|
|
| Linia 1: |
Linia 1: |
| ==Odległość i ciągi w <math>\displaystyle\rr^N.</math> Ćwiczenia==
| |
|
| |
|
| Wykazać, że funkcje <math>d_{\infty}</math> i <math>d_1</math> zdefiniowane
| |
| na <math>\displaystyle\rr^N\times\rr^N</math>
| |
| jako
| |
|
| |
| <center><math>\aligned\graph
| |
| d_{\infty}(x,y)
| |
| & \sr &
| |
| \max_{i=1,\ldots, N}|x_i-y_i|,
| |
| \qquad\textrm{dla}\quad x,y\in\rr^N,\\
| |
| d_1(x,y)
| |
| & \sr &
| |
| \sum_{i=1}^{N}|x_i-y_i|
| |
| \qquad\textrm{dla}\quad x,y\in\rr^N,
| |
|
| |
| \endaligned</math></center>
| |
|
| |
| są metrykami
| |
| (patrz Przykłady [[##p.new.am1.w.03.050|Uzupelnic p.new.am1.w.03.050|]] i [[##p.new.am1.w.03.060|Uzupelnic p.new.am1.w.03.060|]]).<br>
| |
|
| |
| Wszystkie trzy warunki definicji metryki są łatwe do
| |
| sprawdzenia.
| |
| W nierówności trójkąta należy wykorzystać
| |
| nierówność dla wartości bezwzględnej w <math>\displaystyle\rr</math>
| |
| (to znaczy nierówność trójkąta
| |
| dla metryki euklidesowej w <math>\displaystyle\rr</math>).
| |
|
| |
| Sprawdźmy trzy warunki z definicji metryki dla <math>d_{\infty}</math>:<br>
| |
| Dla <math>x,y\in\rr^N</math> mamy
| |
|
| |
| <center><math>\aligned\graph
| |
| d_{\infty}(x,y)=0
| |
| & \Longleftrightarrow &
| |
| \max_{i=1,\ldots, N}|x_i-y_i|=0
| |
| \ \Longleftrightarrow\
| |
| |x_1-y_1|=\ldots=|x_N-y_N|=0\\
| |
| & \Longleftrightarrow &
| |
| \big[x_1=y_1,\ \ldots,\ x_N=y_N\big]
| |
| \ \Longleftrightarrow\
| |
| x=y.
| |
|
| |
| \endaligned</math></center>
| |
|
| |
| Wobec tego, że <math>|a-b|=|b-a|</math>,
| |
| dla <math>x,y\in\rr^N</math> mamy
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| d_{\infty}(x,y)
| |
| \ =\
| |
| \max_{i=1,\ldots, N}|x_i-y_i|
| |
| \ =\
| |
| \max_{i=1,\ldots, N}|y_i-x_i|
| |
| \ =\
| |
| d_{\infty}(x,y)
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| zatem spełniony jest warunek symetrii.<br>
| |
| Wobec tego, że <math>|a-b|\le |a-c|+|c-b|</math>,
| |
| dla <math>x,y,z\in\rr^N</math> mamy
| |
|
| |
| <center><math>\aligned\graph
| |
| d_{\infty}(x,z)
| |
| & = &
| |
| \max_{i=1,\ldots, N}|x_i-z_i|
| |
| \ =\
| |
| \max_{i=1,\ldots, N}|x_i-y_i+y_i-z_i|
| |
| \ \le\
| |
| \max_{i=1,\ldots, N}\big(|x_i-y_i|+|y_i-z_i|\big)\\
| |
| & \le &
| |
| \max_{i=1,\ldots, N}|x_i-y_i|
| |
| +\max_{i=1,\ldots, N}|y_i-z_i|
| |
| \ =\
| |
| d_{\infty}(x,y)+d_{\infty}(y,z),
| |
|
| |
| \endaligned</math></center>
| |
|
| |
| zatem pokazaliśmy warunek trójkąta.
| |
| Zatem że <math>d_{\infty}</math>
| |
| jest metryką w <math>\displaystyle\rr^N.</math><br>
| |
| <br>
| |
| Sprawdźmy trzy warunki z definicji metryki dla <math>d_1</math>:<br>
| |
| Dla <math>x,y\in\rr^N</math> mamy
| |
|
| |
| <center><math>\aligned
| |
| d_1(x,y)=0
| |
| & \Longleftrightarrow &
| |
| \sum_{i=1}^{N}|x_i-y_i|=0
| |
| \ \Longleftrightarrow\
| |
| |x_1-y_1|=\ldots=|x_N-y_N|=0\\
| |
| & \Longleftrightarrow &
| |
| \big[x_1=y_1,\ \ldots,\ x_N=y_N\big]
| |
| \ \Longleftrightarrow\
| |
| x=y.
| |
|
| |
| \endaligned</math></center>
| |
|
| |
| Dla <math>x,y\in\rr^N,</math> mamy
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| d_1(x,y)
| |
| \ =\
| |
| \sum_{i=1}^{N}|x_i-y_i|
| |
| \ =\
| |
| \sum_{i=1}^{N}|y_i-x_i|
| |
| \ =\
| |
| d_1(x,y)
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| zatem spełniony jest warunek symetrii.<br>
| |
| Dla <math>x,y,z\in\rr^N,</math> mamy
| |
|
| |
| <center><math>\aligned\graph
| |
| d_1(x,z)
| |
| & = &
| |
| \sum_{i=1}^{N}|x_i-z_i|
| |
| \ =\
| |
| \sum_{i=1}^{N}|x_i-y_i+y_i-z_i|
| |
| \ \le\
| |
| \sum_{i=1}^{N}\big(|x_i-y_i|+|y_i-z_i|\big)\\
| |
| & \le &
| |
| \sum_{i=1}^{N}|x_i-y_i|
| |
| +\sum_{i=1}^{N}|y_i-z_i|
| |
| \ =\
| |
| d_1(x,y)+d_1(y,z),
| |
|
| |
| \endaligned</math></center>
| |
|
| |
| zatem pokazaliśmy warunek trójkąta.
| |
| Wykazaliśmy zatem, że <math>d_1</math>
| |
| jest metryką w <math>\displaystyle\rr^N.</math>
| |
|
| |
| Dla danej metryki <math>d</math> w
| |
| <math>\rr^N</math> można zdefiniować odległość punktu <math>x</math>
| |
| od zbioru <math>A\ne \emptyset</math>
| |
| jako infimum wszystkich odległości między <math>x</math> a punktami
| |
| zbioru <math>A</math>, czyli
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| \dist (x,A)
| |
| \ =\
| |
| \inf_{z\in A}d(x,z).
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| {{red}[[Rysunek AM1.M03.C.R01 (stary numer AM1.3.24)]]}.<br>
| |
| Dany jest zbiór <math>A=[0,1]\times[0,1]\subseteq\rr^2</math>
| |
| oraz dwa punkty <math>x=(2,3)</math> oraz <math>y=(3,-2).</math>
| |
| Wyznaczyć <br>
| |
| '''(a)''' odległość punktów <math>x</math> i <math>y</math>;<br>
| |
| '''(b)''' <math>\displaystyle\dist (x,A)</math>;
| |
| kolejno w metrykach:
| |
| euklidesowej <math>d_2</math>;
| |
| taksówkowej <math>d_1</math>;
| |
| maksimowej <math>d_{\infty}.</math>
| |
|
| |
| Należy wykonać rysunek zbioru <math>A</math> oraz wszystkich zadanych punktów
| |
| w układzie współrzędnych.
| |
| Przy liczeniu odległości punktów
| |
| oraz odległości punktu od zbioru należy skorzystać z definicji
| |
| poszczególnych metryk oraz rysunku.
| |
|
| |
| '''(1)''' Dla metryki euklidesowej <math>d_2</math> mamy:<br>
| |
| {{red}[[Rysunek AM1.M03.C.R02 (nowy)]]}<br>
| |
| '''(a)'''
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| d_2(x,y)
| |
| \ =\
| |
| d_2\big((2,3),(3,-2)\big)
| |
| \ =\
| |
| \sqrt{(2-3)^2+(3+2)^2}
| |
| \ =\
| |
| \sqrt{26}.
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| '''(b)'''
| |
| Odległość <math>x</math> od zbioru <math>A</math> jest realizowana w punkcie
| |
| <math>z=(1,1)</math> (patrz rysunek; łatwo pokazać, że odległość od <math>x</math>
| |
| do dowolnego innego punktu zbioru <math>A</math> jest większa, niż do <math>z</math>),
| |
| zatem
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| \dist (x,A)
| |
| \ =\
| |
| d_2\big((2,3),(1,1)\big)
| |
| \ =\
| |
| \sqrt{(2-1)^2+(3-1)^2}
| |
| \ =\
| |
| \sqrt{5}.
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| <br>
| |
| '''(2)''' Dla metryki taksówkowej <math>d_1</math> mamy:<br>
| |
| {{red}[[Rysunek AM1.M03.C.R03 (nowy)]]}<br>
| |
| '''(a)'''
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| d_1(x,y)
| |
| \ =\
| |
| d_1\big((2,3),(3,-2)\big)
| |
| \ =\
| |
| |2-3|+|3+2|
| |
| \ =\
| |
| 6.
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| '''(b)'''
| |
| Odległość <math>x</math> od zbioru <math>A</math> jest realizowana w punkcie
| |
| <math>z=(1,1)</math> (patrz rysunek; łatwo pokazać, że odległość od <math>x</math>
| |
| do dowolnego innego punktu zbioru <math>A</math> jest większa, niż do <math>z</math>),
| |
| zatem
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| \dist (x,A)
| |
| \ =\
| |
| d_1\big((2,3),(1,1)\big)
| |
| \ =\
| |
| |2-1|+|3-1|
| |
| \ =\
| |
| 3.
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| <br>
| |
| '''(3)''' Dla metryki maksimowej <math>d_{\infty}</math> mamy:<br>
| |
| {{red}[[Rysunek AM1.M03.C.R04 (nowy)]]}.<br>
| |
| '''(a)'''
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| d_{\infty}(x,y)
| |
| \ =\
| |
| d_{\infty}\big((2,3),(3,-2)\big)
| |
| \ =\
| |
| \max\big\{|2-3|,|3+2|\big\}
| |
| \ =\
| |
| 5.
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| '''(b)'''
| |
| Odległość <math>x</math> od zbioru <math>A</math> jest realizowana na przykład w punkcie
| |
| <math>z=(0,1)</math> (patrz rysunek; łatwo pokazać, że odległość od <math>x</math>
| |
| do dowolnego innego punktu zbioru <math>A</math> jest niemniejsza, niż do <math>z</math>),
| |
| zatem
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| \dist (x,A)
| |
| \ =\
| |
| d_2\big((2,3),(0,1)\big)
| |
| \ =\
| |
| \max\big\{|2-0|,|3-1|\big\}
| |
| \ =\
| |
| 2.
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| Udowodnić, że dla każdego ciągu <math>\displaystyle\{x_n\}\subseteq\rr^N</math> istnieje co najwyżej
| |
| jedna granica, to znaczy:
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| \bigg[
| |
| \limn x_n = g_1\in \rr^N
| |
| \quad\textrm{i}\quad
| |
| \limn x_n = g_2\in \rr^N
| |
| \bigg]
| |
| \ \Lra\
| |
| g_1=g_2.
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| Przeprowadzić dowód niewprost. Dobrać
| |
| <math>\displaystyle\eps=\frac{1}{2}d(g_1,g_2)</math> w definicji granicy ciągu.
| |
|
| |
| Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| \limn x_n = g_1,
| |
| \quad
| |
| \limn x_n = g_2
| |
| \quad\textrm{oraz}\quad
| |
| g_1\ne g_2.
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| Niech <math>\displaystyle\eps=\frac{1}{2}d(g_1,g_2).</math>
| |
| Wówczas <math>\displaystyle\eps>0</math> (gdyż założyliśmy, że <math>g_1\ne g_2</math>).
| |
| Z definicji granicy ciągu wynika, że
| |
|
| |
| <center><math>\aligned\graph
| |
| \exists N_1\in\nn\ \forall n\ge N_1: && d(x_n,g_1)<\frac{1}{2},\\
| |
| \exists N_2\in\nn\ \forall n\ge N_1: && d(x_n,g_2)<\frac{1}{2}.
| |
|
| |
| \endaligned</math></center>
| |
|
| |
| Niech <math>N=\max \{N_1,N_2\}.</math>
| |
| Wówczas dla wyrazu <math>x_N</math> mamy:
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| d(g_1,g_2)
| |
| \ \le\
| |
| d(g_1,x_N)+d(x_N,g_2)
| |
| \ <\
| |
| \frac{1}{2}d(g_1,g_2)+\frac{1}{2}d(g_1,g_2)
| |
| \ =\
| |
| d(g_1,g_2),
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| sprzeczność. Zatem <math>g_1=g_2.</math><br>
| |
| {{red}[[Rysunek AM1.M03.C.R05 (nowy)]]}<br>
| |
| {{red}[[Rysunek AM1.M03.C.R06 (nowy)]]}
| |
|
| |
| Udowodnić, że jeśli ciąg
| |
| <math>\displaystyle\{x_n\}\subseteq\rr^N</math> jest zbieżny, to jest
| |
| ograniczony.
| |
|
| |
| Zastosować definicję granicy z ustalonym <math>\displaystyle\eps>0</math>
| |
| (na przykład <math>\displaystyle\eps=1</math>) i zauważyć, że od pewnego miejsca ciąg jest
| |
| ograniczony.
| |
|
| |
| Załóżmy, że
| |
| <math>\displaystyle\limn x_n=g.</math>
| |
| Ustalmy <math>\displaystyle\eps=1.</math>
| |
| Z definicji granicy ciągu mamy
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| \exists N\in\nn\ \forall n\ge N:
| |
| d(x_n,g)<1
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| (to znaczy wszystkie wyrazy ciągu począwszy od <math>N</math>-tego
| |
| leża w kuli jednostkowej, a więc tworzą zbiór ograniczony).
| |
| Niech teraz
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| R
| |
| \ =\
| |
| \max\big\{
| |
| d(x_1,g),\ d(x_2,g),\ \ldots,\ d(x_N,g)
| |
| \big\}
| |
| +1.
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| Wówczas <math>d(x_n,g)<R</math> dla dowolnego <math>n\in\nn,</math> czyli
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| \forall n\in \nn: x_n\in K(g,R),
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| {{red}[[Rysunek AM1.M03.C.R07 (nowy)]]}<br>
| |
| a to oznacza, że ciąg <math>\displaystyle\{x_n\}</math> jest ograniczony.
| |
|
| |
| '''(1)'''
| |
| Podać przykład nieskończonej rodziny zbiorów otwartych w <math>\displaystyle\rr</math>
| |
| takich, że ich przecięcie nie jest zbiorem otwartym.<br>
| |
| '''(2)'''
| |
| Podać przykład nieskończonej rodziny zbiorów domkniętych w <math>\displaystyle\rr</math>
| |
| takich, że ich suma nie jest zbiorem domkniętym.
| |
|
| |
| '''(1)'''
| |
| Rozważyć zstępującą
| |
| rodzinę przedziałów otwartych
| |
| (to znaczy rodzinę zbiorów otwartych, z których każdy następny
| |
| jest zawarty w poprzednim).<br>
| |
| '''(2)'''
| |
| Rozważyć wstępującą rodzinę przedziałów domkniętych
| |
| (to znaczy rodzinę zbiorów domkniętych, z których każdy następny
| |
| zawiera poprzedni).
| |
|
| |
| '''(1)'''
| |
| Rozważmy przedziały otwarte
| |
| <math>\displaystyle U_n=\big(-\frac{1}{n},1+\frac{1}{n}\bigg)</math>
| |
| dla <math>n\in\nn.</math>
| |
| Wówczas
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| \bigcap_{n=1}^{\infty}U_n
| |
| \ =\
| |
| [0,1],
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| oraz przedział <math>\displaystyle [0,1]</math> nie jest zbiorem otwartym.<br>
| |
| <br>
| |
| '''(2)'''
| |
| Rozważmy przedziały domknięte
| |
| <math>\displaystyle F_n=\big[\frac{1}{n},2-\frac{1}{n}\bigg].</math>
| |
| Wówczas
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| \bigcup_{n=1}^{\infty}F_n
| |
| \ =\
| |
| (0,2),
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| oraz przedział <math>\displaystyle (0,2)</math> nie jest zbiorem domkniętym.
| |
|
| |
| Zbadać czy ciąg
| |
| <math>\displaystyle\{x_n\}\subseteq \rr^2,</math> gdzie
| |
| <math>x_n=\bigg\{\frac{2+n}{n},n\bigg\},</math>
| |
| spełnia warunek Cauchy'ego.
| |
|
| |
| Zbadać odległość dwóch kolejnych wyrazów ciągu
| |
| <math>x_n</math> i <math>x_{n+1}</math> dla dowolnego <math>n\in\nn.</math>
| |
|
| |
| Zauważmy, że
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| d_2(x_n,x_{n+1})
| |
| \ =\
| |
| \sqrt{\underbrace{\bigg(\frac{2+n+1}{n+1}-\frac{2+n}{n}\bigg)^2}_{\ge 0}+(\underbrace{n+1-n}_{=1})^2}
| |
| \ \ge\
| |
| 1,
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| a zatem ciąg ten nie spełnia warunku Cauchy'ego,
| |
| gdyż dla dowolnie dużego <math>n\in\nn</math>
| |
| odległości między kolejnymi wyrazami ciągu
| |
| są stale większe od <math>1.</math>
| |
