Teoria informacji/TI Wykład 5: Różnice pomiędzy wersjami

Wersja z 16:06, 25 lip 2006

Entropia warunkowa i informacja wzajemna

Definicja [Entropia zmiennej losowej]

Jeśli $X : S \to 𝒳$ jest zmienną losową, określamy jej entropię jako

H_{r} (X) = \sum_{t \in 𝒳} p (X = t) \cdot \log_{r} \frac{1}{p (X = t)}

Innymi słowy, $H_{r} (X)$ jest równe wartości oczekiwanej

H_{r} (X) = E (\log_{r} \frac{1}{p (X)})

gdzie p(X) jest zmienną losową na S zdefiniowaną jako $p (X) : s \mapsto p (X = X (s))$

\sum_{t \in 𝒳} p (X = t) \cdot \log_{r} \frac{1}{p (X = t)} = \sum_{t \in 𝒳} \sum_{X (s) = t} p (s) \cdot \frac{1}{p (X = t)} = \sum_{s \in S} p (s) \cdot \frac{1}{p (X = X (s))}

Umowa notacyjna Jeśli zmienne losowe o których mowa będą wynikały z kontekstu, często będziemy omijać zapis $X = a$ i pisać po prostu a. Przykładowo będziemy pisać p(x|y) zamiast $p (X = x | Y = y)$ , $p (x \land y)$ zamiast $p ((X = x) \land (Y = y))$ itp.

Definicja [Entropia warunkowa]

Niech

A : S \to 𝒜

,

B : S \to ℬ

będą dwiema zmiennymi losowymi. Dla

b \in ℬ

określamy

H_{r} (A | b) = \sum_{a \in 𝒜} p (a | b) \cdot \log_{r} \frac{1}{p (a | b)}

i ogólnie

H_{r} (A | B) = \sum_{b \in ℬ} p (b) H_{r} (A | b)

.

Powyższą wartość nazywamy entropią warunkową A od B

Zauważmy że jeśli A i B są niezależne, to w powyższej formule $p (a | b) = a$ a więc $H_{r} (A | B) = A$ . Z drugiej strony $H_{r} (A | A) = 0$ . Ogólnie dla dowolnej funkcji $φ : 𝒜 \to ℬ$ mamy

H_{r} (φ (A) | A) = 0

Rzeczywiście, jeśli $p (A = a) > 0$ to $p (φ (A) = φ (a) | A = a) = 1$ , i w konsekwencji $\log_{r} \frac{1}{p (φ (A) = φ (a) | A = a)} = 0$ .

Entropia łączna Będziemy również rozważać pary (A,B) jako jedną zmienną losową $(A, B) : S \to 𝒜 \times ℬ$ ,

(A, B) (s) = (A (s), B (s))

Prawdopodobieństwo że ta zmienna przyjmie wartość (a,b) wynosi $p ((A, B) = (a, b)) = p ((A = a) \land (B = b))$ , co zapisujemy w skrócie jako $p (a \land b)$ . To prawdopodobieństwo w ogólności jest inne niż $p (a) \cdot p (b)$ . Jeśli dla dowolnych $a \in 𝒜, b \in ℬ$ $p (a \land b) = p (a) \cdot p (b)$ , mówimy że zmienne losowe A i B są niezależne.

Entropia $H_{r} (A, B)$ wprost z definicji wynosi

H_{r} (A, B) = \sum_{a \in 𝒜, b \in ℬ} p (a \land b) \cdot \log_{r} \frac{1}{p (a \land b)}

Jeśli A i B są niezależne, to

\log_{r} \frac{1}{p (A, B)} = \log_{r} \frac{1}{p (A)} + \log_{r} \frac{1}{p (B)}

Z liniowości wartości oczekiwanej dostajemy wtedy

H_{r} (A, B) = H_{r} (A) + H_{r} (B)

W ogólnym przypadku możemy udowodnić:

Twierdzenie

H_{r} (A, B) \leq H_{r} (A) + H_{r} (B)

i równość zachodzi jedynie gdy A i B są niezależne.

Dowód

Rozpiszemy prawą stronę tak żebyśmy mogli użyć Złotego Lematu. Użyjemy w tym celu oczywistych równości

p (a) = \sum_{b \in ℬ} p (a \land b)

i

p (b) = \sum_{a \in 𝒜} p (a \land b)

.

$H_{r} (A) + H_{r} (B) = \sum_{a \in 𝒜} p (a) \log_{r} \frac{1}{p (a)} + \sum_{b \in ℬ} p (b) \log_{r} \frac{1}{p (b)}$

= \sum_{a \in 𝒜} \sum_{b \in ℬ} p (a \land b) \log_{r} \frac{1}{p (a)} + \sum_{b \in ℬ} \sum_{a \in 𝒜} p (a \land b) \log_{r} \frac{1}{p (b)}

= \sum_{a \in 𝒜, b \in ℬ} p (a \land b) \log_{r} \frac{1}{p (a) p (b)}

Ważne że powyższe wyrażenie jest dobrze zdefiniowane, bo gdy $p (a) = 0$ lub $p (b) = 0$ , to również $p (a \land b) = 0$ .

Oznaczmy chwilowo

(𝒜 \times ℬ)^{+} = {(a, b) : p (a) > 0 i p (b) > 0}

Mamy wtedy

\sum_{(a, b) \in (𝒜 \times ℬ)^{+}} p (a \land b) = \sum_{(a, b) \in (𝒜 \times ℬ)^{+}} p (a) \cdot p (b) = 1

.

Używając Złotego Lematu dla $x = p (a \land b)$ , $y = p (a) \cdot p (b)$ dla wszystkich $(a, b) \in (𝒜 \times ℬ)^{+}$ otrzymujemy $H_{r} (A, B) = \sum_{(a, b) \in (𝒜 \times ℬ)^{+}} p (a \land b) \log_{r} \frac{1}{p (a \land b)}$

\leq \sum_{(a, b) \in (𝒜 \times ℬ)^{+}} p (a \land b) \log_{r} \frac{1}{p (a) p (b)}

= H_{r} (A) + H_{r} (B)

Dodatkowo równość zachodzi wyłącznie gdy

p (a \land b) = p (a) \cdot p (b)

dla wszystkich

(a, b) \in (𝒜 \times ℬ)^{+}

(czyli w ogóle dla wszystkich

a \in 𝒜, b \in ℬ

. W drugą stronę, wiemy już że niezależność A i B implikuje tutaj równość.

Definicja [Informacja]

Wartość

I (A; B) = H_{r} (A) + H_{r} (B) - H_{r} (A, B)

nazywamy informacją wzajemną zmiennych A i B.

Komentarz Powyższę definicję łatwo zrozumieć w odniesieniu do Gry w 20 pytań. Przypuścmy że mamy zidentyfikować obiekt który jest parą (a,b) gdzie a i b są wartościami zmiennych losowych A i B. Jeśli A i B są niezależne, najlepsze co możemy zrobić to zidentyfikować niezależnie a i b. Tym samym gramy w dwie niezależne gry „pytania o a” i „pytania o b” (co odpowiada równości $H_{r} (A, B) = H_{r} (A) + H_{r} (B)$ ). Jeśli jednak A i B są zależne, możemy wykorzystać tę wzajemną informację do zmniejszenia liczby pytań.

Dla zwiększenia czytelności tekstu, od tej pory będziemy zwykle omijać dolny indeks r, pisząc H, I, itp. Wszędzie tam gdzie nie napisano inaczej, wszystkie twierdzenia odnoszą się do przypadku dowolnego $r > 1$ . Bez utraty ogólności czytelnik może założyć r=2.

Komentarz Przekształcając definicję informacji analogicznie jak w ostatnim dowodzie, otrzymujemy:

$I (A; B) = \sum_{a \in 𝒜, b \in ℬ} p (a \land b) (\log \frac{1}{p (a) p (b)} - \log \frac{1}{p (a \land b)})$

W takiej postaci widać że informacja jest pewną miarą odległości pomiędzy faktycznym rozkładem zmiennej (A;B), a jej rozkładem gdyby A i B były niezależne.

Warto zauważyć że powyższa suma jest nieujemna, choć niektóre składniki $(\log \frac{1}{p (a) p (b)} - \log \frac{1}{p (a \land b)})$ mogą być ujemne.

Istnieje odpowiednik równości $H (A, B) = H (A) + H (B)$ , który stosuje się do zmiennych zależnych:

Fakt [Zasada łańcuchowa]

H (A, B) = H (A | B) + H (B)

Dowód

Obliczamy:

$H (A, B) = \sum_{a \in 𝒜, b \in ℬ} p (a \land b) \cdot \log \frac{1}{p (a \land b)}$

= \sum_{a \in 𝒜} \sum_{b \in ℬ} p (a | b) p (b) \cdot \log \frac{1}{p (a | b) p (b)}

= \sum_{a \in 𝒜} \sum_{b \in ℬ} p (a | b) p (b) \cdot (\log \frac{1}{p (a | b)} + \log \frac{1}{p (b)})

= \sum_{b \in ℬ} p (b) \cdot \sum_{a \in 𝒜} p (a | b) \cdot \log \frac{1}{p (a | b)} + \sum_{b \in ℬ} p (b) \log \frac{1}{p (b)} \cdot \sum_{a \in 𝒜} p (a | b)

= H (A | B) + H (B)

Używając zasady łańcuchowej, możemy wyliczać informację na różne sposoby: $I (A; B) = H (A) - H (A | B) = H (B) - H (B | A)$

Kolejną rzeczą jaką możemy zauważyć to $I (A; B) \leq \min {H (A), H (B)}$

Łatwo możemy też uogólnić zasadę łańcuchową na przypadek $n \geq 2$ zmiennych $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$

$H (A_{1}, \dots, A_{n}) = H (A_{1} | A_{2}, \dots, A_{n}) + H (A_{2}, \dots, A_{n})$

= H (A_{1} | A_{2}, \dots, A_{n}) + H (A_{2} | A_{3}, \dots, A_{n}) + H (A_{3}, \dots, A_{n})

= \sum_{i = 1}^{n} H (A_{i} | A_{i + 1}, \dots, A_{n})

(przyjmujemy konwencję $H (A | \emptyset) = H (A)$ )

Bardziej wyrafinowane uogólnienie możemy uzyskać stosując entropię warunkową:

Fakt [Warunkowa zasada łańcuchowa]

H (A, B | C) = H (A | B, C) + H (B | C)

Dowód

Mamy:

$H (A, B | c) = \sum_{a \in 𝒜, b \in ℬ} p (a \land b | c) \cdot \log \frac{1}{p (a \land b | c)}$

= \sum_{a, b} p (a | b \land c) \cdot p (b | c) \cdot (\log \frac{1}{p (a | b \land c)} + \log \frac{1}{p (b | c)})

= \sum_{b} p (b | c) \cdot \sum_{a} p (a | b \land c) \cdot \log \frac{1}{p (a | b \land c)} + \sum_{b} p (b | c) \cdot \log \frac{1}{p (b | c)} \cdot \underset{= 1}{\underset{⏟}{\sum_{a} p (a | b \land c)}}

W powyższym wyliczeniu sumy po a i b obejmują te wartości, dla których odpowiednie prawdopodobieństwa zależne są zdefiniowane ( $p (x | y)$ nie jest określone jeśli $p (y) = 0$ ).

Używamy tu łatwego faktu, że jeśli $p (a \land b | c) > 0$ , to

p (a \land b | c) = \frac{p (a \land b \land c)}{p (c)} = \frac{p (a \land b \land c)}{p (b \land c)} \cdot \frac{p (b \land c)}{p (c)} = p (a | b \land c) \cdot p (b | c)

Uśredniając po p(c) dostajemy:

$H (A, B | C) = \sum_{c \in 𝒞} p (c) \cdot H (A, B | c)$

= \sum_{c} p (c) \cdot \sum_{b} p (b | c) \cdot \sum_{a} p (a | b \land c) \cdot \log \frac{1}{p (a | b \land c)} + \sum_{c} p (c) \cdot \sum_{b} p (b | c) \cdot \log \frac{1}{p (b | c)}

= \underset{= H (A | B, C)}{\underset{⏟}{\sum_{b, c} p (b \land c) \cdot \sum_{a} p (a | b \land c) \cdot \log \frac{1}{p (a | b \land c)}}} + \underset{= H (B | C)}{\underset{⏟}{\sum_{c} p (c) \cdot \sum_{b} p (b | c) \cdot \log \frac{1}{p (b | c)}}}

.

Czytelnik może teraz łatwo pokazać że:

H (A, B | C) \leq H (A | C) + H (B | C)

i równość zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy A i B są niezależne w odniesieniu do C, czyli

p (A = a \land B = b | C = c) = p (A = a | C = c) \cdot p (B = b | C = c)

(dowód na ćwiczeniach TODO)

Definicja [Informacja warunkowa]

Definiujemy informację wzajemną A i B warunkowaną przez C jako

$I (A; B | C) = H (A | C) + H (B | C) - \underset{= H (A | B, C) + H (B | C)}{\underset{⏟}{H (A, B | C)}}$

= H (A | C) - H (A | B, C)

I wreszcie, informację wzajemną A, B i C definiujemy jako:

R (A; B; C) = I (A; B) - I (A; B | C)

Łatwo sprawdzimy że ta definicja jest rzeczywiście symetryczna, tzn nie zależy od kolejności A, B i C:

$I (A; C) - I (A; C | B) = H (A) - H (A | C) - (H (A | B) - H (A | B, C))$

= \underset{= I (A; B)}{\underset{⏟}{H (A) - H (A | B)}} - \underset{= I (A; B | C)}{\underset{⏟}{H (A | C) - H (A | B, C)}}

Należy jednak pamiętać że w przeciwieństwie do I(A;B) i I(A;B|C), zdefiniowana powyżej R(A;B;C) może mieć ujemną wartość.

Zależności pomiędzy wartościami H(X), H(Y), H(Z), H(X,Y), H(X,Y|Z), I(X;Y), I(X;Y|Z), R(X;Y;Z) itd. można przedstawić w postaci diagramu:

@@ Linia 1: / Linia 1: @@
-===Entropia zależna i informacja wzajemna===
+===Entropia warunkowa i informacja wzajemna===
 {{definicja|[Entropia zmiennej losowej]|entropia2|
@@ Linia 16: / Linia 16: @@
-{{definicja|[Entropia zależna]|entropia_zależna| Niech <math>A : S \to {\mathcal A}</math>,<math>B : S \to {\mathcal B}</math> będą dwiema zmiennymi losowymi. Dla <math>b \in {\mathcal B}</math> określamy
+{{definicja|[Entropia warunkowa]|entropia_warunkowa| Niech <math>A : S \to {\mathcal A}</math>,<math>B : S \to {\mathcal B}</math> będą dwiema zmiennymi losowymi. Dla <math>b \in {\mathcal B}</math> określamy
 :<math>H_r (A | b) = \sum_{a \in {\mathcal A}} p(a|b) \cdot \log_r \frac{1}{p (a|b)}</math>
@@ Linia 22: / Linia 22: @@
 :<math>H_r (A | B) = \sum_{b \in {\mathcal B}} p(b) H_r (A | b)</math>.
-Powyższą wartość nazywamy '''entopią zależną A od B'''}}
+Powyższą wartość nazywamy '''entropią warunkową A od B'''}}
@@ Linia 30: / Linia 30: @@
 Rzeczywiście, jeśli <math>p(A=a)>0</math> to <math>p (\varphi ( A) = \varphi (a) | A = a ) = 1</math>, i w konsekwencji <math>\log_r \frac{1}{p (\varphi ( A) = \varphi (a) | A = a )} = 0</math>.
-'''Entropia produktowa'''
+'''Entropia łączna'''
 Będziemy również rozważać pary ''(A,B) '' jako jedną zmienną losową <math>(A,B): S \to {\mathcal A} \times {\mathcal B}</math>,
 :<math>(A,B) (s) = \left( A(s), B(s) \right)</math>
 Prawdopodobieństwo że ta zmienna przyjmie wartość ''(a,b)'' wynosi <math>p \left( (A,B) = (a,b) \right) = p \left( (A = a) \wedge (B = b) \right)</math>, co zapisujemy w skrócie jako <math>p(a \and b)</math>. To prawdopodobieństwo w ogólności jest inne niż <math>p(a) \cdot p(b)</math>. Jeśli dla dowolnych <math>a \in {\mathcal A}, b \in {\mathcal B}</math>
-:<math>p(a \and b) = p(a) \cdot p(b)</math>,
+<math>p(a \and b) = p(a) \cdot p(b)</math>, mówimy że zmienne losowe ''A'' i ''B'' są niezależne.
-zmienne losowe ''A'' i ''B'' są niezależne.
 Entropia <math>H_r(A,B)</math> wprost z definicji wynosi
@@ Linia 52: / Linia 50: @@
-{{twierdzenie||do_produktowej|
+{{twierdzenie||do_łącznej|
 :<math>H_r (A,B) \leq H_r (A) + H_r (B)</math>
 i równość zachodzi jedynie gdy ''A'' i ''B'' są niezależne.}}
-'''Dowód'''
+{{dowod||| Rozpiszemy prawą stronę tak żebyśmy mogli użyć Złotego Lematu. Użyjemy w tym celu oczywistych równości <math>p(a) =\sum_{b \in {\mathcal B}} p( a \wedge b) </math> i <math>p(b) = \sum_{a \in {\mathcal A}} p( a \wedge b)</math>.
-Rozpiszemy prawą stronę tak żebyśmy mogli użyć Złotego Lematu. Użyjemy w tym celu oczywistych równości <math>p(a) =\sum_{b \in {\mathcal B}} p( a \wedge b) </math> i <math>p(b) = \sum_{a \in {\mathcal A}} p( a \wedge b)</math>.
 <math>H_r (A) + H_r (B) = \sum_{a \in {\mathcal A}} p (a) \log_r \frac{1}{p(a)}
 + \sum_{b \in {\mathcal B}} p(b) \log_r \frac{1}{p(b)}</math>
@@ Linia 78: / Linia 75: @@
 ::<math>= H_r (A) + H_r (B)</math>
-Dodatkowo równość zachodzi wyłącznie gdy <math>p(a \and b) = p(a) \cdot p(b)</math> dla wszystkich <math> (a,b) \in ({\mathcal A} \times {\mathcal B})^{+}</math> (czyli w ogóle dla wszystkich <math> a \in {\mathcal A}, b \in {\mathcal B}</math>. W drugą stronę, wiemy już że niezależność A i B implikuje tutaj równość.
+Dodatkowo równość zachodzi wyłącznie gdy <math>p(a \and b) = p(a) \cdot p(b)</math> dla wszystkich <math> (a,b) \in ({\mathcal A} \times {\mathcal B})^{+}</math> (czyli w ogóle dla wszystkich <math> a \in {\mathcal A}, b \in {\mathcal B}</math>. W drugą stronę, wiemy już że niezależność A i B implikuje tutaj równość.}}
-QED.
 {{definicja|[Informacja]|informacja|Wartość
+:<math>I(A;B) = H_r (A) + H_r (B) - H_r (A,B)</math>
-<math>I(A;B) = H_r (A) + H_r (B) - H_r (A,B)</math>
 nazywamy '''informacją wzajemną''' zmiennych A i B.}}
@@ Linia 91: / Linia 85: @@
 '''Komentarz''' Powyższę definicję łatwo zrozumieć w odniesieniu do ''Gry w 20 pytań''. Przypuścmy że mamy zidentyfikować obiekt który jest parą (a,b) gdzie a i b są wartościami zmiennych losowych A i B. Jeśli A i B są niezależne, najlepsze co możemy zrobić to zidentyfikować niezależnie a i b. Tym samym gramy w dwie niezależne gry „pytania o a” i „pytania o b” (co odpowiada równości <math>H_r (A,B) = H_r (A) + H_r (B)</math>). Jeśli jednak A i B są zależne, możemy wykorzystać tę wzajemną informację do zmniejszenia liczby pytań.
+Dla zwiększenia czytelności tekstu, od tej pory będziemy zwykle omijać dolny indeks r, pisząc H, I, itp. Wszędzie tam gdzie nie napisano inaczej, wszystkie twierdzenia odnoszą się do przypadku dowolnego <math>r>1</math>. Bez utraty ogólności czytelnik może założyć r=2.
-Dla zwiększenia czytelności tekstu, od tej poty będziemy zwykle omijać dolny indeks r, pisząc H, I, itp. Wszędzie tam gdzie nie napisano inaczej, wszystkie twierdzenia odnoszą się do przypadku dowolnego <math>r>1</math>. Bez utraty ogólności czytelnik może założyć r=2.
 '''Komentarz''' Przekształcając definicję informacji analogicznie jak w ostatnim dowodzie, otrzymujemy:
@@ Linia 108: / Linia 101: @@
 {{fakt|[Zasada łańcuchowa]|łańcuch|
+:<math>H(A,B)=H(A|B)+H(B)</math>}}
-<math>H(A,B)=H(A|B)+H(B)</math>}}
+{{dowod||dw_łańcuch|Obliczamy:
-'''Dowód''' Obliczamy:
 <math>H  (A,B) = \sum_{a \in {\mathcal A}, b \in {\mathcal B}} p ( a \wedge b)  \cdot \log  \frac{1}{p( a \wedge b)}</math>
@@ Linia 124: / Linia 116: @@
 p(a|b) \cdot \log  \frac{1}{p(a|b)} + \sum_{b \in {\mathcal B}} p(b) \log  \frac{1}{p(b)} \cdot \sum_{a \in {\mathcal A}}  p(a|b) </math>
-::<math>= H(A|B) + H(B) </math>
+::<math>= H(A|B) + H(B) </math>}}
-QED.
@@ Linia 141: / Linia 131: @@
 ::<math>= \sum_{i = 1}^n H(A_i | A_{i+1} , \ldots , A_n) </math>
-(przyjmujemy konwencję <math>H(A|\emptyset)=A</math>)
+(przyjmujemy konwencję <math>H(A|\emptyset)=H(A)</math>)
-Bardziej wyrafinowane uogólnienie możemy uzyskać stosując entropię zależną:
+Bardziej wyrafinowane uogólnienie możemy uzyskać stosując entropię warunkową:
-{{fakt|[Zależna zasada łańcuchowa]|łańcuch2|
+{{fakt|[Warunkowa zasada łańcuchowa]|łańcuch2|
-<math>H(A,B|C)=H(A|B,C)+H(B|C)</math>}}
+:<math>H(A,B|C)=H(A|B,C)+H(B|C)</math>}}
-'''Dowód''' Mamy:
+{{dowod||dw_łańcuch2|Mamy:
 <math>H  (A,B | c)= \sum_{a \in {\mathcal A}, b \in {\mathcal B}} p ( a \wedge b | c)  \cdot \log  \frac{1}{p( a \wedge b| c )}</math>
@@ Linia 156: / Linia 146: @@
 ::<math>= \sum_{a, b} p (a | b \wedge c) \cdot p(b|c) \cdot \left( \log  \frac{1}{p (a | b \wedge c)} + \log  \frac{1}{p (b|c) } \right) </math>
-::<math>= \sum_{b}  p(b|c) \cdot \sum_{a} p (a | b \wedge c) \cdot \log  \frac{1}{p (a | b \wedge c)} + \sum_{b}  p(b|c) \cdot \log  \frac{1}{p (b|c) } \cdot \underbrace{\sum_{a} p (a | b \wedge c)}_{1}</math>
+::<math>= \sum_{b}  p(b|c) \cdot \sum_{a} p (a | b \wedge c) \cdot \log  \frac{1}{p (a | b \wedge c)} + \sum_{b}  p(b|c) \cdot \log  \frac{1}{p (b|c) } \cdot \underbrace{\sum_{a} p (a | b \wedge c)}_{=1}</math>
-W powyższym wyliczeniu sumy po a i b obejmują te wartości, dla których odpowiednie prawdopodobieństwa zależne są zdefiniowane (p(x|y) nie jest określone jeśli p(y)=0). Używamy tu łatwego faktu, że jeśli <math>p(a \and b|c)>0</math>, to
+W powyższym wyliczeniu sumy po a i b obejmują te wartości, dla których odpowiednie prawdopodobieństwa zależne są zdefiniowane (<math>p(x|y)</math> nie jest określone jeśli <math>p(y)=0</math>).
+Używamy tu łatwego faktu, że jeśli <math>p(a \and b|c)>0</math>, to
 :<math>p ( a \wedge b | c) = \frac{ p(a \wedge b \wedge c)}{p( c)}= \frac{ p(a \wedge b \wedge c)}{ p (b \wedge c)} \cdot \frac{p (b \wedge c)}{p(c)} = p (a | b \wedge c) \cdot p(b|c)</math>
@@ Linia 169: / Linia 160: @@
 \cdot \log  \frac{1}{p (a | b \wedge c)} + \sum_{c}  p(c) \cdot \sum_{b}  p(b|c) \cdot \log  \frac{1}{p (b|c) } </math>
-::<math>= \underbrace{\sum_{b,c} p(b \wedge c) \cdot \sum_{a} p (a | b \wedge c) \cdot \log  \frac{1}{p (a | b \wedge c)}}_{H(A| B,C)} + \underbrace{\sum_{c} p(c)  \cdot \sum_{b}  p(b|c) \cdot \log  \frac{1}{p (b|c) }}_{H (B | C)}</math>
+::<math>= \underbrace{\sum_{b,c} p(b \wedge c) \cdot \sum_{a} p (a | b \wedge c) \cdot \log  \frac{1}{p (a | b \wedge c)}}_{=H(A| B,C)} + \underbrace{\sum_{c} p(c)  \cdot \sum_{b}  p(b|c) \cdot \log  \frac{1}{p (b|c) }}_{=H (B | C)}</math>.}}
-QED.
@@ Linia 182: / Linia 171: @@
 :<math>p (A = a \wedge B = b | C = c) = p (A = a | C = c) \cdot p (B = b | C = c)</math>
-(dowód na ćwiczeniach)
+(dowód na ćwiczeniach TODO)
-{{definicja|[Informacja zależna]|inf_zależna|
+{{definicja|[Informacja warunkowa]|inf_warunkowa|
-Definiujemy '''informację wzajemną A i B w odniesieniu do C''' jako
+Definiujemy '''informację wzajemną A i B warunkowaną przez C''' jako
-<math> I(A;B |C) = H(A |C) + H(B|C) - \underbrace{H(A,B|C)}_{H(A|B,C) + H(B|C)}</math>
+<math> I(A;B |C) = H(A |C) + H(B|C) - \underbrace{H(A,B|C)}_{=H(A|B,C) + H(B|C)}</math>
 ::<math>= H(A |C) - H(A|B,C)</math>
-I wreszcie, ''informacją wzajemną A, B i C'' definiujemy jako:
+I wreszcie, '''informację wzajemną A, B i C''' definiujemy jako:
-:<math>R(A;B;C)=I(A;B)-I(A;B)|C)</math>}}
+:<math>R(A;B;C)=I(A;B)-I(A;B|C)</math>}}
 Łatwo sprawdzimy że ta definicja jest rzeczywiście symetryczna, tzn nie zależy od kolejności A, B i C:
 <math>I(A;C) - I(A;C|B) = H(A) - H(A|C) - \left( H (A|B) - H(A| B,C) \right) </math>
-::<math>= \underbrace{H(A) - H (A|B)}_{I(A;B)} - \underbrace{ H(A|C) -  H(A| B,C)}_{ I(A;B |C)}</math>
+::<math>= \underbrace{H(A) - H (A|B)}_{=I(A;B)} - \underbrace{ H(A|C) -  H(A| B,C)}_{=I(A;B |C)}</math>
 Należy jednak pamiętać że w przeciwieństwie do I(A;B) i I(A;B|C), zdefiniowana powyżej R(A;B;C) może mieć '''ujemną''' wartość.

Teoria informacji/TI Wykład 5: Różnice pomiędzy wersjami

Wersja z 16:06, 25 lip 2006

Entropia warunkowa i informacja wzajemna

Menu nawigacyjne

Działania na stronie

Opcje strony

Narzędzia osobiste

Nawigacja

Szukaj

Narzędzia