Analiza matematyczna 1/Ćwiczenia 6: Szeregi liczbowe

6. Szeregi liczbowe

Ćwiczenie 6.1.

Zbadać zbieżność następujących szeregów liczbowych:
(1) $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{5+(-1{)}^n}{\sqrt{n}},$

(2) $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\cos \frac{1}{n}\sin \frac{1}{n^2}.$

Wskazówka

(1) Zastosować kryterium porównawcze (patrz twierdzenie 6.9.).
(2) Zastosować kryterium porównawcze. Wykorzystać nierówność $\sin x\le x.$

Rozwiązanie

(1) Zauważmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \forall n\in\mathbb{N}:\ \frac{5+(-1)^n}{\sqrt{n}} \ \ge\ \frac{4}{\sqrt{n}}. }

Ponieważ szereg $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{4}{\sqrt{n}}=4\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\sqrt{n}}$ jest rozbieżny (jako uogólniony szereg harmoniczny z wykładnikiem $\alpha =\frac{1}{2}$; patrz przykład 6.15.) zatem na mocy kryterium porównawczego (patrz twierdzenie 6.9.) wnioskujemy, że szereg $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{5+(-1{)}^n}{\sqrt{n}}$ jest rozbieżny.

(2) Rozważmy następujący szereg $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2},$ o którym wiemy, że jest zbieżny (jako uogólniony szereg harmoniczny z wykładnikiem $\alpha =2$; patrz przykład 6.15.). Ponieważ zachodzi nierówność liczbowa

$\mathrm{\forall }x>0:\sin x\le x,$

(patrz lemat 5.7.) więc dla dowolnego $n\in \mathbb{\mathbb{N}}$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 0 \ \le\ \cos\frac{1}{n}\cdot\sin\frac{1}{n^2} \ \le\ \sin\frac{1}{n^2} \ =\ \sin\frac{1}{n^2} \ \le\ \frac{1}{n^2}. }

Zatem na mocy kryterium porównawczego (patrz twierdzenie 6.9.) wnioskujemy, że szereg $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\cos \frac{1}{n}\sin \frac{1}{n^2}$ jest zbieżny.

Ćwiczenie 6.2.

Zbadać zbieżność następujących szeregów liczbowych:
(1) $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\sqrt[n]{\frac{1}{n}},$

(2) $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\cos \frac{1}{n}.$

Wskazówka

(1) Sprawdzić zachodzenie warunku koniecznego zbieżności szeregów.
(2) Sprawdzić zachodzenie warunku koniecznego zbieżności szeregów.

Rozwiązanie

(1) Ponieważ

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \sqrt[n]{\frac{1}{n}} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \ =\ 1, }

zatem szereg nie spełnia warunku koniecznego zbieżności szeregów, a więc jest rozbieżny.

(2) Ponieważ

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \cos\frac{1}{n} \ =\ 1, }

zatem szereg nie spełnia warunku koniecznego zbieżności szeregów, a więc jest rozbieżny.

Ćwiczenie 6.3.

Obliczyć sumy następujących szeregów liczbowych:
(1) $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n(n+1)},$

(2) $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{3^n+2^n}{6^n},$

(3) $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}.$

Wskazówka

(1) Zauważyć, że $\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$ i obliczyć wyrazy ciągu sum częściowych.
(2) Zauważyć, że szereg ten jest sumą pewnych dwóch szeregów.
(3) Zauważyć, że $\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})$ i obliczyć wyrazy ciągu sum częściowych.

Rozwiązanie

(1) Ponieważ

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \forall n\in\mathbb{N}:\ \frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}, }

zatem $N$-ta suma częściowa szeregu ma postać

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle S_N \ =\ \sum_{n=1}^N\frac{1}{n(n+1)} \ =\ \bigg(1-\frac{1}{2}\bigg) + \bigg(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\bigg) +} Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \bigg(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\bigg) +\ldots+ \bigg(\frac{1}{N-1}-\frac{1}{N}\bigg) \ =\ 1-\frac{1}{N}. }

Ponieważ suma szeregu jest granicą ciągu sum częściowych, więc

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} \ =\ \lim_{N\rightarrow+\infty}S_N \ =\ \lim_{N\rightarrow+\infty}\bigg(1-\frac{1}{N}\bigg) \ =\ 1. }

(2) Zauważmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^n+2^n}{6^n} \ =\ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^n}{6^n} +\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n}{6^n} \ =\ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n} +\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^n}, }

zatem nasz szereg jest sumą dwóch szeregów geometrycznych, których sumy potrafimy policzyć:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^n+2^n}{6^n} \ =\ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n} +\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^n} \ =\ \frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}} +\frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}} \ =\ 1+\frac{1}{2} \ =\ \frac{3}{2}. }

(3) Ponieważ

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \forall n\in\mathbb{N}:\ \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{2}\bigg(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\bigg), }

zatem $N$-ta suma częściowa szeregu ma postać

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle S_N \ =\ \sum_{n=1}^N\frac{1}{n(n+1)} \ =\ \frac{1}{2}\bigg[\bigg(1-\frac{1}{3}\bigg) + \bigg(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\bigg) +} Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \bigg(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\bigg) +\ldots+ \bigg(\frac{1}{2N-1}-\frac{1}{2N+1}\bigg)\bigg] \ =\ \frac{1}{2}\bigg[1-\frac{1}{2N+1}\bigg]. }

Ponieważ suma szeregu jest granicą ciągu sum częściowych, więc

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} \ =\ \lim_{N\rightarrow+\infty}S_N \ =\ \lim_{N\rightarrow+\infty}\frac{1}{2}\bigg(1-\frac{1}{2N+1}\bigg) \ =\ \frac{1}{2}. }

Ćwiczenie 6.4.

Zbadać zbieżność następujących szeregów liczbowych:
(1) $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\ln n},$

(2) $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(\ln (\ln n){)}^{\ln n}}.$

Wskazówka

(1) Pokazać, że $\ln n\le n$ (na przykład wykorzystując nierówność Bernoullego; patrz uwaga 2.16.) i skorzystać z kryterium porównawczego (patrz twierdzenie 6.9.).
(2) Zastosować kryterium porównawcze (patrz twierdzenie 6.9.), porównując z szeregiem $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}.$

Rozwiązanie

(1) Z nierówności Bernoullego (patrz uwaga 2.16.) mamy $(1+x{)}^n\ge 1+nx$ dla każdego $x\ge -1$ oraz $n\in \mathbb{\mathbb{N}}.$ Wstawiając $x=1,$ dostajemy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 1+n \ \le\ 2^n < e^n, }

gdzie w drugiej nierówności wykorzystano monotoniczność funkcji potęgowej. Logarytmując obie strony (logarytmem o podstawie $e$) i korzystając z faktu, że funkcja logarytm o podstawie większej od $1$ jest rosnąca, dostajemy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \ln(1+n) \ \le\ \ln e^n \ =\ n\ln e \ =\ n. }

Z monotoniczności funkcji logarytm mamy ponadto

$\ln n<\ln (1+n),$

zatem ostatecznie pokazaliśmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \forall n\in\mathbb{N}:\ \ln n\le n, }

czyli także $\frac{1}{\ln n}\ge \frac{1}{n}.$ Ponieważ szereg $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}$ jest rozbieżny, zatem na mocy kryterium porównawczego (patrz twierdzenie 6.9.) szereg $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\ln n}$ też jest rozbieżny.

(2) Porównajmy szereg $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(\ln (\ln n){)}^{\ln n}}$ z szeregiem $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2},$ o którym wiemy, że jest zbieżny. W tym celu rozwiążmy nierówność:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \frac{1}{(\ln (\ln n))^{\ln n}} \ \le\ \frac{1}{n^2}. }

Przekształcamy ją równoważnie

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle (\ln (\ln n))^{\ln n} \ \ge\ n^2, }

następnie logarytmujemy obie strony

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle (\ln n)(\ln (\ln (\ln n))) \ \ge\ 2\ln n } Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \ln (\ln (\ln n)) \ \ge\ 2 } Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \ln (\ln n) \ \ge\ e^2, } Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \ln n \ \ge\ e^{e^2}, } Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle n \ \ge\ e^{e^{e^2}}. }

Zatem pokazaliśmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \forall n\ge e^{e^{e^2}}:\ \frac{1}{(\ln (\ln n))^{\ln n}} \ \le\ \frac{1}{n^2}. }

Na mocy kryterium porównawczego (patrz twierdzenie 6.9.) szereg $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(\ln (\ln n){)}^{\ln n}}$ jest więc zbieżny.

Ćwiczenie 6.5.

Zbadać zbieżność następujących szeregów liczbowych:
(1) $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^{1+\frac{1}{n}}},$

(2) $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n(1+\frac{1}{n}{)}^n}.$

Wskazówka

(1) Szereg ten jest postaci $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n\cdot a_n},$ gdzie $\{a_n\}$ jest pewnym ciągiem. Co można powiedzieć o ciągu $\{a_n\}$?
(2) Patrz wskazówka do punktu (1).

Rozwiązanie

(1) Zauważmy, że szereg ten jest postaci $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n\cdot a_n},$ gdzie

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle a_n \ =\ n^{\frac{1}{n}} \ =\ \sqrt[n]{n}, }

zatem ciąg $\{a_n\}$ jest zbieżny oraz $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{a}_n=1.$ Korzystając z definicji granicy ciągu, dla $\epsilon =\frac{1}{2},$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge n:\ \frac{1}{2}\le a_n\le \frac{3}{2}. }

Zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \forall n\ge N:\ \frac{1}{\displaystyle n\cdot a_n} \ \ge\ \frac{1}{\displaystyle n \cdot \frac{3}{2}} \ =\ \frac{2}{3n}. }

Ponieważ szereg $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2}{3n}=\frac{2}{3}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}$ jest rozbieżny (jako szereg harmoniczny), więc na mocy kryterium porównawczego (patrz twierdzenie 6.9.) dostajemy, że szereg $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^{1+\frac{1}{n}}}$ jest także rozbieżny.

(2) Zauważmy, że szereg ten jest postaci $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n\cdot a_n},$ gdzie

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle a_n \ =\ \bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^n, }

zatem ciąg $\{a_n\}$ jest zbieżny oraz $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{a}_n=e.$ Korzystając z definicji granicy ciągu, wiemy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge n:\ a_n\le 3. }

Zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \forall n\ge N:\ \frac{1}{\displaystyle n\cdot a_n} \ \ge\ \frac{1}{\displaystyle 3n}. }

Ponieważ szereg $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{3n}=\frac{1}{3}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}$ jest rozbieżny (jako szereg harmoniczny), więc na mocy kryterium porównawczego (patrz twierdzenie 6.9.) dostajemy, że szereg $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n(1+\frac{1}{n}{)}^n}$ jest także rozbieżny.

Ćwiczenie 6.6.

Niech $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ będzie szeregiem o wyrazach dodatnich.
(1) Udowodnić, że jeśli szereg $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ jest zbieżny, to także szereg $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n^2$ jest zbieżny.
(2) Pokazać, że nie zachodzi implikacja odwrotna w powyższym stwierdzeniu.

Wskazówka

(1) Należy skorzystać z warunku koniecznego zbieżności szeregów faktu, że

$\mathrm{\forall }x\in (0,1):x^2<x$

oraz kryterium porównawczego (patrz twierdzenie 6.9.).

(2) Kontrprzykładu szukaj wśród uogólnionych szeregów harmonicznych.

Rozwiązanie

(1) Ze zbieżności szeregu $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ wynika w szczególności, że $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{a}_n=0,$ a stąd w szczególności

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ 0<a_n<1. }

Ponieważ dla $x\in (0,1)$ mamy $x^2<x,$ zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \forall n\ge N:\ a_n^2 < a_n. }

Na mocy kryterium porównawczego (patrz twierdzenie 6.9.) dostajemy zatem, że szereg $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n^2$ jest zbieżny.

(2) Rozważmy szereg $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n,$ gdzie $a_n=\frac{1}{n}$ dla $n\in \mathbb{\mathbb{N}}.$ Wówczas szereg $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n^2$ jest zbieżny, ale szereg $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ jest rozbieżny.