ij}M</math> wszystkie wiersze (ewentualnie
co oznacza, że w&nbsp;macierzy <math>Z_{ij}M</math> wszystkie wiersze (ewentualnie
poza wierszami o&nbsp;numerach <math>\displaystyle i</math>&nbsp;oraz <math>\displaystyle j</math>)&nbsp;są identyczne jak
poza wierszami o&nbsp;numerach <math>i</math>&nbsp;oraz <math>j</math>)&nbsp;są identyczne jak
w&nbsp;macierzy&nbsp;<math>\displaystyle M</math>.&nbsp;Rozważmy teraz wyraz <math>\displaystyle a_{it}</math> stojący w&nbsp;<math>\displaystyle i</math>-tym
w&nbsp;macierzy&nbsp;<math>M</math>.&nbsp;Rozważmy teraz wyraz <math>a_{it}</math> stojący w&nbsp;<math>i</math>-tym
wierszu macierzy <math>\displaystyle Z_{ij}M</math> w&nbsp;kolumnie&nbsp;<math>\displaystyle t</math>,&nbsp;gdzie <math>\displaystyle 1\le t \le m</math>.
wierszu macierzy <math>Z_{ij}M</math> w&nbsp;kolumnie&nbsp;<math>t</math>,&nbsp;gdzie <math>1\le t \le m</math>.
Korzystając ze wzoru na mnożenie macierzy otrzymujemy:
Korzystając ze wzoru na mnożenie macierzy otrzymujemy:




<center><math>\displaystyle a_{it}=\sum_{k=1}^n z_{ik}m_{kt}.
<center><math>a_{it}=\sum_{k=1}^n z_{ik}m_{kt}.
</math></center>
</math></center>




Wiedząc, że jedynym niezerowym wyrazem w&nbsp;<math>\displaystyle i</math>-tym wierszu macierzy
Wiedząc, że jedynym niezerowym wyrazem w&nbsp;<math>i</math>-tym wierszu macierzy
<math>\displaystyle Z_{ij}</math> jest stojący w&nbsp;<math>\displaystyle j</math>-tej kolumnie wyraz <math>\displaystyle z_{ij}=1</math> widzimy,
<math>Z_{ij}</math> jest stojący w&nbsp;<math>j</math>-tej kolumnie wyraz <math>z_{ij}=1</math> widzimy,
że
że




<center><math>\displaystyle a_{it}= z_{ij}m_{jt}=m_{jt}.
<center><math>a_{it}= z_{ij}m_{jt}=m_{jt}.
</math></center>
</math></center>




Oznacza to, że <math>\displaystyle i</math>-ty wiersz macierzy <math>\displaystyle Z_{ij}M</math> jest równy <math>\displaystyle j</math>-temu
Oznacza to, że <math>i</math>-ty wiersz macierzy <math>Z_{ij}M</math> jest równy <math>j</math>-temu
wierszowi macierzy <math>\displaystyle M</math>.&nbsp;Analogiczne rozumowanie dowodzi, że <math>\displaystyle j</math>-ty
wierszowi macierzy <math>M</math>.&nbsp;Analogiczne rozumowanie dowodzi, że <math>j</math>-ty
wiersz macierzy <math>\displaystyle Z_{ij}M</math> jest równy <math>\displaystyle i</math>-temu wierszowi macierzy
wiersz macierzy <math>Z_{ij}M</math> jest równy <math>i</math>-temu wierszowi macierzy
<math>\displaystyle M</math>.&nbsp;Wykazaliśmy, że macierz <math>\displaystyle Z_{ij}M</math>&nbsp;powstaje z&nbsp;macierzy
<math>M</math>.&nbsp;Wykazaliśmy, że macierz <math>Z_{ij}M</math>&nbsp;powstaje z&nbsp;macierzy
<math>\displaystyle M</math>&nbsp;poprzez zamianę miejscami <math>\displaystyle i</math>-tego wiersza z&nbsp;<math>\displaystyle j</math>-tym.
<math>M</math>&nbsp;poprzez zamianę miejscami <math>i</math>-tego wiersza z&nbsp;<math>j</math>-tym.
;b) Oznaczmy wyraz stojący w&nbsp;<math>\displaystyle k</math>-tym wierszu i&nbsp;<math>\displaystyle l</math>-tej kolumnie macierzy <math>\displaystyle D_{ij}^\lambda M</math> przez <math>\displaystyle b_{kl}</math>. Weżmy dowolne <math>\displaystyle 1\le s \le n</math> takie, że <math>\displaystyle s\neq i</math>. Ustalmy <math>\displaystyle 1\le t \le m</math> i&nbsp;rozważmy wyraz <math>\displaystyle b_{st}</math> stojący w&nbsp;<math>\displaystyle s</math>-tym wierszu macierzy <math>\displaystyle D_{ij}^\lambda M</math> w&nbsp;kolumnie&nbsp;<math>\displaystyle t</math>.&nbsp;Zgodnie ze wzorem na mnożenie macierzy mamy:
;b) Oznaczmy wyraz stojący w&nbsp;<math>k</math>-tym wierszu i&nbsp;<math>l</math>-tej kolumnie macierzy <math>D_{ij}^\lambda M</math> przez <math>b_{kl}</math>. Weżmy dowolne <math>1\le s \le n</math> takie, że <math>s\neq i</math>. Ustalmy <math>1\le t \le m</math> i&nbsp;rozważmy wyraz <math>b_{st}</math> stojący w&nbsp;<math>s</math>-tym wierszu macierzy <math>D_{ij}^\lambda M</math> w&nbsp;kolumnie&nbsp;<math>t</math>.&nbsp;Zgodnie ze wzorem na mnożenie macierzy mamy:




<center><math>\displaystyle b_{st}=\sum_{k=1}^n d_{sk}m_{kt}.
<center><math>b_{st}=\sum_{k=1}^n d_{sk}m_{kt}.
</math></center>
</math></center>




Wiedząc, że jedynym niezerowym wyrazem w&nbsp;<math>\displaystyle s</math>-tym wierszu macierzy
Wiedząc, że jedynym niezerowym wyrazem w&nbsp;<math>s</math>-tym wierszu macierzy
<math>\displaystyle D_{ij}^\lambda </math> jest stojący na przekątnej wyraz <math>\displaystyle d_{ss}=1</math>
<math>D_{ij}^\lambda </math> jest stojący na przekątnej wyraz <math>d_{ss}=1</math>
widzimy, że
widzimy, że




<center><math>\displaystyle b_{st}= d_{ss}m_{st}=m_{st}.
<center><math>b_{st}= d_{ss}m_{st}=m_{st}.
</math></center>
</math></center>




Oznacza to, że <math>\displaystyle s</math>-ty wiersz macierzy <math>\displaystyle D_{ij}^\lambda M</math> jest równy
Oznacza to, że <math>s</math>-ty wiersz macierzy <math>D_{ij}^\lambda M</math> jest równy
<math>\displaystyle s</math>-temu wierszowi macierzy <math>\displaystyle M</math>&nbsp;dla każdego <math>\displaystyle 1\le s \le n</math> różnego
<math>s</math>-temu wierszowi macierzy <math>M</math>&nbsp;dla każdego <math>1\le s \le n</math> różnego
od <math>\displaystyle i</math>.&nbsp;Rozważmy teraz wyraz <math>\displaystyle b_{it}</math> stojący w&nbsp;<math>\displaystyle i</math>-tym wierszu
od <math>i</math>.&nbsp;Rozważmy teraz wyraz <math>b_{it}</math> stojący w&nbsp;<math>i</math>-tym wierszu
macierzy <math>\displaystyle D_{ij}^\lambda M</math> w&nbsp;kolumnie&nbsp;<math>\displaystyle t</math>,&nbsp;gdzie <math>\displaystyle 1\le t \le m</math>.
macierzy <math>D_{ij}^\lambda M</math> w&nbsp;kolumnie&nbsp;<math>t</math>,&nbsp;gdzie <math>1\le t \le m</math>.
Korzystając ze wzoru na mnożenie macierzy otrzymujemy:
Korzystając ze wzoru na mnożenie macierzy otrzymujemy:




<center><math>\displaystyle b_{it}=\sum_{k=1}^n d_{ik}m_{kt}.
<center><math>b_{it}=\sum_{k=1}^n d_{ik}m_{kt}.
</math></center>
</math></center>




W&nbsp;<math>\displaystyle i</math>-tym wierszu macierzy <math>\displaystyle D_{ij}^\lambda</math> są dwa niezerowe wyrazy:
W&nbsp;<math>i</math>-tym wierszu macierzy <math>D_{ij}^\lambda</math> są dwa niezerowe wyrazy:
<math>\displaystyle d_{ii}=1</math> oraz <math>\displaystyle d_{ij}=\lambda</math>. Wynika stąd, że
<math>d_{ii}=1</math> oraz <math>d_{ij}=\lambda</math>. Wynika stąd, że




<center><math>\displaystyle b_{it}=d_{ii}m_{it}+d_{ij}m_{jt}=m_{it}+\lambda m_{jt}.
<center><math>b_{it}=d_{ii}m_{it}+d_{ij}m_{jt}=m_{it}+\lambda m_{jt}.
</math></center>
</math></center>




Widzimy, że <math>\displaystyle i</math>-ty wiersz macierzy <math>\displaystyle D_{ij}^\lambda M</math> jest równy
Widzimy, że <math>i</math>-ty wiersz macierzy <math>D_{ij}^\lambda M</math> jest równy
<math>\displaystyle i</math>-temu wierszowi macierzy <math>\displaystyle M</math>&nbsp;powiększonemu o&nbsp;<math>\displaystyle j</math>-ty wiersz
<math>i</math>-temu wierszowi macierzy <math>M</math>&nbsp;powiększonemu o&nbsp;<math>j</math>-ty wiersz
macierzy <math>\displaystyle M</math>&nbsp;pomnożony przez <math>\displaystyle \lambda</math>,&nbsp;co kończy dowód.
macierzy <math>M</math>&nbsp;pomnożony przez <math>\lambda</math>,&nbsp;co kończy dowód.
;c) Oznaczmy wyraz stojący w&nbsp;<math>\displaystyle k</math>-tym wierszu i&nbsp;<math>\displaystyle l</math>-tej kolumnie macierzy <math>\displaystyle P_{i}^\lambda M</math> przez <math>\displaystyle c_{kl}</math>&nbsp;i&nbsp;weżmy dowolne <math>\displaystyle 1\le s \le n</math> oraz <math>\displaystyle 1\le t \le m</math>. Ze wzoru na mnożenie macierzy otrzymujemy:
;c) Oznaczmy wyraz stojący w&nbsp;<math>k</math>-tym wierszu i&nbsp;<math>l</math>-tej kolumnie macierzy <math>P_{i}^\lambda M</math> przez <math>c_{kl}</math>&nbsp;i&nbsp;weżmy dowolne <math>1\le s \le n</math> oraz <math>1\le t \le m</math>. Ze wzoru na mnożenie macierzy otrzymujemy:




<center><math>\displaystyle c_{st}=\sum_{k=1}^n d_{sk}m_{kt}.
<center><math>c_{st}=\sum_{k=1}^n d_{sk}m_{kt}.
</math></center>
</math></center>




Ponieważ jedynymi niezerowymi wyrazami stojącymi w&nbsp;macierzy
Ponieważ jedynymi niezerowymi wyrazami stojącymi w&nbsp;macierzy
<math>\displaystyle P_{i}^\lambda </math> są te stojace na przekątnej, widzimy, że
<math>P_{i}^\lambda </math> są te stojace na przekątnej, widzimy, że




<center><math>\displaystyle c_{st}=d_{ss}m_{st}=
<center><math>c_{st}=d_{ss}m_{st}=
\begin{cases}  
\begin{cases}  
m_{st},&\text{gdy }s\neq i,\\
m_{st},&\text{gdy }s\neq i,\\
Linia 845: Linia 845:




Otrzymaliśmy zatem, że wszystkie wiersze macierzy <math>\displaystyle P_{i}^\lambda M</math>
Otrzymaliśmy zatem, że wszystkie wiersze macierzy <math>P_{i}^\lambda M</math>
poza wierszem <math>\displaystyle i</math>-tym są równe odpowiednim wierszom macierzy
poza wierszem <math>i</math>-tym są równe odpowiednim wierszom macierzy
<math>\displaystyle M</math>,&nbsp;natomiast <math>\displaystyle i</math>-ty wiersz macierzy <math>\displaystyle P_{i}^\lambda M</math> jest równy
<math>M</math>,&nbsp;natomiast <math>i</math>-ty wiersz macierzy <math>P_{i}^\lambda M</math> jest równy
<math>\displaystyle i</math>-temu wierszowi macierzy <math>\displaystyle M</math>&nbsp;pomnożonemu przez liczbę rzeczywistą
<math>i</math>-temu wierszowi macierzy <math>M</math>&nbsp;pomnożonemu przez liczbę rzeczywistą
<math>\displaystyle \lambda</math>,&nbsp;co należało wykazać.  
<math>\lambda</math>,&nbsp;co należało wykazać.  


</div></div>
</div></div>


{{definicja|1|def 1|
{{definicja|1|def 1|
Mówimy, że macierz <math>\displaystyle E</math>&nbsp;jest w&nbsp;''postaci schodkowej'', jeżeli spełnione
Mówimy, że macierz <math>E</math>&nbsp;jest w&nbsp;''postaci schodkowej'', jeżeli spełnione
są następujące dwa warunki:
są następujące dwa warunki:
# Jeżeli pewien wiersz macierzy <math>\displaystyle E</math>&nbsp;składa się z&nbsp;samych zer, to wszystkie następne wiersze także składają się z&nbsp;samych zer (innymi słowy, wiersz zawierający niezerowe elementy nie może być poprzedzony przez wiersz zerowy).
# Jeżeli pewien wiersz macierzy <math>E</math>&nbsp;składa się z&nbsp;samych zer, to wszystkie następne wiersze także składają się z&nbsp;samych zer (innymi słowy, wiersz zawierający niezerowe elementy nie może być poprzedzony przez wiersz zerowy).
# W&nbsp;każdym niezerowym wierszu macierzy <math>\displaystyle E</math>&nbsp;pierwszy niezerowy element występuje w&nbsp;kolumnie o&nbsp;numerze większym niż numer kolumny zawierający pierwszy niezerowy element poprzedniego wiersza.
# W&nbsp;każdym niezerowym wierszu macierzy <math>E</math>&nbsp;pierwszy niezerowy element występuje w&nbsp;kolumnie o&nbsp;numerze większym niż numer kolumny zawierający pierwszy niezerowy element poprzedniego wiersza.


}}
}}
Linia 881: Linia 881:




<center><math>\displaystyle \begin{align} \left[ \begin{array} {cccc}
<center><math>\begin{align} \left[ \begin{array} {cccc}
1&2&3&4\\
1&2&3&4\\
0&1&2&3\\
0&1&2&3\\
Linia 902: Linia 902:




<center><math>\displaystyle \begin{align} \left[ \begin{array} {cccc}
<center><math>\begin{align} \left[ \begin{array} {cccc}
0&0&0&1\\
0&0&0&1\\
0&0&1&0\\
0&0&1&0\\
Linia 935: Linia 935:


{{definicja|3|def 3|
{{definicja|3|def 3|
Jeżeli <math>\displaystyle E</math>&nbsp;jest macierzą w&nbsp;postaci schodkowej, to każdą
Jeżeli <math>E</math>&nbsp;jest macierzą w&nbsp;postaci schodkowej, to każdą
kolumnę, w&nbsp;której stoi pierwszy niezerowy wyraz jakiegoś wiersza
kolumnę, w&nbsp;której stoi pierwszy niezerowy wyraz jakiegoś wiersza
nazywamy ''kolumną bazową''.
nazywamy ''kolumną bazową''.
Linia 944: Linia 944:




<center><math>\displaystyle \left[ \begin{array} {rrrrrr}
<center><math>\left[ \begin{array} {rrrrrr}
2&-1& 1&0& 1&1\\
2&-1& 1&0& 1&1\\
0& 0&-2&1&-3&0\\
0& 0&-2&1&-3&0\\
Linia 958: Linia 958:
{{twierdzenie|5.1|tw 5.1|
{{twierdzenie|5.1|tw 5.1|


Jeżeli <math>\displaystyle E\in M(n,m;\mathbb{R})</math>&nbsp;jest macierzą w&nbsp;postaci schodkowej, to rząd
Jeżeli <math>E\in M(n,m;\mathbb{R})</math>&nbsp;jest macierzą w&nbsp;postaci schodkowej, to rząd
macierzy <math>\displaystyle E</math>&nbsp;jest równy liczbie kolumn bazowych.
macierzy <math>E</math>&nbsp;jest równy liczbie kolumn bazowych.
}}
}}


Linia 966: Linia 966:


<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  Dowód przeprowadzić w&nbsp;dwóch krokach:
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  Dowód przeprowadzić w&nbsp;dwóch krokach:
; i) Udowodnić, że kolumny bazowe są liniowo niezależnymi wektorami w&nbsp;przestrzeni&nbsp;<math>\displaystyle \mathbb{R}^n</math>.
; i) Udowodnić, że kolumny bazowe są liniowo niezależnymi wektorami w&nbsp;przestrzeni&nbsp;<math>\mathbb{R}^n</math>.
; ii) Udowodnić, że każda kolumna nie będąca kolumną bazową jest kombinacją liniową kolumn bazowych.
; ii) Udowodnić, że każda kolumna nie będąca kolumną bazową jest kombinacją liniową kolumn bazowych.


</div></div>
</div></div>


<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  Niech <math>\displaystyle A</math>&nbsp;będzie macierzą w&nbsp;postaci schodkowej. Rząd macierzy to maksymalna ilość liniowo niezależnych kolumn. Wystarczy udowodnić, że
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  Niech <math>A</math>&nbsp;będzie macierzą w&nbsp;postaci schodkowej. Rząd macierzy to maksymalna ilość liniowo niezależnych kolumn. Wystarczy udowodnić, że
; i) kolumny bazowe są liniowo niezależnymi wektorami w&nbsp;przestrzeni&nbsp;<math>\displaystyle \mathbb{R}^n</math>.
; i) kolumny bazowe są liniowo niezależnymi wektorami w&nbsp;przestrzeni&nbsp;<math>\mathbb{R}^n</math>.
; ii) każda kolumna nie będąca kolumną bazową jest kombinacją liniową kolumn bazowych.
; ii) każda kolumna nie będąca kolumną bazową jest kombinacją liniową kolumn bazowych.


Załóżmy, że kolumnami bazowymi są kolumny o&nbsp;numerach
Załóżmy, że kolumnami bazowymi są kolumny o&nbsp;numerach
<math>\displaystyle \mathbf{b}_1,\ldots,\mathbf{b}_k</math>, gdzie
<math>\mathbf{b}_1,\ldots,\mathbf{b}_k</math>, gdzie




<center><math>\displaystyle k\le\min\{m,n\}.
<center><math>k\le\min\{m,n\}.
</math></center>
</math></center>




Kolumny te możemy utożsamiać z&nbsp;wektorami w&nbsp;przestrzeni <math>\displaystyle \mathbb{R}^n</math>
Kolumny te możemy utożsamiać z&nbsp;wektorami w&nbsp;przestrzeni <math>\mathbb{R}^n</math>
i&nbsp;oznaczyć ich współrzędne w&nbsp;następujący sposób:
i&nbsp;oznaczyć ich współrzędne w&nbsp;następujący sposób:




<center><math>\displaystyle \begin{align} \mathbf{b}_1&=\left[\begin{array} {c}
<center><math>\begin{align} \mathbf{b}_1&=\left[\begin{array} {c}
             b^1_1 \\
             b^1_1 \\
             0 \\
             0 \\
Linia 1012: Linia 1012:




Ponieważ zakładamy, że wektory <math>\displaystyle \mathbf{b}_1,\ldots,\mathbf{b}_k</math> odpowiadają kolumnom bazowym, zatem wiemy, że
Ponieważ zakładamy, że wektory <math>\mathbf{b}_1,\ldots,\mathbf{b}_k</math> odpowiadają kolumnom bazowym, zatem wiemy, że




<center><math>\displaystyle b^i_i\neq 0
<center><math>b^i_i\neq 0
</math></center>
</math></center>




dla <math>\displaystyle i=1,\ldots,k</math>. Jeżeli teraz rozważymy kombinację liniową
dla <math>i=1,\ldots,k</math>. Jeżeli teraz rozważymy kombinację liniową
wektorów <math>\displaystyle \mathbf{b}_1,\ldots,\mathbf{b}_k</math> o&nbsp;współczynnikach
wektorów <math>\mathbf{b}_1,\ldots,\mathbf{b}_k</math> o&nbsp;współczynnikach
<math>\displaystyle \alpha_1,\ldots,\alpha_k</math>, dającą wektor zerowy, to rozważając
<math>\alpha_1,\ldots,\alpha_k</math>, dającą wektor zerowy, to rozważając
odpowiedni układ równań zobaczymy, że
odpowiedni układ równań zobaczymy, że




<center><math>\displaystyle \alpha_1=\ldots=\alpha_k=0,
<center><math>\alpha_1=\ldots=\alpha_k=0,
</math></center>
</math></center>




co oznacza liniową niezależność kolumn bazowych. Rozważmy teraz
co oznacza liniową niezależność kolumn bazowych. Rozważmy teraz
dowolną kolumnę macierzy <math>\displaystyle A</math>&nbsp;nie będącą kolumną bazową. Kolumna ta jest poprzedzana przez <math>\displaystyle s</math>&nbsp;kolumn bazowych, gdzie
dowolną kolumnę macierzy <math>A</math>&nbsp;nie będącą kolumną bazową. Kolumna ta jest poprzedzana przez <math>s</math>&nbsp;kolumn bazowych, gdzie




<center><math>\displaystyle 1\le s \le k.
<center><math>1\le s \le k.
</math></center>
</math></center>




Współrzędne od <math>\displaystyle s+1</math>&nbsp;do <math>\displaystyle n</math> utożsamianego z&nbsp;tą kolumną wektora
Współrzędne od <math>s+1</math>&nbsp;do <math>n</math> utożsamianego z&nbsp;tą kolumną wektora
w&nbsp;przestrzeni <math>\displaystyle \mathbb{R}^n</math>&nbsp;są wtedy równe zero. Nasza kolumna jest zatem
w&nbsp;przestrzeni <math>\mathbb{R}^n</math>&nbsp;są wtedy równe zero. Nasza kolumna jest zatem
elementem pewnej <math>\displaystyle s</math>&nbsp;wymiarowej podprzestrzeni przestrzeni <math>\displaystyle \mathbb{R}^n</math>.
elementem pewnej <math>s</math>&nbsp;wymiarowej podprzestrzeni przestrzeni <math>\mathbb{R}^n</math>.
Ponieważ <math>\displaystyle s</math>&nbsp;kolumn bazowych, które ją poprzedzają także należy do
Ponieważ <math>s</math>&nbsp;kolumn bazowych, które ją poprzedzają także należy do
tej podprzestrzeni i&nbsp;tworzy zbiór liniowo niezależny nasza kolumna
tej podprzestrzeni i&nbsp;tworzy zbiór liniowo niezależny nasza kolumna
musi być kombinacją liniową tych kolumn bazowych.
musi być kombinacją liniową tych kolumn bazowych.
Linia 1057: Linia 1057:
kroku jakich operacji elementarnych należy użyć.
kroku jakich operacji elementarnych należy użyć.


Niech <math>\displaystyle A\in M(n,m;\mathbb{R})</math> będzie macierzą, którą będziemy
Niech <math>A\in M(n,m;\mathbb{R})</math> będzie macierzą, którą będziemy
przekształcać do postaci schodkowej. Oznaczmy wyraz stojący
przekształcać do postaci schodkowej. Oznaczmy wyraz stojący
w&nbsp;macierzy <math>\displaystyle A</math>&nbsp;w&nbsp;<math>\displaystyle i</math>-tym wierszu oraz <math>\displaystyle j</math>-tej kolumnie przez
w&nbsp;macierzy <math>A</math>&nbsp;w&nbsp;<math>i</math>-tym wierszu oraz <math>j</math>-tej kolumnie przez
<math>\displaystyle a_{ij}</math>, czyli
<math>a_{ij}</math>, czyli




<center><math>\displaystyle A=[a_{ij}]_{n\times m}.
<center><math>A=[a_{ij}]_{n\times m}.
</math></center>
</math></center>




Jeżeli <math>\displaystyle A</math>&nbsp;jest macierzą zerową (dowolnego wymiaru) lub <math>\displaystyle A</math>&nbsp;ma tylko
Jeżeli <math>A</math>&nbsp;jest macierzą zerową (dowolnego wymiaru) lub <math>A</math>&nbsp;ma tylko
jeden wiersz to <math>\displaystyle A</math>&nbsp;jest macierzą w&nbsp;postaci schodkowej i&nbsp;teza jest
jeden wiersz to <math>A</math>&nbsp;jest macierzą w&nbsp;postaci schodkowej i&nbsp;teza jest
w&nbsp;tych przypadkach spełniona.
w&nbsp;tych przypadkach spełniona.


Załóżmy zatem, że <math>\displaystyle A</math>&nbsp;jest niezerową macierzą o&nbsp;co najmniej dwóch
Załóżmy zatem, że <math>A</math>&nbsp;jest niezerową macierzą o&nbsp;co najmniej dwóch
wierszach i&nbsp;<math>\displaystyle A</math>&nbsp;nie jest jeszcze w&nbsp;postaci schodkowej. Rozpatrzmy
wierszach i&nbsp;<math>A</math>&nbsp;nie jest jeszcze w&nbsp;postaci schodkowej. Rozpatrzmy
pierwszą niezerową kolumnę występującą w&nbsp;naszej macierzy. Załóżmy,
pierwszą niezerową kolumnę występującą w&nbsp;naszej macierzy. Załóżmy,
że jest to kolumna o&nbsp;numerze <math>\displaystyle b</math>.&nbsp;Kolumna ta będzie pierwszą kolumną
że jest to kolumna o&nbsp;numerze <math>b</math>.&nbsp;Kolumna ta będzie pierwszą kolumną
bazową. Jeżeli w&nbsp;tej kolumnie w&nbsp;pierwszym wierszu stoi <math>\displaystyle 0</math>,&nbsp;to
bazową. Jeżeli w&nbsp;tej kolumnie w&nbsp;pierwszym wierszu stoi <math>0</math>,&nbsp;to
zamieniamy pierwszy wiersz z&nbsp;jakimkolwiek wierszem, w&nbsp;którym
zamieniamy pierwszy wiersz z&nbsp;jakimkolwiek wierszem, w&nbsp;którym
w&nbsp;rozważanej kolumnie bazowej występuje niezerowy wyraz. Ponieważ
w&nbsp;rozważanej kolumnie bazowej występuje niezerowy wyraz. Ponieważ
założyliśmy, że kolumna bazowa o&nbsp;numerze <math>\displaystyle b</math>&nbsp;zawiera wyrazy różne od
założyliśmy, że kolumna bazowa o&nbsp;numerze <math>b</math>&nbsp;zawiera wyrazy różne od
zera taka operacja jest zawsze wykonalna. Po ewentualnej zamianie
zera taka operacja jest zawsze wykonalna. Po ewentualnej zamianie
wierszy mamy zatem do czynienia z&nbsp;macierzą, której pierwsza
wierszy mamy zatem do czynienia z&nbsp;macierzą, której pierwsza
niezerowa kolumna ma numer <math>\displaystyle b</math>&nbsp;oraz&nbsp;wyraz stojący w&nbsp;pierwszym
niezerowa kolumna ma numer <math>b</math>&nbsp;oraz&nbsp;wyraz stojący w&nbsp;pierwszym
wierszu oraz kolumnie <math>\displaystyle b</math>, oznaczony tu <math>\displaystyle a_{1b}</math>, jest różny od
wierszu oraz kolumnie <math>b</math>, oznaczony tu <math>a_{1b}</math>, jest różny od
zera. Dzięki temu możemy teraz używając operacji elementarnych
zera. Dzięki temu możemy teraz używając operacji elementarnych
wyzerować wyrazy macierzy leżące w&nbsp;kolumnie bazowej poniżej
wyzerować wyrazy macierzy leżące w&nbsp;kolumnie bazowej poniżej
pierwszego wiersza. Uczynimy to odejmując od <math>\displaystyle i</math>-tego wiersza, gdzie
pierwszego wiersza. Uczynimy to odejmując od <math>i</math>-tego wiersza, gdzie
<math>\displaystyle i=2,\ldots,m</math> wiersz pierwszy pomnożony przez <math>\displaystyle - a_{ib}/a_{1b}</math>.
<math>i=2,\ldots,m</math> wiersz pierwszy pomnożony przez <math>- a_{ib}/a_{1b}</math>.
Zauważmy, że współczynnik <math>\displaystyle a'_{ib}</math> stojący w&nbsp;<math>\displaystyle i</math>-tym wierszu
Zauważmy, że współczynnik <math>a'_{ib}</math> stojący w&nbsp;<math>i</math>-tym wierszu
i&nbsp;kolumnie <math>\displaystyle b</math>&nbsp;w&nbsp;macierzy powstającej po zastosowaniu tej operacji
i&nbsp;kolumnie <math>b</math>&nbsp;w&nbsp;macierzy powstającej po zastosowaniu tej operacji
elementarnej jest równy
elementarnej jest równy




<center><math>\displaystyle a'_{ib}=a_{ib}- \frac{a_{ib}}{a_{1b}}\cdot {a_{1b}} =0.
<center><math>a'_{ib}=a_{ib}- \frac{a_{ib}}{a_{1b}}\cdot {a_{1b}} =0.
</math></center>
</math></center>




Oznacza to, że po zastosowaniu naszej operacji elementarnej do
Oznacza to, że po zastosowaniu naszej operacji elementarnej do
wszystkich wierszy macierzy od drugiego do <math>\displaystyle m</math>-tego włącznie
wszystkich wierszy macierzy od drugiego do <math>m</math>-tego włącznie
otrzymujemy macierz, w&nbsp;której jedynym niezerowym wyrazem stojącym
otrzymujemy macierz, w&nbsp;której jedynym niezerowym wyrazem stojącym
w&nbsp;kolumnie <math>\displaystyle b</math>&nbsp;jest współczynnik stojący w&nbsp;pierwszym wierszu.
w&nbsp;kolumnie <math>b</math>&nbsp;jest współczynnik stojący w&nbsp;pierwszym wierszu.
Otrzymaliśmy macierz <math>\displaystyle A'</math>, którą schematycznie możemy zapisać tak:
Otrzymaliśmy macierz <math>A'</math>, którą schematycznie możemy zapisać tak:




<center><math>\displaystyle A'=\left[
<center><math>A'=\left[
\begin{array} {ccccccc}
\begin{array} {ccccccc}
0    & \ldots & \ & \mathbf{a_{1b}}& \square    & \ldots &  \square \\  
0    & \ldots & \ & \mathbf{a_{1b}}& \square    & \ldots &  \square \\  
Linia 1116: Linia 1116:
Oznacza to, że pierwszy krok naszego algorytmu został zakończony.
Oznacza to, że pierwszy krok naszego algorytmu został zakończony.


Rozpatrzmy teraz macierz powstajacą z&nbsp;macierzy <math>\displaystyle A'</math>&nbsp;poprzez
Rozpatrzmy teraz macierz powstajacą z&nbsp;macierzy <math>A'</math>&nbsp;poprzez
wykreślenie pierwszego wiersza i&nbsp;pierwszych <math>\displaystyle b</math>&nbsp;kolumn. Oznaczmy ją
wykreślenie pierwszego wiersza i&nbsp;pierwszych <math>b</math>&nbsp;kolumn. Oznaczmy ją
przez&nbsp;<math>\displaystyle A_1</math>.
przez&nbsp;<math>A_1</math>.




<center><math>\displaystyle A'=\left[
<center><math>A'=\left[
\begin{array} {ccccccc}
\begin{array} {ccccccc}
0    &\ldots&    0 & \mathbf{a_{1b}}&\square &\ldots&\square\\
0    &\ldots&    0 & \mathbf{a_{1b}}&\square &\ldots&\square\\
Linia 1132: Linia 1132:




Jeżeli macierz <math>\displaystyle A_1</math>&nbsp;będzie macierzą w&nbsp;postaci schodkowej, to widać,
Jeżeli macierz <math>A_1</math>&nbsp;będzie macierzą w&nbsp;postaci schodkowej, to widać,
że macierz <math>\displaystyle A'</math>&nbsp;będzie także w&nbsp;postaci schodkowej i&nbsp;nasz algorytm
że macierz <math>A'</math>&nbsp;będzie także w&nbsp;postaci schodkowej i&nbsp;nasz algorytm
jest zakończony. Aby dokończyć dowód wystarczy zatem uzasadnić, że
jest zakończony. Aby dokończyć dowód wystarczy zatem uzasadnić, że
macierz <math>\displaystyle A_1</math>&nbsp;może być przy pomocy operacji elementarnych na
macierz <math>A_1</math>&nbsp;może być przy pomocy operacji elementarnych na
wierszach sprowadzona do postaci schodkowej (operacje na wierszach
wierszach sprowadzona do postaci schodkowej (operacje na wierszach
<math>\displaystyle A_1</math>&nbsp;mogą uważana za operacje na wierszach <math>\displaystyle A'</math>,&nbsp;ponieważ wyrazy
<math>A_1</math>&nbsp;mogą uważana za operacje na wierszach <math>A'</math>,&nbsp;ponieważ wyrazy
stojące w&nbsp;pierwszych <math>\displaystyle b</math>&nbsp;kolumnach w&nbsp;macierzy <math>\displaystyle A'</math> w&nbsp;wierszach od
stojące w&nbsp;pierwszych <math>b</math>&nbsp;kolumnach w&nbsp;macierzy <math>A'</math> w&nbsp;wierszach od
<math>\displaystyle 2</math>&nbsp;do <math>\displaystyle m</math>-tego są równe <math>\displaystyle 0</math>). Jeżeli <math>\displaystyle A_1</math>&nbsp;jest niezerową macierzą
<math>2</math>&nbsp;do <math>m</math>-tego są równe <math>0</math>). Jeżeli <math>A_1</math>&nbsp;jest niezerową macierzą
o&nbsp;co najmniej dwóch wierszach nie bedącą w&nbsp;postaci schodkowej, to
o&nbsp;co najmniej dwóch wierszach nie bedącą w&nbsp;postaci schodkowej, to
powtarzając opisaną wyżej procedurę do macierzy <math>\displaystyle A_1</math>&nbsp;sprowadzimy
powtarzając opisaną wyżej procedurę do macierzy <math>A_1</math>&nbsp;sprowadzimy
nasz problem do macierzy <math>\displaystyle A_2</math>&nbsp;liczącej od dwa wiersza mniej niż
nasz problem do macierzy <math>A_2</math>&nbsp;liczącej od dwa wiersza mniej niż
macierz <math>\displaystyle A</math>.&nbsp;Ponieważ liczba wierszy naszej macierzy jest skończona
macierz <math>A</math>.&nbsp;Ponieważ liczba wierszy naszej macierzy jest skończona
jasne jest, że najdalej po <math>\displaystyle m-1</math> krokach otrzymamy macierz w&nbsp;postaci
jasne jest, że najdalej po <math>m-1</math> krokach otrzymamy macierz w&nbsp;postaci
schodkowej.
schodkowej.
}}
}}
Linia 1158: Linia 1158:


{{wniosek|5.4|wn 5.4|
{{wniosek|5.4|wn 5.4|
Aby obliczyć rząd macierzy <math>\displaystyle A</math>&nbsp;wystarczy sprowadzić ją przy pomocy
Aby obliczyć rząd macierzy <math>A</math>&nbsp;wystarczy sprowadzić ją przy pomocy
operacji elementarnych do postaci schodkowej i&nbsp;obliczyć liczbę
operacji elementarnych do postaci schodkowej i&nbsp;obliczyć liczbę
kolumn bazowych.
kolumn bazowych.
}}
}}

Wersja z 08:44, 28 sie 2023

Zadanie 5.1

Niech


A=[121030111].


Wyznaczyć rkA.

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 5.2

Dane są macierze


A=[123110],B=[211103].


Obliczyć AB oraz B*A*.

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 5.3

Niech


A=[abcd],


gdzie a,b,c,d oraz adbc0. Wykazać, że macierz


B=1adbc[dbca]


jest odwrotna do A.

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 5.4

Dane są macierze


A=[1213],B=[2110].


Wyznaczyć AB, BA, A1 oraz B1. Zbadać, czy A1B1=(AB)1.

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 5.5

Niech


A=[201010131].


Wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy A.

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 5.6

Niech A,BM(2,2;) będą macierzami postaci


A=[λ00λ],B=[λ10λ].


Wyznaczyć An i Bn dla n1.

Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 5.7

Niech V będzie zbiorem tych wszystkich macierzy kwadratowych MM(4,4;), które komutują z macierzą C, gdzie


C=[0100001000010000].


Innymi słowy


V={MM(4,4;):CM=MC}.
i) Sprawdzić, że V jest podprzestrzenią przestrzeni M(4,4;).
ii) Wyznaczyć bazę podprzestrzeni V oraz podać jej wymiar.
Wskazówka
Rozwiązanie

Zadanie 5.8

Ustalmy liczbę n. Niech EijM(n,n;) będzie macierzą, której jedyny niezerowy wyraz jest równy 1 i stoi na przecięciu i-tego wiersza oraz j-tej kolumny, gdzie 1i,jn. Dla danych liczb naturalnych 1i,jn, ij oraz liczby rzeczywistej λ definiujemy macierze kwadratowe Zij,Dijλ,PiλM(n,n;), gdzie


Zij=IEiiEjj+Eij+Eji,Dijλ=I+λEij,Piλ=IEii+λEii,


innymi słowy macierz Zij, to macierz jednostkowa, w której zamieniono miejscami wiersze o numerach i oraz j, macierz Dijλ , to macierz jednostkowa, w której do wiersza i-tego dodano wiersz j-ty przemnożony przez liczbę rzeczywistą λ, natomiast macierz Piλ, to macierz jednostkowa, w której i-ty przemnożono przez liczbę rzeczywistą λ, czyli


Zij=[1000000001000000𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟎𝟎0001000000001000𝟎𝟎𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎0000001000000001],


Dijλ=[1000000001000000𝟎𝟎𝟏𝟎𝟎λ𝟎𝟎0001000000001000𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟎𝟎0000001000000001],


Piλ=[100000100000λ000001000001].


Niech M będzie dowolną macierzą o n wierszach. Udowodnić, że

a) Macierz powstająca z macierzy M poprzez zamianę i-tego i j-tego wiersza miejscami jest równa ZijM.
b) Macierz powstająca z macierzy M poprzez dodanie do i-tego wiersza j-tego pomnożonego przez liczbę rzeczywistą λ jest równa DijλM.
c) Macierz powstająca z macierzy M poprzez pomnożenie i-tego wiersza przez liczbę rzeczywistą λ jest równa PiλM.
Wskazówka
Rozwiązanie

Definicja 1

Mówimy, że macierz E jest w postaci schodkowej, jeżeli spełnione są następujące dwa warunki:

  1. Jeżeli pewien wiersz macierzy E składa się z samych zer, to wszystkie następne wiersze także składają się z samych zer (innymi słowy, wiersz zawierający niezerowe elementy nie może być poprzedzony przez wiersz zerowy).
  2. W każdym niezerowym wierszu macierzy E pierwszy niezerowy element występuje w kolumnie o numerze większym niż numer kolumny zawierający pierwszy niezerowy element poprzedniego wiersza.


[0 000 0000000 000000000000000000].


Przykład 1

1. Podane poniżej macierze są macierzami w postaci schodkowej


[1234012300120001],[11111022220003300000],[10301012050001200000].
2. Podane poniżej macierze nie są macierzami w postaci schodkowej


[0001001001001000],[0000100001000010],[0100100000010010].


Definicja 2

Operacją elementarną na wierszach macierzy nazywamy każdą z poniższych czynności:

  1. Przemnożenie dowolnego wiersza macierzy przez różną od zera liczbę rzeczywistą.
  2. Zamiana dwóch wierszy miejscami.
  3. Dodanie do dowolnego wiersza innego wiersza przemnożonego przez dowolną liczbę rzeczywistą.

Definicja 3

Jeżeli E jest macierzą w postaci schodkowej, to każdą kolumnę, w której stoi pierwszy niezerowy wyraz jakiegoś wiersza nazywamy kolumną bazową.

Przykład 2

Kolumnami bazowymi dla następującej macierzy


[211011002130000001000000]


są kolumny: pierwsza, trzecia i szósta.

Twierdzenie 5.1

Jeżeli EM(n,m;) jest macierzą w postaci schodkowej, to rząd macierzy E jest równy liczbie kolumn bazowych.

Zadanie 5.9

Udowodnić twierdzenie 5.1.

Wskazówka
Rozwiązanie

Twierdzenie 5.2

Każdą macierz można przy pomocy operacji elementarnych sprowadzić do postaci schodkowej.

Dowód

Przeprowadzony przez nas dowód będzie konstruktywny, tzn. nie tylko uzasadnimy, że każda macierz może być przy pomocy operacji elementarnych przekształcona do postaci schodkowej, ale równocześnie podamy efektywny algorytm, opisujący krok po kroku jakich operacji elementarnych należy użyć.

Niech AM(n,m;) będzie macierzą, którą będziemy przekształcać do postaci schodkowej. Oznaczmy wyraz stojący w macierzy A w i-tym wierszu oraz j-tej kolumnie przez aij, czyli


A=[aij]n×m.


Jeżeli A jest macierzą zerową (dowolnego wymiaru) lub A ma tylko jeden wiersz to A jest macierzą w postaci schodkowej i teza jest w tych przypadkach spełniona.

Załóżmy zatem, że A jest niezerową macierzą o co najmniej dwóch wierszach i A nie jest jeszcze w postaci schodkowej. Rozpatrzmy pierwszą niezerową kolumnę występującą w naszej macierzy. Załóżmy, że jest to kolumna o numerze b. Kolumna ta będzie pierwszą kolumną bazową. Jeżeli w tej kolumnie w pierwszym wierszu stoi 0, to zamieniamy pierwszy wiersz z jakimkolwiek wierszem, w którym w rozważanej kolumnie bazowej występuje niezerowy wyraz. Ponieważ założyliśmy, że kolumna bazowa o numerze b zawiera wyrazy różne od zera taka operacja jest zawsze wykonalna. Po ewentualnej zamianie wierszy mamy zatem do czynienia z macierzą, której pierwsza niezerowa kolumna ma numer b oraz wyraz stojący w pierwszym wierszu oraz kolumnie b, oznaczony tu a1b, jest różny od zera. Dzięki temu możemy teraz używając operacji elementarnych wyzerować wyrazy macierzy leżące w kolumnie bazowej poniżej pierwszego wiersza. Uczynimy to odejmując od i-tego wiersza, gdzie i=2,,m wiersz pierwszy pomnożony przez aib/a1b. Zauważmy, że współczynnik a'ib stojący w i-tym wierszu i kolumnie b w macierzy powstającej po zastosowaniu tej operacji elementarnej jest równy


a'ib=aibaiba1ba1b=0.


Oznacza to, że po zastosowaniu naszej operacji elementarnej do wszystkich wierszy macierzy od drugiego do m-tego włącznie otrzymujemy macierz, w której jedynym niezerowym wyrazem stojącym w kolumnie b jest współczynnik stojący w pierwszym wierszu. Otrzymaliśmy macierz A, którą schematycznie możemy zapisać tak:


A=[0 a𝟏𝐛00𝟎00𝟎]


Oznacza to, że pierwszy krok naszego algorytmu został zakończony.

Rozpatrzmy teraz macierz powstajacą z macierzy A poprzez wykreślenie pierwszego wiersza i pierwszych b kolumn. Oznaczmy ją przez A1.


A=[00a𝟏𝐛00   A1 00  ]


Jeżeli macierz A1 będzie macierzą w postaci schodkowej, to widać, że macierz A będzie także w postaci schodkowej i nasz algorytm jest zakończony. Aby dokończyć dowód wystarczy zatem uzasadnić, że macierz A1 może być przy pomocy operacji elementarnych na wierszach sprowadzona do postaci schodkowej (operacje na wierszach A1 mogą uważana za operacje na wierszach A, ponieważ wyrazy stojące w pierwszych b kolumnach w macierzy A w wierszach od 2 do m-tego są równe 0). Jeżeli A1 jest niezerową macierzą o co najmniej dwóch wierszach nie bedącą w postaci schodkowej, to powtarzając opisaną wyżej procedurę do macierzy A1 sprowadzimy nasz problem do macierzy A2 liczącej od dwa wiersza mniej niż macierz A. Ponieważ liczba wierszy naszej macierzy jest skończona jasne jest, że najdalej po m1 krokach otrzymamy macierz w postaci schodkowej.

Twierdzenie 5.3

Operacje elementarne na wierszach macierzy nie zmieniają rzędu macierzy.

Dowód

Wynika z modułów V i VI wykładu.

Wniosek 5.4

Aby obliczyć rząd macierzy A wystarczy sprowadzić ją przy pomocy operacji elementarnych do postaci schodkowej i obliczyć liczbę kolumn bazowych.