Logika dla informatyków/Ćwiczenia 9

Ćwiczenie 1
Udowodnić, że istnieje niestandardowy, przeliczalny model $Th(\mathfrak{𝔑})$, a w nim liczba, mająca nieskończenie wiele dzielników pierwszych.

Ćwiczenie 2
Pokazać, że następujące zdania są twierdzeniami arytmetyki Peano:

1. $\underset{\_}{2}\cdot \underset{\_}{2}=\underset{\_}{4}$;
2. Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\ciut”): {\displaystyle \forall{x}\ciut(\neg({x}=0)\to\exists {y}\ciut({x}=\su(y)))} ;
3. Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\ciut”): {\displaystyle \forall{x}\forall{y}\forall{z}\ciut (({x}+{y})+{z}={x}+({y}+{z}))} ;
4. Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\ciut”): {\displaystyle \forall{x}\forall{y}\ciut ({x}+{y}={y}+{x})} ;

Ćwiczenie 3
Jaka jest różnica pomiędzy następującymi zdaniami?

• Dwa razy dwa jest cztery.
• Zdanie "Dwa razy dwa jest cztery" jest prawdziwe

Wskazówka: Pierwsze zdanie mówi o pewnej własności liczb. Żeby się z nim zgodzić, wystarczy wiedzieć ile jest dwa razy dwa. Co trzeba wiedzieć, aby zrozumieć drugie zdanie?