Sztuczna inteligencja/SI Ćwiczenia 4

Zadanie 1

W śledztwie dotyczącym zabójstwa inspektor Bayes rozważa dwie hipotezy:

• $h$ – że główny podejrzany zabił,
• $\mathrm{\neg }h$ – że główny podejrzany nie zabił

oraz następujące możliwe fakty:

• $f_1$ – że na miejscu zbrodni znaleziono odciski palców głównego podejrzanego,
• $f_2$ – że główny podejrzany nie ma alibi na czas popełnienia zabójstwa,
• $f_3$ – że główny podejrzany miał motyw zabicia ofiary,
• $f_4$ – że główny podejrzany był widziany w sądziedztwie miejsca, w którym mieszka nielegalny handlarz bronią,
• $f_5$ – że świadek zbrodni podał rysopis zabójcy nie pasujący do głównego podejrzanego.

Zależności między takimi faktami a hipotezami opisują następujące prawdopodobieństwa:

$Pr(f_1|h)=0,7$	$Pr(f_1|\mathrm{\neg }h)=0,3$
$Pr(f_2|h)=0,8$	$Pr(f_2|\mathrm{\neg }h)=0,4$
$Pr(f_3|h)=0,9$	$Pr(f_3|\mathrm{\neg }h)=0,5$
$Pr(f_4|h)=0,4$	$Pr(f_4|\mathrm{\neg }h)=0,2$
$Pr(f_5|h)=0,2$	$Pr(f_5|\mathrm{\neg }h)=0,4$

W którym przypadku prawdopodobieństwo popełnienia zabójstwa byłoby największe:

1. gdyby znaleziono na miejscu zbrodni jego odciski palców,
2. gdyby stwierdzono, że nie miał alibi i miał motyw,
3. gdyby znaleziono na miejscu zbrodni jego odciski palców oraz stwierdzono, że był widziany w sąsiedztwie miejsca, w którym mieszka nielegalny handlarz bronią, ale świadek zbrodni podał rysopis zabójcy nie pasujący do głównego podejrzanego.

Zadanie 2

W śledztwie dotyczącym zabójstwa inspektor Bayes wyłonił trzech podejrzanych A, B i C, w konsekwencji czego rozważa trzy możliwe hipotezy, wzajemnie wykluczające się i wyczerpujące wszystkie możliwości:

• $h_A$ – zabił A,
• $h_B$ – zabił B,
• $h_C$ – zabił C

oraz następujące możliwe fakty:

• $f_{1A}$, $f_{1B}$, $f_{1C}$ – że na miejscu zbrodni znaleziono odciski palców podejrzanego A, B, C,
• $f_{2A}$, $f_{2B}$, $f_{2C}$ – że podejrzany A, B, C nie ma alibi na czas popełnienia zabójstwa,
• $f_{3A}$, $f_{3B}$, $f_{3C}$ – że podejrzany A, B, C miał oczywisty motyw zabicia ofiary,
• $f_{4A}$, $f_{4B}$, $f_{4C}$ – że świadek zbrodni podał rysopis zabójcy nie pasujący do podejrzanego A. B, C,
• $f_{5A}$, $f_{5B}$, $f_{5C}$ – że podejrzany A, B, C jest szanowanym obywatelem nie budzącym u nikogo żadnych podejrzeń.

Zależności między takimi faktami a hipotezami opisują następujące prawdopodobieństwa:

$Pr(f_{1x}|h_x)=0,7$

$Pr(f_{2x}|h_x)=0,9$

$Pr(f_{3x}|h_x)=0,6$

$Pr(f_{4x}|h_x)=0,2$

$Pr(f_{5x}|h_x)=0,3$

dla x=A, B, C. Wstępnie inspektor założył, że prawdopodobieństwo popełnienia zbrodni przez każdego z podejrzanych jest jednakowe. W wyniku śledztwa ustalono, że:

• podejrzani A i B nie mają alibi,
• podejrzany C miał oczywisty motyw,
• rysopis zabójcy podany przez świadka nie pasuje do podejrzanych B i C,
• podejrzany A jest szanowanym obywatelem nie budzącym u nikogo żadnych podejrzeń.

Którego z podejrzanych powinien aresztować inspektor Bayes jako najbardziej prawdopodobnego zabójcę?

Zadanie 3

Rozważmy zastosowanie wnioskowania bayesowskiego do pewnej dziedziny, w której rozważa się dwie wykluczające się wzajemnie i wyczerpujące wszystkie możliwości hipotezy $h$ i $\mathrm{\neg }h$ oraz $m$ możliwych faktów $f_1,f_2,...,f_m$. Prawdopodobieństwa $Pr(f_j|h)$ dla $j=1,2,...,m$ określone są jako kolejne liczby z ciągu arytmetycznego $0,1+(j-1)*(0,9-0,1)/(m-1)$, zaś prawdopodobieństwa $Pr(f_j|\mathrm{\neg }h)$ odpowiednio jako kolejne liczby z ciągu geometrycznego $0,9*(0,1/0,9)*(j-1)/(m-1)$. Obie hipotezy są jednakowo prawdopodobne a priori. Fakty są warunkowo niezależne względem hipotez. Liczba faktów $m$ jest parzysta. Która hipoteza jest bardziej prawdopodobna a posteriori, jeśli:

1. wiadomo, że zachodzą wszystkie fakty $f_1,...,f_m$,
2. wiadomo, że zachodzą tylko fakty $f_1,...,f_{m/2}$,
3. wiadomo, że zachodzą tylko fakty $f_{m/2},...,f_m$.

Zadanie 4

Wnioskowanie bayesowskie o prawdopodobieństwie hipotezy $h$ na podstawie faktów $F$, czyli obliczanie prawdopodobieństwa a posteriori $Pr(h|F)$, można traktować w pewnym sensie jako probabilistyczną odmianę stosowania reguły modus ponens do faktów $F$ i implikacji $F\to h$. Czy można analogicznie wskazać bayesowski odpowiednik reguły modus tollens?