Sztuczna inteligencja/SI Ćwiczenia 4

Zadanie 1

W śledztwie dotyczącym zabójstwa inspektor Bayes rozważa dwie hipotezy:

• $h\,$ – że główny podejrzany zabił,
• $\neg h\,$ – że główny podejrzany nie zabił

oraz następujące możliwe fakty:

• $f_{1}\,$ – że na miejscu zbrodni znaleziono odciski palców głównego podejrzanego,
• $f_{2}\,$ – że główny podejrzany nie ma alibi na czas popełnienia zabójstwa,
• $f_{3}\,$ – że główny podejrzany miał motyw zabicia ofiary,
• $f_{4}\,$ – że główny podejrzany był widziany w sądziedztwie miejsca, w którym mieszka nielegalny handlarz bronią,
• $f_{5}\,$ – że świadek zbrodni podał rysopis zabójcy nie pasujący do głównego podejrzanego.

Zależności między takimi faktami a hipotezami opisują następujące prawdopodobieństwa:

$Pr(f_{1}|h)=0,7$	$Pr(f_{1}|\neg h)=0,3$
$Pr(f_{2}|h)=0,8$	$Pr(f_{2}|\neg h)=0,4$
$Pr(f_{3}|h)=0,9$	$Pr(f_{3}|\neg h)=0,5$
$Pr(f_{4}|h)=0,4$	$Pr(f_{4}|\neg h)=0,2$
$Pr(f_{5}|h)=0,2$	$Pr(f_{5}|\neg h)=0,4$

W którym przypadku prawdopodobieństwo popełnienia zabójstwa byłoby największe:

1. gdyby znaleziono na miejscu zbrodni jego odciski palców,
2. gdyby stwierdzono, że nie miał alibi i miał motyw,
3. gdyby znaleziono na miejscu zbrodni jego odciski palców oraz stwierdzono, że był widziany w sąsiedztwie miejsca, w którym mieszka nielegalny handlarz bronią, ale świadek zbrodni podał rysopis zabójcy nie pasujący do głównego podejrzanego.

Zadanie 2

W śledztwie dotyczącym zabójstwa inspektor Bayes wyłonił trzech podejrzanych A, B i C, w konsekwencji czego rozważa trzy możliwe hipotezy, wzajemnie wykluczające się i wyczerpujące wszystkie możliwości:

• $h_{A}\,$ – zabił A,
• $h_{B}\,$ – zabił B,
• $h_{C}\,$ – zabił C

oraz następujące możliwe fakty:

• $f_{1A}\,$, $f_{1B}\,$, $f_{1C}\,$ – że na miejscu zbrodni znaleziono odciski palców podejrzanego A, B, C,
• $f_{2A}\,$, $f_{2B}\,$, $f_{2C}\,$ – że podejrzany A, B, C nie ma alibi na czas popełnienia zabójstwa,
• $f_{3A}\,$, $f_{3B}\,$, $f_{3C}\,$ – że podejrzany A, B, C miał oczywisty motyw zabicia ofiary,
• $f_{4A}\,$, $f_{4B}\,$, $f_{4C}\,$ – że świadek zbrodni podał rysopis zabójcy nie pasujący do podejrzanego A. B, C,
• $f_{5A}\,$, $f_{5B}\,$, $f_{5C}\,$ – że podejrzany A, B, C jest szanowanym obywatelem nie budzącym u nikogo żadnych podejrzeń.

Zależności między takimi faktami a hipotezami opisują następujące prawdopodobieństwa:

$Pr(f_{1x}|h_{x})=0,7$

$Pr(f_{2x}|h_{x})=0,9$

$Pr(f_{3x}|h_{x})=0,6$

$Pr(f_{4x}|h_{x})=0,2$

$Pr(f_{5x}|h_{x})=0,3$

dla x=A, B, C. Wstępnie inspektor założył, że prawdopodobieństwo popełnienia zbrodni przez każdego z podejrzanych jest jednakowe. W wyniku śledztwa ustalono, że:

• podejrzani A i B nie mają alibi,
• podejrzany C miał oczywisty motyw,
• rysopis zabójcy podany przez świadka nie pasuje do podejrzanych B i C,
• podejrzany A jest szanowanym obywatelem nie budzącym u nikogo żadnych podejrzeń.

Którego z podejrzanych powinien aresztować inspektor Bayes jako najbardziej prawdopodobnego zabójcę?

Zadanie 3

Rozważmy zastosowanie wnioskowania bayesowskiego do pewnej dziedziny, w której rozważa się dwie wykluczające się wzajemnie i wyczerpujące wszystkie możliwości hipotezy $h\,$ i $\neg h\,$ oraz $m\,$ możliwych faktów $f_{1},f_{2},\ldots ,f_{m}\,$. Prawdopodobieństwa $Pr(f_{j}|h)\,$ dla Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle j=1,2,\ldots,m \,} określone są jako kolejne liczby z ciągu arytmetycznego Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle 0,1+(j-1)*(0,9-0,1)/(m-1) \,} , zaś prawdopodobieństwa Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle Pr(f_j|\neg h) \,} odpowiednio jako kolejne liczby z ciągu geometrycznego Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle 0,9*(0,1/0,9)*(j-1)/(m-1) \,} . Obie hipotezy są jednakowo prawdopodobne a priori. Fakty są warunkowo niezależne względem hipotez. Liczba faktów Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle m \,} jest parzysta. Która hipoteza jest bardziej prawdopodobna a posteriori, jeśli:

1. wiadomo, że zachodzą wszystkie fakty $f_{1},\ldots ,f_{m}\,$,
2. wiadomo, że zachodzą tylko fakty $f_{1},\ldots ,f_{m/2}\,$,
3. wiadomo, że zachodzą tylko fakty $f_{m/2},\ldots ,f_{m}\,$.

Zadanie 4

Wnioskowanie bayesowskie o prawdopodobieństwie hipotezy $h\,$ na podstawie faktów $F\,$, czyli obliczanie prawdopodobieństwa a posteriori $Pr(h|F)\,$, można traktować w pewnym sensie jako probabilistyczną odmianę stosowania reguły modus ponens do faktów $F\,$ i implikacji $F\rightarrow h\,$. Czy można analogicznie wskazać bayesowski odpowiednik reguły modus tollens?